2.1.1 等式与不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

2.1.1　等式与不等式 2.1　相等关系与不等关系 不等式的性质及其推论 1.不等式的性质 性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c. 性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc. 性质5:如果a>b>0,那么 >  (n∈N+). 性质6:如果a>b,且ab>0,那么 <   .如果a>b,且ab<0,那么  >  . 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2.不等式性质的推论 推论1:如果a+b>c,那么a>c-b. 推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N+). 特别提醒    1.在应用不等式的性质及其推论时,一定要弄清它们成立的前提条件. 2.要注意各性质和推论是否具有可逆性. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1.在不等式的两边同乘一个不为零的数,不等号的方向不变,对吗?为什么? 不对.要看两边同乘的数的符号,同乘一个正数,不等号的方向不变,但是同乘一个 负数,不等号的方向改变. 2.若a>b,c>d,那么a-c>b-d一定成立吗?a-d>b-c呢? a-c>b-d不一定成立,a-d>b-c一定成立. 3.若a>b,c>d,那么ac>bd一定成立吗? 不一定. 知识辨析 第2章　一元二次函数、方程和不等式 4.数大的倒数一定小吗? 不一定.如果a>b,且ab>0,那么 < .如果a>b,且ab<0,那么 > . 5.∀x∈R,x2>x-1一定成立吗? 一定.因为x2-x+1= + >0,所以x2>x-1一定成立. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 1 比较实数(代数式)的大小   1.作差比较法 (1)依据:a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b. (2)应用范围:数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式. (3)步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论. (4)变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化. 2.作商比较法 (1)依据:a>0,b>0且 >1⇒a>b;a>0,b>0且 <1⇒a<b. (2)应用范围:同号两数比较大小. (3)步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下结论. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例　比较下列两组数的大小. (1) + 与 + ; (2)已知a>b>0,比较 与 的大小. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 解析    (1)( + )2-( + )2=17+2 -(17+2 )=2 -2 >0, ∴( + )2>( + )2, ∴ + > + . (2)∵a>b>0, ∴ >0, >0, ∴ ÷ = ·  = =  =1+ >1, ∴ > . 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2　利用不等式的性质求代数式的取值范围   1.解决此类问题,一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系,然后利用不等式 的性质进行运算,求得待求式的范围. 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),但这种转化不是等价变形,如果在解 题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例1　已知10<m<25,7<n<23,求m-n与 的取值范围. 解析    ∵7<n<23,∴-23<-n<-7, 又∵10<m<25,∴-13<m-n<18. ∵7<n<23,∴ < < , 又∵10<m<25,∴ < < . 易错警示    在不等式中,没有同向相减、同向相除,应把“相减”“相除”转化 为“同向相加”“同向正相乘”后再进行相关计算. 第2章　一元二次函数、方程和不等式  典例2    (1)已知-1<a<b<1,求a-b的取值范围; (2)已知-1<a+b<5,-4<a-b<2,求2a-4b的取值范围. 解析    (1)∵-1<b<1,∴-1<-b<1. 又-1<a<1,∴-2<a-b<2. ∵a<b,∴a-b<0,∴-2<a-b<0. (2)设2a-4b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b(x,y∈R), 则 解得  ∴2a-4b=-(a+b)+3(a-b). 第2章　一元二次函数、方程和不等式 ∵-1<a+b<5,-4<a-b<2, ∴-5<-(a+b)<1,-12<3(a-b)<6, ∴-17<-(a+b)+3(a-b)<7, 即-17<2a-4b<7. 第2章　一元二次函数、方程和不等式 $$