21.3 实际问题与一元二次方程(1)——平均变化率问题 学案 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第8课时实际问题与一元二次方程(1)——平均变化率问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ (1)连续增长(下降)两次问题：原量·(1±x)2＝新量(x为变化率)； (2)病毒传染两轮问题：原量·(1＋x)2＝新量(x为一个传染源能传染的数量). 知识点1：增长率问题 【例1】某商店元旦当天的销售额是2 000元，1月3日的销售额是4 500元，求该店从元旦到1月3日销售额平均每天的增长率. 　　　　　　　 知识点2：下降率问题 【例2】某药厂两年前生产1 t某种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t这种药品的成本是3 200元，求这种药品成本的年平均下降率. 知识点3：传染问题 【例3】(人教九上P19探究1改编) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人？ (2)如果不及时控制，按照这样的速度，三轮传染后，患流感的有多少人？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个，如果每月的增长率相同，则(    ) A. B. C. D. 2.某工厂月份生产机器台，计划，月份共生产台，设，月份生产量的月平均增长率为，则根据题意列出的方程为(    ) A. B. C. D. 3.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是万元，第一季度的总营业额是万元．若设月平均增长率是，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 5.某地区月初疫情感染人数万人，通过社会各界的努力，月初感染人数减少至万人．设月初至月初该地区感染人数的月平均下降率为，根据题意列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司、月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是          ． 7.两年前某型号汽车的生产成本是万元辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为万元辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为          ． 8.某工厂为了能给市场提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由个增加到个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为，则可列方程为          ． 9.某大型超市连锁集团元月份销售额为万元，三月份达到了万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为，则根据题意列出方程是          ． 10.某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，问月，月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，则可列方程为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同． 求该快递公司投递总件数的月平均增长率 如果平均每人每月最多可投递万件，那么该公司现有的名快递投递业务员能否完成今年月份的快递投递任务如果不能，请问至少需要增加几名业务员 12.某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率． 13.李师傅去年开了一家商店．今年月份开始盈利，月份盈利元，月份的盈利达到元，且从月到月，每月盈利的平均增长率都相同． 求每月盈利的平均增长率； 按照这个平均增长率，预计月份这家商店的盈利可达到多少元？ 14.芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个芯片，第三季度生产万个芯片． 求第二、三季度生产量的季平均增长率． 经调查发现，条生产线最大产能是万个季度．若每增加条生产线，则每条生产线的最大产能将减少万个季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能的同时又要节省成本的条件下生产线越多，成本越大，应该再增加几条生产线？ 15.两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，求甲种药品成本的年平均下降率． 16.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由元平方米，下降到元平方米． 求房价年平均下降率； 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 17.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司月每个月生产成本的下降率都相同． 求该公司月每个月生产成本的下降率 请你预测月份该公司的生产成本． 18.“世界荔枝看中国，中国荔枝看广东”广东的荔枝品种繁多，果肉鲜嫩多汁，香甜可口，且含有丰富的维生素和蛋白质，是夏季消暑的最佳选择进入荔枝成熟期以来，荔枝大量上市，某水果经销商统计了月份到月份的荔枝销量，已知月份销售千克，月份销售千克，求月份到月份荔枝销售量的月平均增长率． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第8课时实际问题与一元二次方程(1)——平均变化率问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ (1)连续增长(下降)两次问题：原量·(1±x)2＝新量(x为变化率)； (2)病毒传染两轮问题：原量·(1＋x)2＝新量(x为一个传染源能传染的数量). 知识点1：增长率问题 【例1】某商店元旦当天的销售额是2 000元，1月3日的销售额是4 500元，求该店从元旦到1月3日销售额平均每天的增长率. 解：设销售额平均每天的增长率为x. 依题意，得2 000(1＋x)2＝4 500. 解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去). 答：销售额平均每天的增长率为50%. 　　　　　　　　　　　 知识点2：下降率问题 【例2】某药厂两年前生产1 t某种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t这种药品的成本是3 200元，求这种药品成本的年平均下降率. 解：设这种药品成本的年平均下降率为x. 依题意，得5 000(1－x)2＝3 200. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：这种药品成本的年平均下降率为20%. 知识点3：传染问题 【例3】(人教九上P19探究1改编) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人？ (2)如果不及时控制，按照这样的速度，三轮传染后，患流感的有多少人？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人. 依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝144，即(1＋x)2＝144. 解得x1＝11，x2＝－13(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一人传染11个人. (2)144＋11×144＝1 728(人). 答：三轮传染后，患流感的有1 728人. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个，如果每月的增长率相同，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用．由七月份生产零件万个，每月的增长率相同，则八月生产的零件数为万个，九月生产的零件数为万个，然后根据第三季度共生产零件七月生产的零件数八月生产的零件数九月生产的零件数为等量关系列出方程即可得． 【解答】 解：由题意八月生产的零件数为万个，九月生产的零件数为万个， 根据题意得． 故选C． 2.某工厂月份生产机器台，计划，月份共生产台，设，月份生产量的月平均增长率为，则根据题意列出的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是万元，第一季度的总营业额是万元．若设月平均增长率是，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 利用该款汽车月份的售价该款汽车月份的售价该款汽车这两月售价的月均下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5.某地区月初疫情感染人数万人，通过社会各界的努力，月初感染人数减少至万人．设月初至月初该地区感染人数的月平均下降率为，根据题意列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到年内变化情况的等量关系是解决本题的关键等量关系为：月感染人数下降率月感染人数，把相关数值代入计算即可． 【解答】 解：设月初至月初该地区感染人数的月平均下降率为，根据题意得： ， 故选：． 二、填空题： 6.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司、月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是          ． 【答案】  【解析】解：设每个月生产成本的下降率是，依题意，得， 解得，不合题意，舍去． 7.两年前某型号汽车的生产成本是万元辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为万元辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为          ． 【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均下降率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 8.某工厂为了能给市场提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由个增加到个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为，则可列方程为          ． 【答案】  9.某大型超市连锁集团元月份销售额为万元，三月份达到了万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为，则根据题意列出方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率问题，解决此类变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是变化后的量，表示平均每次的增长率，为变化的次数． 如果二，三月份平均每月的增长率为，根据“元月份销售额为万元，三月份达到万元”，可得答案． 【解答】 解：设二，三月份平均每月的增长率为， 已知“元月份销售额为万元，三月份达到万元”， 根据题意可得出：． 故答案为：． 10.某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，问月，月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，则可列方程为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同． 求该快递公司投递总件数的月平均增长率 如果平均每人每月最多可投递万件，那么该公司现有的名快递投递业务员能否完成今年月份的快递投递任务如果不能，请问至少需要增加几名业务员 【答案】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意得 ， 解得，不合题意舍去． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为； 今年月份的快递投递任务是万件． 平均每人每月最多可投递万件， 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：， 该公司现有的名快递投递业务员不能完成今年月份的快递投递任务， 需要增加业务员人． 答：该公司现有的名快递投递业务员不能完成今年月份的快递投递任务，至少需要增加名业务员．   【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思并根据题目给出的条件找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； 首先求出今年月份的快递投递任务，再求出名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 12.某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率． 【答案】解：设这两年中获奖人次的年平均增长率为，  根据题意，得，  解得，不合题意，舍去  答：这两年中获奖人次的年平均增长率为．  13.李师傅去年开了一家商店．今年月份开始盈利，月份盈利元，月份的盈利达到元，且从月到月，每月盈利的平均增长率都相同． 求每月盈利的平均增长率； 按照这个平均增长率，预计月份这家商店的盈利可达到多少元？ 【答案】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为，根据题意得： ， 解得：，舍去． 答：该商店的每月盈利的平均增长率为． 由知，该商店的每月盈利的平均增长率为， 则月份盈利为：元． 答：月份盈利为元．   【解析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程式解题的关键． 根据题意，列出方程求解即可； 根据题意，用月份的盈利增长率月份的盈利求解即可． 14.芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个芯片，第三季度生产万个芯片． 求第二、三季度生产量的季平均增长率． 经调查发现，条生产线最大产能是万个季度．若每增加条生产线，则每条生产线的最大产能将减少万个季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能的同时又要节省成本的条件下生产线越多，成本越大，应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)设第二、三季度生产量的季平均增长率为x．由题意，得200（1＋x）2＝288，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．∴第二、三季度生产量的季平均增长率为20%  (2)设应该再增加m条生产线．由题意，得（m＋1）（600－20m）＝2600．整理，得m2－29m＋100＝0，解得m1＝4，m2＝25．∵在增加产能的同时又要节省成本，∴m＝4．∴应该再增加4条生产线  15.两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，求甲种药品成本的年平均下降率． 【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为  依题意，得  解得，不合题意，舍去  答：甲种药品成本的年平均下降率为．  16.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由元平方米，下降到元平方米． 求房价年平均下降率； 按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】解：设房价年平均下降率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：房价年平均下降率为． 元． 答：下一年该市的平均房价约为每平方米元．  【解析】设房价年平均下降率为，利用经过两年降价后的房价原房价年平均下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 利用下一年该市的平均房价年平均下降率，即可预计出下一年该市的平均房价． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算． 17.某公司今年月份的生产成本是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元假设该公司月每个月生产成本的下降率都相同． 求该公司月每个月生产成本的下降率 请你预测月份该公司的生产成本． 【答案】解：设该公司月每个月生产成本的下降率为， 根据题意，得， 解得，． 因为， 所以不符合题意，舍去． 答：该公司月每个月生产成本的下降率为． 万元． 答预测月份该公司的生产成本为万元．   【解析】本题考查一元二次方程的应用，属于常考题． 根据题意，设该公司月每个月生产成本的下降率为，根据月份，月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论； 由月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本下降率，即可得出结论。 18.“世界荔枝看中国，中国荔枝看广东”广东的荔枝品种繁多，果肉鲜嫩多汁，香甜可口，且含有丰富的维生素和蛋白质，是夏季消暑的最佳选择进入荔枝成熟期以来，荔枝大量上市，某水果经销商统计了月份到月份的荔枝销量，已知月份销售千克，月份销售千克，求月份到月份荔枝销售量的月平均增长率． 【答案】解：设月份到月份荔枝销售量的月平均增长率为， 根据题意，得． ， ， ，舍去， 月份到月份荔枝销售量的月平均增长率为． 答：月份到月份荔枝销售量的月平均增长率为．  【解析】利用月份的荔枝销量月份的荔枝销量月份到月份荔枝销售量的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题，先列式，再解方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$