第1章 2_1 必要条件与充分条件（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

第一章　预备知识 §2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 基础过关练 题组一　必要条件与充分条件的判断 1.已知a∈R,则“a>1”是“<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在四边形ABCD中,AB∥CD,则“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0,或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选题)下列选项中,p是q的必要不充分条件的有(　　) A.p:a≤1,q:a<1 B.p:A∩B=A,q:A∪B=B C.p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等 D.p:x2+y2=1,q:x=1,y=0 5.如果A是D的充分不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要不充分条件,则下列说法正确的是(　　) A.A是B的必要不充分条件 B.B是D的充分不必要条件 C.C是D的充要条件 D.B是D的既不充分也不必要条件 6.下图是由电池、开关和灯泡组成的电路,假定所有零件均能正常工作,则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  7.判断下列命题中p是q的什么条件. (1)p:x>1,q:x>1或x<-1; (2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (3)a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0. 题组二　必要条件与充分条件的探究与证明 8.设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　　) A.a<6　　　B.a<4　　　　 C.-5<a<5　　　D. 9.ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件是(　　) A.a=1　　　B.a=b C.b=1　　　D.ab=1 10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的一个充分不必要条件是(　　) A.n=4　　　B.n=-5 C.n=-1　　　D.n<0 11.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1. 题组三　利用必要条件与充分条件求参数 12.若“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,则实数m的值为(　　) A.1　　　　B.-或1　　　　D.-1或- 13.(多选题)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,则下列说法正确的是(　　) A.当m=3时,方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是m>1 C.方程有两个正根的充要条件是0<m<1 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 14.已知集合A={x|x<-1,或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  15.已知p:-2≤x≤6,q:1-m≤x≤1+m,m>0. (1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围. 能力提升练 题组一　必要条件与充分条件的判断 1.下列说法错误的是(　　) A.“A∩B=B”是“B=⌀”的必要不充分条件 B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0” C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件 D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数” 2.设a,b,c是非零实数,式子所有可能取的值组成的集合记为P,满足{x|mx-1=0}⊆{x|3x2+2x-1=0}的实数m所有可能取的值组成的集合记为Q,已知α:x∈P,β:x∈Q,则α是β的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题组二　必要条件与充分条件的探究与证明 3.方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是(　　) A.k=3　　　B.k=0 C.k=1　　　D.k=-3 4.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空: (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;  (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;  (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.  5.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 题组三　利用必要条件与充分条件求参数 6.已知集合A=,B={x|x+m>1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.  7.已知命题p:1-c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<-1,若p是q的既不充分也不必要条件,则c的取值范围是　　　　.  8.在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并解答下列问题. 已知集合A={x|2a-1<x≤a+1},B={x|-1≤x≤3}. (1)当a=-时,求A∩(∁RB); (2)若　　　　,求实数a的取值范围.  答案与分层梯度式解析 第一章　预备知识 §2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 基础过关练 1.A　当a>1时,有<1,充分性成立;当<1时,a可以小于0,必要性不成立,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选A. 2.D　若∠BAD=90°,则四边形ABCD为矩形或直角梯形,若四边形ABCD为直角梯形,则∠BAD不一定为90°,所以“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件.故选D. 3.C　A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件. 4.AD　对于A,a≤1⇒/a<1,但a<1⇒a≤1, ∴p是q的必要不充分条件,A正确; 对于B,由A∩B=A,得A⊆B,由A∪B=B,得A⊆B, ∴p是q的充要条件,B错误; 对于C,两个三角形全等,则面积一定相等,但两个三角形面积相等,不一定全等, ∴p是q的充分不必要条件,C错误; 对于D,当x=1,y=0时,x2+y2=1, 当x2+y2=1时,x=1,y=0不一定成立,如x=-1,y=0,∴p是q的必要不充分条件,D正确.故选AD. 5.AB　由题意得D⇐⇒/A⇒/⇐C⇔B, 故A是B的必要不充分条件,A正确;B是D的充分不必要条件,B正确,D错误;C是D的充分不必要条件,C错误.故选AB. 6.答案　充分不必要 解析　当开关K1和K2有且只有一个闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,开关K1和K2也有可能都闭合,故电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 7.解析　(1)因为“x>1”能推出“x>1或x<-1”,即p⇒q,但“x>1或x<-1”推不出“x>1”,如x=-2,即q⇒ / p,所以p是q的充分不必要条件. (2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p⇒/ q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. (3)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件. 8.A　 9.C　由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,所以选项C符合题意.故选C. 10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4,设方程的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2=-4, 又方程x2+4x+n=0有正数根,所以x1,x2一正一负, 所以x1x2=n<0,结合选项知B,C正确. 11.证明　充分性(条件⇒结论): 因为ab≠0,所以a2-ab+b2=b2>0, 又a+b>1,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>a2-ab+b2,即a3+b3+ab-a2-b2>0,所以充分性成立; 必要性(结论⇒条件): 因为a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)>0, 而a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1>0, 所以a+b>1,所以必要性成立. 综上,a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1. 导师点睛　对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应明确谁是条件,谁是结论.充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立来证明条件成立. 12.B　因为“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,所以当x=2时,4m2-2m-2=0,解得m=-或m=1. 当m=1时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-4x+4=0,所以x=2,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充要条件,舍去; 当m=-时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件. 综上所述,m=-.故选B. 13.BD　对于选项A,当m=3时,方程为x2+3=0,方程没有实数根,所以选项A错误;对于选项B,如果方程没有实数根,则Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9<0,解得1<m<9,又m>1是1<m<9的必要条件,所以选项B正确;对于选项C,如果方程有两个正根, 则解得0<m≤1, 所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1,所以选项C错误;对于选项D,如果方程有一个正根和一个负根,则解得m<0,所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0,所以选项D正确.故选BD. 14.答案　(-∞,-4)∪(1,+∞) 解析　因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A. 当B=⌀时,满足B⊆A,此时2a>a+3,解得a>3; 当B≠⌀时,要想满足B⊆A,则或 解得a<-4或1<a≤3. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 15.解析　因为m>0,所以1-m<1+m, 不妨设P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}. (1)若p是q的充分条件,则P⊆Q, 所以解得m≥5, 因此m的取值范围是{m|m≥5}. (2)若p是q的必要条件,则Q⊆P, 所以解得m≤3,又因为m>0, 故m的取值范围是{m|0<m≤3}. 解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P,Q,则p是q的充分条件⇔P⊆Q,p是q的必要条件⇔Q⊆P. 能力提升练 1.B　易知A,C,D正确,由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”的一个必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,因此B中说法错误.故选B. 2.A　对于集合P, 当a,b,c全正时,=3, 当a,b,c两正一负时,=-1, 当a,b,c一正两负时,=-1, 当a,b,c全负时,=3, 所以P={-1,3}. 对于集合Q, 因为{x|mx-1=0}⊆{x|3x2+2x-1=0}=, 所以若{x|mx-1=0}=⌀,则m=0; 若{x|mx-1=0}={-1},则-m-1=0,即m=-1; 若{x|mx-1=0}=,则m-1=0,即m=3. 所以Q={0,-1,3}. 因为P⊆Q,Q⊈P, 所以α是β的充分不必要条件. 故选A. 3.D　设方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有公共实根x1, 则两式相减得(k-2)x1=k-2, 若k=2,则两方程相同,为x2+2x+2=0,且无实数根, 若k≠2,则x1=1,所以1+k+2=0,解得k=-3. 当k=-3时,两方程分别为x2-3x+2=0,x2+2x-3=0, 方程x2-3x+2=0的两个实数根分别为1,2, 方程x2+2x-3=0的两个实数根分别为1,-3, 即方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根. 综上可知,方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是k=-3. 故选D. 4.答案　(1)①或②或③　(2)④　(3)① 解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b至少有一个为0; ②a+b=0⇔a,b互为相反数,即a,b可能均为0,也可能一正一负; ③a(a2+b2)=0⇔a=0或 ④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0. ∴“a,b都为0”的必要条件是①或②或③;“a,b都不为0”的充分条件是④;“a,b至少有一个为0”的充要条件是①. 5.证明　先证明充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,故充分性成立; 再证明必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0, 即a4-(b2+1)2=0, 即(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0, 因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1,故必要性成立. 所以a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 6.答案　 解析　因为y=x2-,x∈, 所以当x=时,y取得最小值;当x=2时,y取得最大值2, 所以A=, 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B, 而B={x|x+m>1}={x|x>1-m}, 所以1-m<,解得m>, 所以实数m的取值范围为. 7.答案　(0,+∞) 解析　设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B,则A={x|1-c<x<1+c,c>0},B={x|x>7或x<-1}. 因为p是q的既不充分也不必要条件, 所以A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②或③, 解不等式组①得c≤2,解不等式组②得c>2,解不等式组③得c>6. 又c>0,所以c的取值范围为(0,+∞). 8.解析　(1)当a=-时,集合A=x-2<x≤,由B={x|-1≤x≤3},得∁RB={x|x>3或x<-1}, 所以A∩(∁RB)={x|-2<x<-1}. (2)若选择①A∪B=B,则A⊆B, 当A=⌀时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A⊆B; 当A≠⌀时,解得0≤a<2. 所以实数a的取值范围是[0,+∞). 若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A⊆B, 当A=⌀时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A⊆B; 当A≠⌀时,解得0≤a<2. 所以实数a的取值范围是[0,+∞). 若选择③A∩B=⌀, 当A=⌀时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A∩B=⌀; 当A≠⌀时,或解得a<-2. 所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪[2,+∞). 16 学科网（北京）股份有限公司 $$