6.2.1 向量基本定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

　　如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. 6.2　向量基本定理与向量的坐标 知识点 1 共线向量基本定理 知识 清单破 6.2.1　向量基本定理 1.平面向量基本定理 　　如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y), 使得c=xa+yb. 2.基底 　　平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底,记为{a,b},此时如果c=xa+ yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式. 知识点 2 平面向量基本定理 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　已知A,B是直线l上任意两点,O是直线l外一点(如图所示).对直线l上任意一点P,存 在唯一的实数t满足 =(1-t) +t ,反之,对每一个实数t,在直线l上都有唯一的一个点P与 之对应. 　　在 =(1-t) +t 中,令t= ,可得 = ( + ),此时点P是线段AB的中点.   第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.平面内的任意两个向量都可以组成平面向量的一组基底. (　    ) 2.平面向量的基底确定后,平面内的任何一个向量都能用这组基底唯一表示. (　    ) 3.若单位向量e1,e2不共线,则λ1e1+λ2e2=0⇔λ1=λ2=0. (　    ) 4.若a与b共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa成立. (　    ) ✕ 平面内任意两个不共线的向量才可以作为一组基底. 提示 √ √ ✕ 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 共线向量基本定理的应用 讲解分析 　　共线向量基本定理有两方面的应用,一是若一个向量可以由另一个向量线性表示,则可 以判定两向量平行,进而可判定点共线或线共线;二是若两向量平行,则一个向量可以由另一 个非零向量线性表示,从而可求参数的值. 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　设e1,e2是两个不共线的向量,已知 =2e1-8e2, =e1+3e2, =2e1-e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)若 =3e1-ke2,且 ∥ ,求实数k的值. 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由已知得 = - =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, 因为 =2e1-8e2,所以 =2 , 又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线. (2)由(1)知 =e1-4e2,若 =3e1-ke2,且 ∥ ,则可设 =λ (λ∈R), 所以3e1-ke2=λe1-4λe2,即(3-λ)e1=(k-4λ)e2,又e1,e2是两个不共线的向量, 所以 解得  故实数k的值为12. 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.对平面向量基本定理的理解 (1)a,b是同一平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以组成平面向量的一组 基底. 2.求解定理中的实数x,y或与x,y有关的参数问题的方法 (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及共线向量基本定理求解. (2)利用待定系数法,即利用x,y的唯一性列方程(组)求解. 疑难 2 平面向量基本定理的应用 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 (1)对于平面内任意一点O,若存在唯一的实数对(λ,μ),使得 =λ +μ ,且λ+μ=1,则P,A,B三 点共线. (2)对于平面内任意一点O,若P,A,B三点共线,则一定存在唯一的实数对(λ,μ),使得 =λ + μ ,且λ+μ=1. 3.平面向量基本定理与三点共线问题 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　如图,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E,求证:E为线段BD的一个三 等分点.   第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 证明    设 =a, =b,则 = - =b-a, = + = +  =b+ a. 由题意知,A,E,F三点共线,B,D,E三点共线, 所以存在实数λ,μ,使得 =λ , =μ ,于是 = a+λb, =μb-μa. 因为 + = , 所以(1-μ)a+μb= a+λb. 因为a与b不共线, 所以 解得  所以 =  ,即E为线段BD(靠近点D)的一个三等分点. 第六章　平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 $$