21.3 实际问题与一元二次方程---平均变化率 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

---平均变化率 人教版 九年级上 21.3实际问题与一元一次方程 教学目标 1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点） 思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是85分，第二次月考增长了15%，第三次月考又增长了15%，问他第三次数学成绩是多少？ 第一次 第二次 第三次 85×15% 85（1+15%）×15% 85 85+85×15%=85 （1+15%） 85（1+15%）+85（1+15%）×15% = 85 （1+15%）2 新知导入 探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术 的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 合作探究 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有 5000(1-x)2=3000 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 注意：下降率不可为负，且不大于1. . 合作探究 设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为 6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有 6000(1-y)2=3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同. 合作探究 思考：经过计算，你能得出什么结论？ 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格． 合作探究 例1、青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 系数化为1得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 7200(1+x)2=8712 (1+x)2=1.21 1+x=1.1， 1+x=-1.1 x1=0.1= 10%， x2=-2.1，（舍去） 注意：增长率不可为负，但可以超过1. 典例精析 1、前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 3600 ( 1－x )2 = 1764， 解方程，得 x1=0.3，x2=1.7. 根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降率约为30％. 小试牛刀 2、某公司2017年的各项经营中，一月 份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，请你求这个增长率. 解：设这个增 长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 答：这个增长率为50%. 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 小试牛刀 归纳总结 归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）． 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得： （40-x)(20+2x)=1200 整理得，x2-30x+200=0 解方程得，x1=10，x2=20 答：每件衬衫应降价10元或20元. 例2 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 典例精析 1.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时，50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个. 小试牛刀 2.某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．20% B．80% C．180% D．20%或180% A 1.某厂今年一月份的总产量为600吨,三月份的总产量为820吨,平均每月增长率是x,列方程( 　　） A.600(1+2x)=820 B.600(1+x)2=820 C.600 (1+x2)=820 D.820(1+x)2=600 B 综合演练 3．某校去年对实验器材的投资为3万元,预计今明两年的投资总额为10万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 __________________。 3（1+x)+3(1+x)2=10 4.某种品牌的手机经过2、3月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为__________． 10% 综合演练 5、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，某市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率. 解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2. 解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为10%. 综合演练 6、菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售。(1)求平均每次下调的百分率； （1）解：设平均每次下调的百分率为x， 解得 x1=0.2，x2=1.8 （舍去） 答：平均每次下调的百分率为20%; 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 综合演练 （2）小平准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九五折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小平选择哪种方案更优惠？请说明理由. 方案一所需费用为：3.2×0.95×5000=15200（元） ∵15000＜15200， ∴小平选择方案二购买更优惠. 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元） 综合演练 总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤： 列一元二次方程解应用题的步骤： 审、设、找、列、解、答。 最后要检验根是否符合实际意义。 归纳总结 谢谢 汇报人：WPS $$