第21章第9课时实际问题与一元二次方程(2)——面积问题 学案2025-2026学年人教版九年级上册数学暑假预习课

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第9课时实际问题与一元二次方程(2)——面积问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：边框问题 【例1】(人教九上P20探究3改编)在一幅长8 dm，宽6 dm的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽度. 知识点2：围栏问题 【例2】如图，利用一段长为20 m的篱笆和一面墙围成一个长方形花圃ABCD.设花圃的宽AB为x m(其中AB＜BC). (1)用含x的代数式表示：BC＝　 　m； (2)若花圃的面积为42 m2，求此时花圃的宽AB. 知识点3：小路宽度问题 【例3】要在长为32 m，宽为20 m的矩形花圃中修两条与花圃四周垂直等宽的小路(如图)，且使种植花草的面积能达到589 m2，则小路应修多宽？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校准备修建一个面积为的矩形活动场地，它的长比宽多设场地的宽为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 4.空地上有一段长为的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园如图，已知木栅栏总长为，所围成的长方形菜园面积为若，，则(    ) A. 有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 5.某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路如图所示，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的倍，若四条小路所占面积为平方米，则小路的宽度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.某社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场如图已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是米，若停车位的面积为平方米．依题意可列出方程(    ) A. B. C. D. 7.如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求的值．根据题意，可列得的方程为(    ) A. B. C. D. 8.在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当的面积是的面积的三分之一时，经过的时间是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若一个长方形的长比宽多，且面积为，则宽是          ． 12.有一个面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好得到一个正方形，这个正方形的边长是           13.如图，用长的篱笆在一个长的墙边靠墙围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是          ． 14.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为          ． 15.如图，某小区有一块长为米、宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为平方米．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则所列方程是          。 16.如图，将边长为的正方形纸片沿两边各剪去一个一边长为的矩形，剩余部分的面积为，求的值．根据题意可列方程为          方程化为一般式． 17.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为平方米，则车道的宽度为          米． 18.如图所示，在矩形中，，，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动． 当秒时，线段          ．当          秒时，的面积是．   三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是求两条直角边的长． 20.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，求菱形的周长． 21.如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 22.在一幅长分米，宽分米的矩形风景画如图的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图如图，若要使整个挂图的面积是平方分米，求金色纸边的宽． 23.如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，求道路的宽为多少？   24.如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 25.如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度结果保留小数点后一位？ 26.某展览馆计划将长，宽的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道图中阴影部分，求通道的宽． 27.有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪． 已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出每条道路的宽为多少米 已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米． 28.如图，正方形的边长为，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边以的速度移动，如果点，分别从，同时出发，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． 当为何值时，为直角三角形？ 当为何值时，的面积为正方形面积的？   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第9课时实际问题与一元二次方程(2)——面积问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：边框问题 【例1】(人教九上P20探究3改编)在一幅长8 dm，宽6 dm的矩形风景画(如图1－21－9－1①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图1－21－9－1②).如果要使整个挂图的面积是80 dm2，求金色纸边的宽度. 图1－21－9－1 解：设金色纸边的宽度为x dm，则矩形挂图的长为(2x＋8) dm，宽为(2x＋6)dm. 依题意，得(2x＋8)(2x＋6)＝80. 解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去). 答：金色纸边的宽度为1 dm. 知识点2：围栏问题 【例2】如图1－21－9－3，利用一段长为20 m的篱笆和一面墙围成一个长方形花圃ABCD.设花圃的宽AB为x m(其中AB＜BC). (1)用含x的代数式表示：BC＝　(20－2x)　m； (2)若花圃的面积为42 m2，求此时花圃的宽AB. 图1－21－9－3 解：(2)依题意，得x(20－2x)＝42. 解得x1＝3，x2＝7. 当x＝3时，20－2x＝14＞3，符合题意； 当x＝7时，20－2x＝6＜7，不合题意，舍去. 答：此时花圃的宽AB为3 m. 知识点3：小路宽度问题 【例3】要在长为32 m，宽为20 m的矩形花圃中修两条与花圃四周垂直等宽的小路(如图1－21－9－5)，且使种植花草的面积能达到589 m2，则小路应修多宽？ 解：设小路的宽为x m. 依题意，得(32－x)(20－x)＝589. 解得x1＝1，x2＝51(不合题意，舍去). 答：小路应修1 m宽.图1－21－9－5 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校准备修建一个面积为的矩形活动场地，它的长比宽多设场地的宽为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设小路的宽度为， 那么耕地的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：， 整理得：， 故选：． 如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，弄清“耕地的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 4.空地上有一段长为的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园如图，已知木栅栏总长为，所围成的长方形菜园面积为若，，则(    ) A. 有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 【答案】A  5.某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路如图所示，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的倍，若四条小路所占面积为平方米，则小路的宽度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B  【解析】设小路的宽度为米，则小正方形的边长为米，小路的横向总长度为米，纵向总长度为米，依题意得，整理得，解得舍去，． 6.某社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场如图已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是米，若停车位的面积为平方米．依题意可列出方程(    ) A. B. C. D. 【答案】C  7.如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求的值．根据题意，可列得的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程根据题意可知裁剪后的底面的长为，宽为，从而可以列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】 解：由题意可得，． 故选B． 8.在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当的面积是的面积的三分之一时，经过的时间是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒，的面积是的面积的三分之一，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【解答】 解：设经过秒，的面积是的面积的三分之一， 则，，， 由题意，得 ， 解得：，． 答：设经过秒或秒，的面积等于面积的． 故选C． 10.如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设，则，根据折叠的性质得出，，再利用勾股定理建立方程求出的值，得出，的长，进而可得出面积． 【解答】 解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，舍去， ，，， 矩形的面积， 故选：． 二、填空题： 11.若一个长方形的长比宽多，且面积为，则宽是          ． 【答案】  12.有一个面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好得到一个正方形，这个正方形的边长是           【答案】  【解析】解：设这个正方形的边长为，则原长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：这个正方形的边长为． 故答案为： 设这个正方形的边长为，则原长方形的长为，宽为，根据原长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是表示出长方形的长和宽，然后根据面积列方程求解． 13.如图，用长的篱笆在一个长的墙边靠墙围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是          ． 【答案】  14.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为          ． 【答案】．  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，正确表示种植区域的长和宽是解题的关键． 利用平移的性质，构造完整的矩形，表示出种植面积即可． 【解答】 解：设小路宽为米，则种植区域的长为米，宽为米， 根据矩形面积公式可得，． 故答案为：． 15.如图，某小区有一块长为米、宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为平方米．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则所列方程是          。 【答案】  16.如图，将边长为的正方形纸片沿两边各剪去一个一边长为的矩形，剩余部分的面积为，求的值．根据题意可列方程为          方程化为一般式． 【答案】  17.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为平方米，则车道的宽度为          米． 【答案】  18.如图所示，在矩形中，，，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动． 当秒时，线段          ． 当          秒时，的面积是． 【答案】 或．   【解析】解：当秒时，， 根据勾股定理得， 故答案为：． 设运动时间为秒， 此时，，， 的面积是， ， 整理得， 解得：，， 当秒或秒时，的面积是． 故答案为：或． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是求两条直角边的长． 【答案】解：设一条直角边长为 ，则另一条直角边长为  根据题意，得， 即  解得，  当时，； 当时，  答：两条直角边的长分别为，．  20.一个菱形两条对角线长的和是，面积是，求菱形的周长． 【答案】解：设菱形较短的对角线长为，则另一条对角线长为，  则，整理得，  解得或，即较短的对角线长为，菱形的边长为，菱形的周长为．  21.如图，为了美化校园环境，某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求通道的宽． 【答案】解：根据题意，得． 整理，得， 解得，不合题意，舍去． 答：通道的宽是． 22.在一幅长分米，宽分米的矩形风景画如图的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图如图，若要使整个挂图的面积是平方分米，求金色纸边的宽． 【答案】解：设金色纸边的宽为分米，根据题意，得  解得，不合题意，舍去  答：金色纸边宽分米．  23.如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，求道路的宽为多少？ 【答案】解：设道路的宽为米，根据题意，得 ， 整理得， 解得舍去或． 答：道路宽为米．   24.如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 【答案】设矩形垂直于墙的一边的长为由题意得，， 整理得，，解得，，，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意．答：矩形垂直于墙的一边的长为．   25.如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度结果保留小数点后一位？ 【答案】设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为． 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程 ． 整理，得 ． 解方程，得 ． 上、下边衬的宽均为________，左、右边衬的宽均为________．   【解析】分析：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ． 26.某展览馆计划将长，宽的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道图中阴影部分，求通道的宽． 【答案】解：设通道的宽为，则中间的矩形展览区的长为，宽为． 根据题意得， 解得不合题意，舍去，， 即通道的宽为．   27.有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪． 已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出每条道路的宽为多少米 已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米． 【答案】解：当，时，四块草坪可合成长为米，宽为米的矩形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：每条道路的宽为米． 四块矩形场地可合成长为米，宽为米的矩形， 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ． 答：原来矩形场地的长为米，宽为米．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 当，时，四块草坪可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为平米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为平米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出原来矩形场地的宽，再将其代入中即可求出原来矩形场地的长． 28.如图，正方形的边长为，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边以的速度移动，如果点，分别从，同时出发，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． 当为何值时，为直角三角形？ 当为何值时，的面积为正方形面积的？ 【答案】(1)要使△PQB为直角三角形，则需PB2＋PQ2＝BQ2或BQ2＋PQ2＝PB2．∵PB2＝102＋（2t）2，PQ2＝t2＋（10－2t）2，BQ2＝102＋（10－t）2，即8t2－20t＝0或t2－30t＋100＝0，∴t＝0或或或（舍去）．  (2)S正方形ABCD＝10×10＝100（cm2）． 当0≤t≤5时，S△PQB＝S正方形ABCD－S△PAB－S△PDQ－S△BCQ＝100－10t－（5t－t2）－（50－5t）＝t2－10t＋50＝25，解得t＝5； 当5< t<10时，，解得 t＝5（舍去）．∴当t＝5时，△PQB的面积为正方形ABCD面积的．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$