第1章 2_1 必要条件与充分条件（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§2 常用逻辑用语 知识点 1 充分条件、必要条件与充要条件 知识 清单破 2.1 必要条件与充分条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/q 条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 2.充要条件 　　一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 充分条件、必要条件与充要条件的判断 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.若p是q的充分条件,则p成立能保证q一定成立,但q成立p不一定成立. (　    ) √ 2.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的逻辑关系一样. (　    ) √ 3.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件. (　    ) ✕ 4.p的充分条件和必要条件一定是唯一存在的.(　    ) ✕ 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 充分条件、必要条件和充要条件的判断 1.定义法:直接利用定义进行判断. 2.利用集合间的关系进行判断 令p:x∈A,q:x∈B(A,B是两个集合). 若A⊆B,则p是q的充分条件; 若B⊆A,则p是q的必要条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; 若B⫋A,则p是q的必要不充分条件; 若A⊈B且B⊈A,则p是q的既不充分也不必要条件. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 3.传递法:根据充分条件、必要条件的传递性来判断的方法叫作传递法.充分条件具有传递 性,若A1⇒A2⇒A3⇒…⇒An-1⇒An,则A1⇒An,即A1是An的充分条件.必要条件也具有传递性,若A1 ⇐A2⇐A3⇐…⇐An-1⇐An,则A1⇐An,即A1是An的必要条件.当然,充要条件也有传递性. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:-2<x-1<2; (4)p:△ABC为直角三角形,q:△ABC为等腰三角形. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, 而(x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0, ∴p是q的充分不必要条件. (2)t2≠4⇒t≠2,t≠2⇒/ t2≠4(当t=-2时,t2=4),∴p是q的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x|-2<x-1<2}={x|-1<x<3},则A⫋B, ∴p是q的充分不必要条件. (4)∵p⇒/ q,q⇒/ p, ∴p是q的既不充分也不必要条件. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 2 充要条件的证明与探求 1.充要条件的证明 (1)证明p是q的充要条件时,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充 分性,后者证明的是必要性. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论分别进行等价转化. 2.探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到使结论成立的必要不充分条件或充 分不必要条件. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 (多选)下列是“a<0,b<0”的必要条件的是 (　    ) A.(a+1)2+(b+3)2=0　    B.a+b<0 C.a-b<0　　　　　　     D. >0 思路点拨    探究a<0,b<0成立的必要条件,则只需验证由a<0,b<0能否推出选项A,B,C,D中的 结论. 解析　取a=-2,b=-4,得(a+1)2+(b+3)2=2≠0,故A不是“a<0,b<0”的必要条件; 由a<0,b<0,得a+b<0,故B是“a<0,b<0”的必要条件; 取a=-2,b=-4,得a-b=-2-(-4)=2>0,故C不是“a<0,b<0”的必要条件; 由a<0,b<0,得 >0,故D是“a<0,b<0”的必要条件.故选BD. BD 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 求证:方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m< . 证明　充分性:若0<m< ,则Δ=4-12m>0, ∴方程有两个不相等的实数根,设为x1,x2, 则x1+x2= >0,x1x2= >0,∴x1与x2同号, ∴0<m< ⇒方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根. 必要性:若方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根,设为x3,x4, 则 解得0<m< , ∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根⇒0<m< . 综上,方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m< . 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 　　充分条件与必要条件的应用一般体现在参数问题上,首先把充分条件、必要条件转化为 集合间的关系,然后利用集合知识列出关于参数的方程(组)或不等式(组),注意对区间端点值 的检验,防止因考虑不全而致错. 讲解分析 疑难 3 利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围) 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在m∈R使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由; (2)是否存在m∈R使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析    (1)要使x∈P是x∈S的充要条件, 只需P=S,即  此方程组无解, 故不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. (2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P, ①当S=⌀时,1-m>1+m,解得m<0; ②当S≠⌀时,1-m≤1+m,解得m≥0, 要使S⊆P,只需 解得m≤0, 所以m=0. 综上,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件. 第一章　预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 $$