21.3 实际问题与一元二次方程(3)——销售问题 学案 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第10课时实际问题与一元二次方程(3)——销售问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 销售问题中的常用等量关系： ①利润＝实际售价－成本(进价)；②总利润＝单件利润×销售量. 知识点1：已知单件利润的情况 【例1】某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出300件.据调查，每件商品每上涨1元，每天要少卖10件. (1)填表： 每件上涨的钱数/元 单件利润/元 销售总量/件 总利润/元 1 20＋1 300－10 6 090 2 20＋2 300－20 6160 x 20＋x 300－10x (20＋x)·(300－10x) (2)若每天售出的商品的利润为2 250元，则每件商品应涨价多少元？ 知识点2：需要转化为单件利润的情况 【例2】某商店准备销售一种多功能旅行背包，进价为每个30元，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个.为了尽可能让顾客得到实惠，当销售单价增长多少元时，销售利润是3 120元？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天要盈利元，那么每件降价多少元？设每件降价元，可列方程为(    ) A. B. C. D. 2.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.某超市以元件的价格新进一批商品，经市场调研，该商品每天的销量件与售价元件满足关系式若该超市每天的利润为元，则商品的售价为(    ) A. 元件 B. 元件 C. 元件或元件 D. 元件或元件 4.香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克元时，每天可销售千克，售价每上涨元，每天的销量将减少千克．如果该水果店想平均每天获利元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 5.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳第二次又降价，销量大增，很快就清理了库存设这两次降价的平均降价率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个元，当售价为每个元时，每星期可以卖出个，现需降价处理：售价每降价元，每星期可以多卖出个．若店里每星期笔袋的利润要达到元，则每个笔袋的售价应降低_____元． 7.某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价          元． 8.某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价          元． 9.某商品成本价为元瓶，当定价为元瓶时，每天可售出瓶．市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．设销售单价上涨元． 涨价前每瓶的利润为          元，涨价后每瓶的利润为          元用含的代数式表示； 涨价后每天的销售量为          瓶用含的代数式表示； 若涨价后日销售利润达到元，则列出方程为          ． 10.百佳超市将进货单价为元的商品按元出售时，能卖个，已知该商品要涨价元，其销售量就要减少个，为了赚元利润，每个涨价多少元？设每个涨价元，可列方程为           ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.老板发现：如果每斤高档苹果盈利元，每天可售出斤；若每斤涨价元，日销售量将减少斤．若每天盈利元，则每斤应涨价多少元？ 12.商场购进某种新商品的每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件；当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． 当每件商品的售价为元时，每天可销售          件该商品，商场每天可盈利          元； 设每件商品的售价定为元时，商场每天可销售          件，每件的利润为          元； 当每件商品的售价定为多少时，商场每天盈利达到元？ 13.某水果超市销售一种高档水果，售价为每千克元．若按售价销售，则每千克盈利元，每天可售出千克．在进价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但每千克涨价不能超过元．经市场调查发现，若每千克涨价元，则日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 14.服装批发市场有一批服装，如果每件盈利元，每天可售出件经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价元，日销量将减少件． 若以每件能盈利元的单价出售，每天的总利润为多少元 现市场要保证销售这批服装每天总利润为元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元 15.某水果批发商场经销一种高档水果，每千克的成本是元，经市场调查发现，如果每千克的售价为元时，那么每天可售出千克，而每千克涨价元，每天销售量就减少千克． 若每千克的售价为元，求每天可盈利多少元？ 现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 16.一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． 设每件降价元，降价后每天的销售量为          件； 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 17.某商店原来平均每天可销售某种水果，每千克可盈利元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出若要平均每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 18.某网店销售一款童装，每件售价元时每周可卖件，为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定降价销售，经市场调查发现，每降价元每周可多卖件．已知该款童装每件成本价为元．若总利润要达到元，问每件童装的售价应定为多少元？ 19.抖音直播卖货已成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台．某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商平台上对本县一花椒种植户的袋装袋花椒面进行直播销售．该袋装花椒各种成本为元袋，如果按元袋销售，每天可卖出袋，通过市场调查发现，每袋花椒面的售价每降低元，日销售量可增加袋． 若要每天获利元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？ 该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店同时销售，标价为元袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于中的售价又不高于元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？ 20.某特产专卖店销售樱桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均每天获利元，请回答： 每千克樱桃应降价多少元 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第10课时实际问题与一元二次方程(3)——销售问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 销售问题中的常用等量关系： ①利润＝实际售价－成本(进价)；②总利润＝单件利润×销售量. 知识点1：已知单件利润的情况 【例1】某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出300件.据调查，每件商品每上涨1元，每天要少卖10件. (1)填表： 每件上涨的钱数/元 单件利润/元 销售总量/件 总利润/元 1 20＋1 300－10 6 090 2 20＋2 300－20 6160 x 20＋x 300－10x (20＋x)·(300－10x) (2)若每天售出的商品的利润为2 250元，则每件商品应涨价多少元？ 解：(2)由题意，得(20＋x)(300－10x)＝2 250. 整理，得x2－10x－375＝0. 解得x1＝25，x2＝－15(不合题意，舍去). 答：每件商品应涨价25元. 知识点2：需要转化为单件利润的情况 【例2】某商店准备销售一种多功能旅行背包，进价为每个30元，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个.为了尽可能让顾客得到实惠，当销售单价增长多少元时，销售利润是3 120元？ 解：设销售单价增长x 元. 依题意，得(40－30＋x)＝3 120. 整理，得x2－18x＋32＝0. 解得x1＝2，x2＝16. ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝2. 答：当销售单价增长2元时，销售利润是3 120元. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天要盈利元，那么每件降价多少元？设每件降价元，可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.某服装店将进价为元的内衣，以元售出，平均每月能售出件，经试销发现每件内衣每涨价元，其月销售量就减少件，为实现每月利润元，设定价为元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.某超市以元件的价格新进一批商品，经市场调研，该商品每天的销量件与售价元件满足关系式若该超市每天的利润为元，则商品的售价为(    ) A. 元件 B. 元件 C. 元件或元件 D. 元件或元件 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是一次函数及一元二次方程的应用有关知识，根据题意列出方程求解即可． 【解答】 解：由题意得： ， 解得：或． 因为， 所以． 故选B． 4.香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克元时，每天可销售千克，售价每上涨元，每天的销量将减少千克．如果该水果店想平均每天获利元，设这种香水梨的售价上涨了元，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设这种香水梨的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克， 依题意得：． 故选：． 设这种香水梨的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳第二次又降价，销量大增，很快就清理了库存设这两次降价的平均降价率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【解答】解：设该商品的原价为元，则经过两次降价后的价格为元， 根据题意得：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该商品的原价为元，，根据题意找出等量即可． 二、填空题： 6.某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个元，当售价为每个元时，每星期可以卖出个，现需降价处理：售价每降价元，每星期可以多卖出个．若店里每星期笔袋的利润要达到元，则每个笔袋的售价应降低_____元． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的应用的有关知识，设每个笔袋的售价应降低元，根据题意列出方程求解即可． 【解答】 解：设每个笔袋的售价应降低元， 由题意得 ， 解得负值舍去， 故答案为． 7.某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价          元． 【答案】  8.某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价          元． 【答案】  9.某商品成本价为元瓶，当定价为元瓶时，每天可售出瓶．市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．设销售单价上涨元． 涨价前每瓶的利润为          元，涨价后每瓶的利润为          元用含的代数式表示； 涨价后每天的销售量为          瓶用含的代数式表示； 若涨价后日销售利润达到元，则列出方程为          ． 【答案】(1)4;（x＋4）  (2)（60-5x）  (3)（x＋4）（60-5x）＝300  10.百佳超市将进货单价为元的商品按元出售时，能卖个，已知该商品要涨价元，其销售量就要减少个，为了赚元利润，每个涨价多少元？设每个涨价元，可列方程为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.老板发现：如果每斤高档苹果盈利元，每天可售出斤；若每斤涨价元，日销售量将减少斤．若每天盈利元，则每斤应涨价多少元？ 【答案】解：设每斤价格上涨元，则  解得，  答：每斤价格应上涨元或元．  【解析】略 12.商场购进某种新商品的每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件；当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． 当每件商品的售价为元时，每天可销售          件该商品，商场每天可盈利          元； 设每件商品的售价定为元时，商场每天可销售          件，每件的利润为          元； 当每件商品的售价定为多少时，商场每天盈利达到元？ 【答案】(1)60;1200  (2)（200-x）;（x-120）  (3)根据题意，得（200-x）（x-120）＝1500．解得x1＝150，x2＝170．答：当每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元．  13.某水果超市销售一种高档水果，售价为每千克元．若按售价销售，则每千克盈利元，每天可售出千克．在进价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但每千克涨价不能超过元．经市场调查发现，若每千克涨价元，则日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】解：设每千克涨价元，则每千克盈利元，每天可售出千克．根据题意，得，解得，又每千克涨价不能超过元，答：每千克应涨价元．  14.服装批发市场有一批服装，如果每件盈利元，每天可售出件经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价元，日销量将减少件． 若以每件能盈利元的单价出售，每天的总利润为多少元 现市场要保证销售这批服装每天总利润为元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元 【答案】元． 元．  15.某水果批发商场经销一种高档水果，每千克的成本是元，经市场调查发现，如果每千克的售价为元时，那么每天可售出千克，而每千克涨价元，每天销售量就减少千克． 若每千克的售价为元，求每天可盈利多少元？ 现该商场要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】解：元   答：每天可盈利元        设每千克涨价元，由题意，得                   解得，                  要使顾客得到实惠不合题意，舍去   答：每千克应涨价元  【解析】 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，表示出涨价后的销售量，由每千克的利润乘以销售量即可得到每天的总利润；  设每千克应涨价元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 16.一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． 设每件降价元，降价后每天的销售量为          件； 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 【答案】(1)（20＋2x）  (2)设每件商品降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天销售数量为（20＋2x）件，依题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200， ∴x1＝10，x2＝20， 当x＝10时，40－x＝30（元），30＞25，符合题意； 当x＝20时，40－x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去． 答：每件商品降价10元时，每天的销售利润为1200元．   17.某商店原来平均每天可销售某种水果，每千克可盈利元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出若要平均每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 【答案】解：设每千克降价元，根据题意得：， 整理得：， 即， 解得：舍去，或． 答：若要平均每天盈利元，则每千克应降价元．  【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的数量每千克盈利每天销售的利润是解题关键． 根据“每天利润每天销售数量每千克的利润”即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论． 18.某网店销售一款童装，每件售价元时每周可卖件，为避免产品积压，最大限度地减少库存，该店决定降价销售，经市场调查发现，每降价元每周可多卖件．已知该款童装每件成本价为元．若总利润要达到元，问每件童装的售价应定为多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价元销售，则每周可售出件童装，  依题意，得，  整理，得，  解得，为避免产品积压，最大限度地减少库存，，  答：每件童装的售价应定为元．  19.抖音直播卖货已成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台．某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商平台上对本县一花椒种植户的袋装袋花椒面进行直播销售．该袋装花椒各种成本为元袋，如果按元袋销售，每天可卖出袋，通过市场调查发现，每袋花椒面的售价每降低元，日销售量可增加袋． 若要每天获利元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？ 该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店同时销售，标价为元袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于中的售价又不高于元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？ 【答案】解：设每袋售价应降价元，则每袋的销售利润为  元，日销售量为  袋， 依题意得  ， 解得  ，  ，  商家想尽快销售完所有花椒，   ． 答：每件售价应降价元． 设线下每袋花椒打折售卖，依题意得  ， 解得：  ． 答：该花椒至少打了折，最多打折．   【解析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 等量关系式：降价后每袋花椒所获的利润  降价后的销售量  元，据此列方程，即可求解； 不等关系式：售价  打折后的线下标价  ，据此列出不等式组，即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 20.某特产专卖店销售樱桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均每天获利元，请回答： 每千克樱桃应降价多少元 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售 【答案】解：设每千克樱桃应降价元． 根据题意，得， 解得，． 答：每千克樱桃应降价元或元． 由知每千克樱桃应降价元或元， 因为要尽可能让利于顾客，赢得市场， 所以每千克樱桃应降价元，此时售价为元， 所以出售时的折扣为折． 答：该店应按原售价的折出售．   【解析】【分析】本题是日常生活中经常遇到的销售问题，把其中的已知量与未知量之间的等量关系用方程这个有效工具来表达时，就建立了它的数学模型． 设每千克樱桃应降价元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可； 为了让利于顾客因此应下降元，求出此时的销售单价即可确定几折． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$