高教版《一课一练》第3练-集合之间的关系 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第3练，内容是第一章集合1.2 集合之间的关系。 高教版《数学》基础模块上册 第3练 第一章 集 合 1.2 集合之间的关系 一课一练 一、选择题 1．已知集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4}，则集合A与集合B的关系是（　　） A.A=B B.B⊆A C.A⫋B D.B⫋A 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系（包括相等关系、子集关系和真子集关系）判断。 【详解】对于A中，若两个集合相等，则它们的元素完全相同。但集合A有3个元素，集合 B有4个元素，且B比A多元素4，因此A≠B，故A错误； 对于B中，“B⊆A”表示集合B是集合A的子集，即B的所有元素都属于A。但集合B中的元素4不属于集合A，因此B不是A的子集，故B错误； 对于C中，“A⫋B”表示集合A是集合B的真子集，即A的所有元素都属于B，且B中至少有一个元素不属于A。集合A的元素1,2,3都属于B，且B中的元素4不属于A，满足真子集的定义，故C正确； 对于D中，“B⫋A”表示集合B是集合A的真子集，但B中的元素4不属于A，不满足真子集的定义，故D错误. 故选：C. 2．若集合M={x∣x2−1=0}，N={−1,1}，则M与N的关系是（　　） A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M与N无包含关系 【答案】C 【分析】根据集合间的相等关系与包含关系判断。 【详解】求解集合 M 的元素：集合M的表达式为M={x∣x2−1=0}，这是一个描述法表示的集合，其中“x2−1=0”是元素x满足的条件。解该方程：x2−1=0可变形为x2=1，解得x=1或x=−1。因此，集合M的元素为-1和1，即M={−1,1}。对比集合M和N的元素：已知集合 N={−1,1}，可见集合M和集合N的元素完全相同。 对于A中，“M⫋N”表示M是N的真子集，即M的所有元素都属于N，但N中存在元素不属于M。但M和N的元素完全相同，不满足真子集定义，故A错误； 对于B中，“N⫋M”表示N是M的真子集，即N的所有元素都属于M，但M中存在元素不属于N。同理，两者元素完全相同，不满足真子集定义，故B错误； 对于C中，若两个集合的元素完全相同，则这两个集合相等。由于M={−1,1}且N={−1,1}，元素完全一致，因此M=N，故C正确； 对于D中，包含关系包括相等和真子集两种情况。由于M=N，显然存在包含关系（相等是包含关系的特殊形式），故D错误. 故选：C. 3．下列集合中，是空集的是（　　）​ A.{x∣x2+1=0,x∈R} B.{0} C.{x∣−1<x<1,x∈Z} D.{(x,y)∣y=x2,x∈R} 【答案】A 【分析】根据空集的概念（空集是不含任何元素的集合）判断。 【详解】对于A中，该集合表示“满足方程x2+1=0的实数x的全体”。求解方程x2+1=0，移项得x2=−1。由于任何实数的平方都是非负数（即x2≥0），不存在实数x使得x2=−1，因此该集合没有任何元素，符合空集的定义，故A正确； 对于B中，该集合中明确包含元素“0”，含有一个元素，因此不是空集，故B错误； 对于C中，该集合表示“满足−1<x<1的整数x的全体”。整数集Z中，大于-1且小于1的整数只有0（因为-1和1本身不满足严格不等关系），因此该集合含有元素0，即{0}，不是空集，故C错误； 对于D中，该集合表示“平面直角坐标系中，抛物线y=x2上所有点的坐标”。对于任意实数x，都有对应的y值（如x=0时，y=0；x=1时，y=1等），因此该集合包含无数个元素（如(0,0)、(1,1)等），不是空集，故D错误. 故选：A. 4．设集合A={x∣x=3k,k∈N}，B={x∣x=6m,m∈N}，则A与B的关系是（　　） A.A=B B.A⫋B C.B⫋A D.A与B没有公共元素 【答案】C 【分析】根据集合间的包含关系判断。 【详解】集合A的表达式为A={x∣x=3k,k∈N}，其中N是自然数集（通常包括 0,1,2,3,...）。这表示集合A的元素是所有能被3整除的自然数；集合B的表达式为B={x∣x=6m,m∈N}，表示集合B的元素是所有能被6整除的自然数。能被6整除的数一定能被3整除（因为6是3的倍数），因此集合B中的所有元素（如0,6,12,...）都属于集合A，即B⊆A。但集合A中存在元素不能被6整除（如3,9,15,...），这些元素不属于集合B，因此B是A的真子集。 对于A中，若A与B相等，则两者元素完全相同。但A中含有3,9等元素，而B中没有，因此A≠B，故A错误； 对于B中，该选项表示A是B的真子集，即A的所有元素都属于B，但B中存在元素不属于 A。但A中的3,9等元素不属于B，不满足此条件，故B错误； 对于C中，该选项表示B是A的真子集，即B的所有元素都属于A，且A中存在元素不属于 B。如B中的0,6属于A，而A中的3不属于B，满足真子集定义，故C正确； 对于D中，显然A和B的公共元素有0,6,12等，因此存在公共元素，故D错误. 故选：C. 5．已知集合A={1,2}，集合B={x∣x⊆A}，则集合A与集合B的关系是（　　） A.A∈B B.A⊆B​ C.B⊆A D.A=B 【答案】A 【分析】根据集合与元素、集合与集合之间的关系判断。 【详解】集合B的表达式为B={x∣x⊆A}，其中“x⊆A”表示x是A的子集。已知A={1,2}，根据子集的定义，A的所有子集包括：空集；单元素子集{1}、{2}；集合A本身{1,2}。因此，集合B的元素是这些子集，即B={,{1},{2},{1,2}}。集合A是{1,2}，而集合B的元素是子集（本质是“集合”），因此A是B中的一个元素（即A∈B），而非B的子集（子集关系要求元素属于对方，而B的元素是集合，A的元素是数字1,2，两者元素类型不同）。 对于A中，集合A是{1,2}，而B中包含元素{1,2}，因此A是B的元素，符合“∈”的定义（元素属于集合），故A正确； 对于B中，该选项表示A是B的子集，即A的所有元素（1,2）都属于B。但B的元素是,{1},{2},{1,2}，1和2并非B的元素，因此不满足A⊆B，故B错误； 对于C中，该选项表示B是A的子集，即B的所有元素（,{1},{2},{1,2}）都属于A。但A的元素是1和2，B的元素是集合，显然不属于A，故C错误； 对于D中，若A与B相等，则两者元素完全相同。但A的元素是1,2，B的元素是集合，元素类型和内容均不同，因此A≠B，故D错误. 故选：A. 6．若集合A有3个元素，集合B有2个元素，且B⊆A，则满足条件的集合B的个数为（　　） A.1 B.3 C.6 D.8 【答案】B 【分析】根据集合的子集概念判断。 【详解】设集合A={a,b,c}（其中a,b,c为3个不同的元素），根据子集的定义，集合B的元素必须是A中的元素，且B有2个元素。从A的3个元素中任选2个元素组成集合，所有可能的组合为：选取a和b，得到B1={a,b}；选取a和c，得到B2={a,c}；选取b和c，得到B3={b,c}。因此，满足条件的集合B共有3个。 对于A中，该选项表示满足条件的集合B只有1个，但实际有3个，故A错误； 对于B中，如上述列举，从3个元素中选取2个元素组成的子集共3个，故B正确； 对于C中，6是3个元素的全排列数（3×2=6），但集合中的元素具有无序性，因此不需要考虑排列顺序，故C错误； 对于D中，8是含有3个元素的集合的所有子集的个数（23=8），但本题中集合B的元素个数固定为2，并非所有子集，故D错误. 故选：B. 二、填空题 7．设集合A={1,2,3}，集合B={x∣x是小于4的正整数}，则A与B的关系为 。 【答案】A=B 【分析】利用集合之间的关系求解。 【详解】集合B的定义为“是小于的正整数”。正整数是指1,2,3,4,...，而“小于 4的正整数”即满足x<4且x为正整数的数，因此这些数是1,2,3。由此可得，集合B={1,2,3}. 对比集合A和集合B：已知集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3}。根据集合相等的定义：若两个集合的元素完全相同，则这两个集合相等（即A=B）。由于A和B的元素完全一致，因此集合A与集合B的关系为A=B。 故答案：A=B. 8．设集合A={x|2x-1>5}，集合B={x|x≥3}，则A与B的关系为 。 【答案】A⫋B 【分析】利用集合之间的关系求解。 【详解】求解集合A的元素范围：集合A的定义为A={x∣2x−1>5}，解不等式2x−1>5：移项可得2x>5+1，即2x>6，两边同时除以2，得x>3。因此，集合A={x∣x>3}；分析集合B的元素范围：集合B的定义为B={x∣x≥3}，即B包含所有大于或等于3的实数。对比集合A和集合B的关系：集合A的元素是所有大于3的实数，集合B的元素是所有大于或等于3的实数。显然，集合A的所有元素都属于集合B（即A⊆B），但集合B中存在元素（如x=3）不属于集合A。根据真子集的定义：若A⊆B且A≠B，则A是B的真子集（A⫋B）。因此集合A与集合B的关系为A⫋B（即A是B的真子集）。 故答案：A⫋B. 三、解答题 9．某班级共有学生40人，其中参加数学竞赛的学生组成集合A，参加物理竞赛的学生组成集合B。已知A中有15人，B 中有12人，同时参加两个竞赛的有5人。 （1）用Venn图表示集合A、B和全集U（班级全体学生）的关系； （2）求只参加数学竞赛的人数，并判断集合A是否是集合B的子集。 【答案】（1）Venn图描述：矩形表示全集U（40人），内部两个相交的圆分别表示集合A（15人）和集合B（12人），重叠部分为5人（同时参加两竞赛），A中不重叠部分为10人（只参加数学竞赛），B中不重叠部分为7人（只参加物理竞赛），矩形内两圆外的部分为18人（均不参加）；（2）只参加数学竞赛的人数为10人；集合A不是集合B的子集。 【分析】利用集合的基本关系及Venn图的应用求解。 【详解】（1）Venn图表示 全集U：代表班级全体40名学生，在Venn图中用一个矩形表示。 集合A：参加数学竞赛的15人，用一个圆形表示，位于矩形内部。 集合B：参加物理竞赛的12人，用另一个圆形表示，也位于矩形内部，且与集合A的圆形有部分重叠。 重叠部分：同时参加两个竞赛的5人，即A∩B（A与B的交集）。 矩形内两圆之外的部分：既不参加数学竞赛也不参加物理竞赛的学生，人数为40-（只参加数学竞赛的人数+只参加物理竞赛的人数+同时参加的人数）=40-22=18人。 （2）求解过程 1.求只参加数学竞赛的人数： 只参加数学竞赛的人数是集合A中除去同时参加两个竞赛的人数，即“参加数学竞赛的总人数-同时参加两个竞赛的人数”。已知A中有15人，同时参加两个竞赛的有5人，因此只参加数学竞赛的人数为：15−5=10人。 2.判断集合A是否是集合B的子集： 子集的定义是：若集合A的所有元素都属于集合B，则A⊆B。本题中，“只参加数学竞赛的10人”属于集合A，但不属于集合B（因为他们未参加物理竞赛），即存在A中的元素不属于B。 因此，集合A不是集合B的子集。 10．设集合 A={x|x²-4x+3=0}，集合B={1,3,5}。 （1）求集合A的元素； （2）判断A与B的关系，并说明理由。 【答案】（1）集合A的元素为{1,3}；（2）A是B的真子集（A⫋B），理由：A的所有元素都属于B，且B中存在元素5不属于A。 【分析】根据集合的元素求解及集合间的关系判断。 【详解】（1）求集合A的元素 集合A的表达式为A={x∣x2−4x+3=0}，这是一个由方程x2−4x+3=0的解构成的集合。 解该一元二次方程：对方程因式分解，得(x−1)(x−3)=0，则x−1=0或x−3=0，解得x=1或x=3。因此，集合A的元素为1和3，即A={1,3}。 故答案：A={1,3}. （2）判断A与B的关系 已知集合B={1,3,5}，集合A={1,3}。根据子集的定义：若集合A的所有元素都属于集合B，则A⊆B。集合A中的元素1和3均在集合B中，满足A⊆B。又因为集合B中存在元素5不属于集合A（即A≠B），根据真子集的定义：若A⊆B且A≠B，则A是B的真子集（A⫋B）。 故答案：A是B的真子集（A⫋B），理由：A的所有元素都属于B，且B中存在元素5不属于A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第3练，内容是第一章集合1.2 集合之间的关系。 高教版《数学》基础模块上册 第3练 第一章 集 合 1.2 集合之间的关系 一课一练 1、 选择题 1．已知集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4}，则集合A与集合B的关系是（　　） A.A=B B.B⊆A C.A⫋B D.B⫋A 2．若集合M={x∣x2−1=0}，N={−1,1}，则M与N的关系是（　　） A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M与N无包含关系 3．下列集合中，是空集的是（　　）​ A.{x∣x2+1=0,x∈R} B.{0} C.{x∣−1<x<1,x∈Z} D.{(x,y)∣y=x2,x∈R} 4．设集合A={x∣x=3k,k∈N}，B={x∣x=6m,m∈N}，则A与B的关系是（　　） A.A=B B.A⫋B C.B⫋A D.A与B没有公共元素 5．已知集合A={1,2}，集合B={x∣x⊆A}，则集合A与集合B的关系是（　　） A.A∈B B.A⊆B​ C.B⊆A D.A=B 6．若集合A有3个元素，集合B有2个元素，且B⊆A，则满足条件的集合B的个数为（　　） A.1 B.3 C.6 D.8 2、 填空题 7．设集合A={1,2,3}，集合B={x∣x是小于4的正整数}，则A与B的关系为 。 8．设集合A={x|2x-1>5}，集合B={x|x≥3}，则A与B的关系为 。 3、 解答题 9．某班级共有学生40人，其中参加数学竞赛的学生组成集合A，参加物理竞赛的学生组成集合B。已知A中有15人，B 中有12人，同时参加两个竞赛的有5人。 （1）用Venn图表示集合A、B和全集U（班级全体学生）的关系； （2）求只参加数学竞赛的人数，并判断集合A是否是集合B的子集。 10．设集合 A={x|x²-4x+3=0}，集合B={1,3,5}。 （1）求集合A的元素； （2）判断A与B的关系，并说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$