专题1集合与充要条件（讲义） -陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西历年职教单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合与充要条件。本专题涵盖集合的定义、集合之间的运算、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 陕西省2026年职教单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合与充要条件（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示； 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法； 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个； （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1．（24-25高三下·陕西·三模）集合，，集合，，则不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．下列结论正确的是（   ） A．是空集 B．0是空集 C．与是不同的集合 D． 2．下列对象能构成集合的是（   ） A．我班所有学习好的同学 B．靖边职教2022级的高个子学生 C．小于0.1的实数 D．接近的数 3．集合的真子集的个数有（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．下列各式表述正确的是（    ）. A． B． C． D． 5．设集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设集合，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（1）用列举法表示“小于6的自然数”组成的集合： ； （2）用描述法表示“小于5的实数”组成的集合： ； 8．用符号“ ， ，”填空： （1） ；（2） ；（3） ； （4）0 ；（5） ． 9．已知的子集的个数为 ． 10．已知，其中互异，写出集合的所有子集并找出其中的真子集. 知识点3 集合间的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 常用结论： （1）交集运算，，，，， （2）并集运算：，，，， （3）补集运算：，， （4） （5） 1．（23-24高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，求（    ） A． B． C． D． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知集合 ，则（     ） A． B． C． D． 4．已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，那么集合 7．已知全集，集合，则 ． 8．已知集合，则 9．设集合锐角三角形，集合钝角三角形，则 . 10．设全集，集合，集合，求： (1) (2) (3) (4) 知识点3 命题与充要条件 1.命题：能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 1．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）甲：，乙：，那么（    ） A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D．甲是乙的充分必要条件 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）且是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（19-20高三·陕西榆林·模拟预测）若；，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（22-23高三·陕西·模拟预测）是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（23-24高三下·陕西·二模）是不等式恒成立的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．空间两条直线、互相平行的一个充分条件是（    ） A．、都垂直于同一个平面 B．、都平行于同一个平面 C．、与同一个平面所成的角相等 D．平行于所在的平面 2．且是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“四边形为梯形”是“四边形为正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．俗语云：“好人有好报.”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 7．设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 已知 ，则实数a的取值范围是 . 9. “同旁内角互补”是“两直线平行”的 条件. 10．判断下列问题中，是的什么条件? (1)，； (2)，； (3)，； (4)是有理数，是有理数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西历年职教单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合与充要条件。本专题涵盖集合的定义、集合之间的运算、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 陕西省2026年职教单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合与充要条件（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示； 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法； 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个； （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1．（24-25高三下·陕西·三模）集合，，集合，，则不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先列出的所有取值，再得出不小于的取值个数，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知集合，，集合，， 则，， ，， ，， 共有种的组合数，其中不小于的组合数有种， 所以不小于的概率是， 故选：C. 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】解二次方程化简集合，从而得解. 【详解】解，得或， 故，共有2个元素. 故选：B. 1．下列结论正确的是（   ） A．是空集 B．0是空集 C．与是不同的集合 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合之间的关系、空集的概念、相等集合的概念即可解得. 【详解】选项AB：集合空集指不含任何元素，错误. 选项C：集合具有无序性，两集合相等，错误. 选项D：表示有理数集，则，正确. 故选：D 2．下列对象能构成集合的是（   ） A．我班所有学习好的同学 B．靖边职教2022级的高个子学生 C．小于0.1的实数 D．接近的数 【答案】C 【分析】根据集合的确定性易得答案. 【详解】对于A：学习好的同学，对象的不确定性，故不能组成集合， 对于B：高个子学生，对象的不确定性，故不能组成集合， 对于C：小于0.1的实数，对象是确定的，故能组成集合， 对于D：接近的数，对象的不确定性，故不能组成集合. 故选：C. 3．集合的真子集的个数有（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据集合中元素个数求出真子集个数即可解得. 【详解】由题，集合中共有个元素， 则集合真子集个数为个. 故选：B 4．下列各式表述正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系逐项判断即可得解. 【详解】，故选项错误；，故选项正确； ，故选项错误；，故选项错误； 故选：. 5．设集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系以及集合与元素的关系求解即可. 【详解】因为，所以，故A正确，BCD错误. 故选：A. 6．设集合，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合，元素与集合之间的符号表示逐项分析即可. 【详解】已知集合， 则，故A错误，，故B错误，C正确， ，故D错误， 故选：C. 7．（1）用列举法表示“小于6的自然数”组成的集合： ； （2）用描述法表示“小于5的实数”组成的集合： ； 【答案】 【分析】（1）结合常用数集用列举法描述即可解得. （2）结合常用数集用描述法描述即可解得. 【详解】（1）小于的自然数有， 用列举法可表示为. （2）小于的实数用描述法可表示为. 故答案为：； 8．用符号“ ， ，”填空： （1） ；（2） ；（3） ； （4）0 ；（5） ． 【答案】   【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系直接判断即可. 【详解】由题可知：（1）； （2）； （3）； （4）0； （5）． 故答案为：；；；；. 9．已知的子集的个数为 ． 【答案】8 【分析】根据题意，结合子集的定义，即可求解. 【详解】因为集合中含有3个元素， 故集合A的子集的个数为个. 故答案为：8. 10．已知，其中互异，写出集合的所有子集并找出其中的真子集. 【答案】子集 真子集 【分析】根据集合交集的运算，结合集合子集以及真子集的概念即可解得. 【详解】由题，集合， 则，则其子集有， 其中真子集为. 知识点3 集合间的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 常用结论： （1）交集运算，，，，， （2）并集运算：，，，， （3）补集运算：，， （4） （5） 1．（23-24高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的运算方式，即可求解. 【详解】由题意知集合，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由一元二次不等式化简集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由可得，解得， 所以，又， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】集合，集合，则. 故选：D. 4．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）设集合，求（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】集合，， 则. 故选：A. 2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合的交集易得答案. 【详解】因为集合， 所以， 所以中元素的个数为个. 故选：B. 3．已知集合 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合 ， 所以. 故选：B. 4．已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的并集运算即可. 【详解】集合 ，， 则. 故选：C. 5．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算即可求出. 【详解】集合，集合， . 故选：C. 6．已知集合，那么集合 【答案】 【分析】联立集合与集合中的方程，求解方程组的解，进而求解. 【详解】联立集合与集合中的方程，即. 从而集合. 故答案为：. 7．已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求出 【详解】根据补集的定义即得：． 故答案为：. 8．已知集合，则 【答案】 【分析】根据并集和补集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 则，所以， 故答案为：. 9．设集合锐角三角形，集合钝角三角形，则 . 【答案】 【分析】首先确定表示的三角形满足的条件，进而得到. 【详解】设集合锐角三角形，集合钝角三角形， 则则表示所有既是锐角三角形，又是钝角三角形的三角形， 显然这种三角形不存在，则， 故答案为：. 10．设全集，集合，集合，求： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据交集的概念运算即可. （2）根据并集的概念运算即可. （3）根据补集的概念运算即可. （4）根据补集的概念运算即可. 【详解】（1）已知集合，集合， 则. （2）已知集合，集合， 则. （3）已知全集，集合， 则. （4）已知全集，集合， 则. 知识点3 命题与充要条件 1.命题：能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 1．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）甲：，乙：，那么（    ） A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D．甲是乙的充分必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，即充分性成立； 当时，或，不一定有，即必要性不成立； 所以甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件. 故选：B. 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）且是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当且时，必有，则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但且不成立，即必要性不成立； 所以且是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（19-20高三·陕西榆林·模拟预测）若；，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由，解得，再由充分必要条件的定义即可得解. 【详解】由，解得， 故推不出， 能推出， 故是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（22-23高三·陕西·模拟预测）是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，， 则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高三下·陕西·二模）是不等式恒成立的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出令不等式恒成立的的取值范围，再判断充分条件和必要条件. 【详解】若恒成立，则 解得：， 故能够推出， 但不一定， 故是不等式恒成立的充分不必要条件. 故选:C. 1．空间两条直线、互相平行的一个充分条件是（    ） A．、都垂直于同一个平面 B．、都平行于同一个平面 C．、与同一个平面所成的角相等 D．平行于所在的平面 【答案】A 【分析】根据空间中直线的位置关系，结合充分条件的判定即可解得. 【详解】选项A：由直线与平面垂直的性质定理可知垂直于同一平面，则，正确. 选项B：平行于同一平面，则可能平行、相交或异面，错误. 选项C：与同一个平面所成的角相等，可能平行、相交或异面，错误. 选项D：平行于所在平面，可能平行或异面，错误. 故选：A 2．且是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当且时，必有，则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但且不成立，即必要性不成立； 所以且是的充分不必要条件. 故选：A. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据范围的大小，结合充分、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，不一定有，如，即“”是“”的不充分条件； 当时，一定有，即“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解方程，再判断充分条件与必要条件. 【详解】解得或， 能推出，而不能推出，因为还可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．“四边形为梯形”是“四边形为正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的概念求解. 【详解】梯形不能推出正方形，正方形也不能推出梯形， 所以“四边形为梯形”是“四边形为正方形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．俗语云：“好人有好报.”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】这句话的意思中“好人”⇒“有好报”，但有好报好人，所以“好人”是“有好报”的充分条件. 故选：A. 7．设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 8. 已知 ，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的性质可求参数值. 【详解】空集是任何一个非空集合的真子集， 所以方程一定有实数根， 则有， 则实数a的取值范围是， 故答案为： 9. “同旁内角互补”是“两直线平行”的 条件. 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】同旁内角互补两直线平行， 故“同旁内角互补”是“两直线平行”的充要条件. 故答案为：充要. 10．判断下列问题中，是的什么条件? (1)，； (2)，； (3)，； (4)是有理数，是有理数. 【答案】(1)既不充分也不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)充要条件 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】（1）不能推出，如时，满足，但不满足； 不能推出，如时，满足，但不满足； 故是的既不充分也不必要条件. （2）不能推出，如，但； ，则有且，可以推出； 故是的必要不充分条件. （3）可以推出； 不能推出，如， 故是的充分不必要条件. （4）若是有理数，则必有是有理数，充分性成立； 若是有理数，则必有是有理数，必要性成立， 故是的充要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$