5.5 三元一次方程组&问题解决策略：逐步确定-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

参考答案及解析 (2)根据题意，知=-24+152.解得LV=108, 所以双层部分的长度为22cm. (3)由题知，当x=0时，y=152,当y=0时，x=76, 所以76≤L≤152. *5 三元一次方程组 【知识要点分类练】 1.C 2..-5(答案不唯一) 3.A 4.1:2:3 5.解：2 ①+②,得5x+2y=16.④ ②+③,得3x+4y=18.⑤ ④×2-⑤,得7x=14,解得x=2. 把x=2代入④,得10+2y=16,解得y=3. 把x=2,y=3代入③,得2+3+z=6,解得z=1. 所以原方程组的解为{三 ③-②,得3x+6z=-24.④ ①×3+②×4,得17x-17z=17,即x-z=1.⑤ ④与⑤组成方程组，得8+6,24.④解得=3 将=-3代入①,得-6+4y+9=3,解得y=0. 所以原方程组的解为- 6.15 [解析]设小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c,某一时 刻货车与两车的间距均为S,则 S.③ 由②×2-①×3,得30(b-c)=S.④把④代入③中，得t+ 10+5=30,所以t=30-10-5=15. 7.解：设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百 位上的数字为z, 根据题意，得 把①代入③,得2y=14,解得y=7. 把y=7代入①,得x+z=7.④ 把y=7代入②,得7z=x+9.⑤ ④+⑤,得8z=16,解得z=2. 把y=7,z=2代入③,得x+9=14,解得x=5, 所以这个三位数是2×100+7×10+5=275. 8.解：(1)根据题意，得 ③ 将①分别代入②,③,得4+26=86 ⑤-④×2,得2a=2,即a=1. 将a=1代入④,得1+b=3,解得b=2, 所以a的值为1,b的值为2,c的值为3. (2)由(1)可得y=x2+2x+3. 因为x=-2a=-221=-1, 所以将x=-1代入y=x2+2x+3, 得y=(-1)2+2×(-1)+3=2. ☆问题解决策略：逐步确定 1.解：题目可以看成，除3余2,除5余3,除7余4. 没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”, 就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”, 就是在4上一直加7,直到所得的数除5余3. 得出数为18,下面只要在18上一直加7和5的最小公倍数 35,直到满足“除3余2”. 4+7=11,11+7=18,18+35=53, 所以这个班有53名学生. 2.解：(1)由题意，得 F(13,14)=11+14+31+34=90. (2)因为m=31+x=30+x+1,n=42+y=40+y+2, 所以m的十位数字为3,个位数字为x+1, n的十位数字为4,个位数字为y+2, 所以m'=10(x+1)+3=10x+13, 所以m'与n的个位数字的3倍的和为 10x+13+3(y+2)=10x+3y+19. 因为m'与n的个位数字的3倍的和能被7整除， 且10x+3y+19=7x+14+3x+3y+5, 所以3x+3y+5能被7整除， 所以设3x+3y+5=7a. 因为1≤x≤8,1≤y≤7,x,y是整数， 又因为F(m,n)要取最大值， 所以m的个位数要最大， 所以x=8, 所以3×8+3y+5=7a, 所以满足条件的y值为2, 此时m=31+x=39,n=42+y=44, 所以F(m,n)=F(39,44)=34+34+94+94=256. ·31· 全程导练·八年级数学·北师版·上册 3.解：(1)设需A型车x辆，B型车y辆，由题意，得 08×+800y=18 00解得{y=15. 答：需A型车10辆，B型车15辆. (2)设需A型车a辆，B型车b辆，则需C型车(22-a-b)辆 由题意，得5a+8b+10(22-a-b)=170. 整理，得，a=10-号6 因为a,b均为正整数，且a+b<22, 所以6=或16=160或L6=15, 所以有3种运送方案： ①A型车8辆，B型车5辆，C型车9辆； ②A型车6辆，B型车10辆，C型车6辆； ③A型车4辆，B型车15辆，C型车3辆. 第五章 易错强化训练 1.解：马虎的解法不正确.正确选项为D.理由如下： 因为(m-2025)x1m-2024+(n+8)yn-7=2025是关于x, y的二元一次方程， 所以 解得{m=-202. 故选D. 2.解：不正确.方程①去分母，得3x-2(y+1)=6, 即3x-2y=8.③ ③+②,得6x=18,解得x=3. 把x=3代入②,得9+2y=10,解得y=2 所以方程组的解为 3.B 4.解：设小明从甲地到乙地的上坡路路程为x km,下坡路路程 为ykm, 根据题意，得 解得V=2.5 答：小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km,下坡路路程为 2.5km. 5.解：小丽的记录是错误的.理由如下： 设A种饰品的单价为x元，B种饰品的单价为y元， 依题意，得4x+2=32,’解得L,=4-8 因为A种饰品的单价不能为负值， 所以小丽的记录是错误的. 第五章 章末复习 【常考题型训练】 1.D 2.D 3.4 4.解：(1){2×+3y=17,①②①×2,得6x-4y=12.③ ②×3,得6x+9y=51.④ 则④-③,得13y=39,解得y=3. 将y=3代入①,得3x-2×3=6,解得x=4. 故原方程组的解为)=3. (2){② ②×12,得3(x-3)-4(y-3)=1.化简，得3x-4y=-2.③ ①+③,得4x=12,解得x=3. 将x=3代入①,得3+4y=14,解得y=4 故原方程组的解为二 5.解：(1)①当y=0时，x=3; 当y=1时，x=1, 所以x+2y=3的所有非负整数解为{y=3或=1. ②由题意，得 +2=23.②①②,得y=1 将y=1代入②,得x=1. 所以方程组的解为,=1 将,=1代人x-2y+mx=-5中， 得1-2+m=-5,解得m=-4. (2)x-2y+mx=-5变形为(m+1)x-2y=-5. 因为无论m取何值，方程总有一个公共解， 所以当x=0时，y=2, 所以 是方程的公共解. (3)当n=3时，原方程组可化为0-2+-5-5.2 ②×2,得2x-4y+2mx=-10.③ ①+③,得5x+2mx=-5. 整理，得(5+2m)x=-5. 因为方程组有整数解，且m是整数， 所以5+2m= ±1或±5. 当5+2m=1时，m=-2,此时方程组的解为)=55 当5+2m=-1时，m=-3, ·32· 第五章 二元一次方程组 *5 三元一次方程组 [答案P31] 知识要点分类练单 知识点1三元一次方程组的概念 1.(四川成都期末)下列方程组中，是三元一次方程 组的是 ( ) C 2.请写出三元一次方程x +y-z=5的一组解： 知识点2 三元一次方程组的解法 3.(江 苏无锡 期 末)解三元一次方程组 时，要使解法较为简便，首先 应进行的变形为 ( ) A.①+② B.①-② C.①+③ D.②-③ 4.已知xyz≠0,满足x+4y-3z=0且4x-5y+2z= 0,则x:y:z为______ 5.解下列方程组： ① (2 知识点3三元一次方程组的简单应用 6.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的 公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在 前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间， 过了10 min,小轿车追上了货车；又过了5 min,小 轿车追上客车；再过t min,货车追上了客车，则 t=__________. 7.一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上 的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数 字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14, 求这个三位数. 8.已知y=ax2+bx+c,当x=0时，y=3;当x=1时， y=6;当x=2时，y=11. (1)求a,b,c的值； (2)当x=-2a时，求y的值. 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 89 全程导练·八年级数学·北师版·上册 [答案P31]☆问题解决策略：逐步确定 1.一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人， 每组五人就多三人，每组七人就多四人，问：这个 班有多少学生? 2.两位数p和两位数q,它们各个数位上的数字都 不为0,将数p任意一个数位上的数字作为一个 新的两位数的十位数字，将数q任意一个数位上 的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种 方式产生的所有新的两位数的和记为F(p,q),例 如：F(52,18)=51+58+21+28=158. (1)求F(13,14)的值； (2)若一个两位数m=31+x,两位数n=42+y(1 ≤x≤8,1≤y≤7,x,y是整数),交换两位数m 的十位数字和个位数字得到新数m’,当m'与 n的个位数字的3倍的和能被7整除时，称这 样的两个数m和n为“七巧数对”,求所有 “七巧数对”中F(m,n)的最大值. 90 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 3.某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙 两地，现有A,B两种车型可供选择，每辆车的运 载能力和运费表示如下(假设每辆车均达到最大 满载量): (1)若要将全部物资用A,B两种车型来运送，运 费恰好是18 000元，问：需A,B两种车型各 几辆? (2)因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该 物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C 种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成， 已知车辆总数为22辆(三种车辆都有),试通 过计算判断有几种运送方案. 车型 A B 汽车运载量(吨/辆) 5 8 汽车运费(元/辆) 600 800