1.3 勾股定理的应用&问题解决策略：反思-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 [答案P2] 知识要点分类练 知识点 勾股定理在生活中的应用 1.如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑 开后最高点A距地面的高度AD为120厘米，两 侧梯子AB,AC的长度为130厘米，则此时梯子底 端BC的距离为 ( ) A.50厘米 B.80厘米 C.100厘米 D.120厘米 A 8m 率12m B D C 8m 1题图 2题图 2.(吉林长春期末)如图，有两棵树，一棵高8m,另 一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的 树顶飞到另一棵树的树顶，至少飞行 ( ) A.6m B.8m C.10m D.18m 3.新情境如图，儿童三人制足球球门侧面是两个全 等的直角三角形Rt△ABE和Rt△DCF,其中∠E =∠F=90°,已知球门的长AD=1.2m,宽AE= 0.6m,高BE=0.8m,现需给球门铺网，则球门一 侧长方形ABCD面需要铺网的面积为 ( ) A.0.72m2 B.1.2m2 C.1.4m2 D.1.5m2 B C A( D F E 3题图 4题图 4.(广西桂林期中)如图，一根长为7cm的吸管放在 一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm, 高为4 cm,则吸管露在杯外面的最短长度为____ _cm. 5.(山东烟台期中)学校要征收一块土地，形状如图 所示，AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且 ∠ABC=90°,土地价格为1000元/m2,请你计算 学校征收这块土地需要多少元. D、 C A B 5题图 6.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉 船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以每 秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， 问船向岸边移动了多少米?(假设收绳过程中绳 子是直的) C 8米 D B AE 6题图 7.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走 40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走 70米，求小明到达的终止点与原出发点的距离. 出发点10 北 40 →东 20 40 70 终止点 7题图 能力提升综合练 8.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为 20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子 外面的部分至少有 ( ) A.4 cm B.5cm C.10cm D.15cm A 12cm 13 ⑨cm) BF 10- C 8题图 9题图 9.如图是一块等腰三角形形状的铁皮△ABC,BC为 底边，尺寸如图所示(单位：cm),根据所给的条 件，可知该铁皮的面积为 ( ) A.30cm2 B.50 cm2 C.60 cm2 D.120cm2 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 7 全程导练·八年级数学·北师版·上册 10.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型 池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”, 中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的 半圆，其边缘AB=CD=20m.小明要在AB上选 取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为(π 取3) ( ) A.30m B.28m C.25m D.22m C B D A 40 cm 30cm 50cm 10题图 11题图 11.如图，有一个长为50 cm,宽为30 cm,高为40 cm 的长方体木箱，一根长70 cm的木棍_______完 全放入木箱.(填“能”或“不能”) 12.新情境如图，有一辆卡车沿笔直公路由点M向 点N匀速行驶，点P为一栋居民楼，且点P与点 M,N的距离分别为150m和200m,MN=250m, 已知卡车的行驶速度为30km/h,卡车周围130 m 以内为受噪声影响区域.则居民楼P是否会受 噪声影响?若影响，请计算受影响的时长；若不 影响，请说明理由. N P M 12题图 8 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 素养探究创新练 13.如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD=4,E为 CD边上一点，CE=7,连接AE. (1)求AE的长； (2)点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速 度沿着边BA向终点A运动，连接PE.设点P 运动的时间为t秒. ①当t为何值时，△PAE是等腰三角形? ②当t为何值时，PE⊥AE? C E D B-→P A 13题图 第一章 勾股定理 ☆问题解决策略：反思 [答案 P4] 1.如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁 从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程约是 (π取3) ( ) A.20 cm B.10 cm C.14cm D.无法确定 A B B A A' A 1题图 2题图 3题图 2.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角 形的三棱镜(如图).在三棱镜的侧面上，从顶点A 到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 9 cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少 为 ( ) A.8cm B.10 cm C.12cm D.15 cm 3.(湖北随州期末)如图，用一条花带从高4.5m的 圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起 点的正上方为止.若柱子的底面周长是2m,则这 条花带的长度至少为______m. 4.(河南郑州期中)如图，长方体的底面的长和宽分 别为2cm和1 cm,高为4cm,点P在边BC上，且 BP= BC如果用一根细线从点A开始经过3个 侧面缠绕一圈到达点P,那么所用细线最短为 cm. B 4cm C 2cm A1 cm A, 20 2[ 3 B 4题图 5题图 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分 别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个三级台阶两 个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____dm. 6.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底 面的棱上，AQ=2,一只蚂蚁从点P出发沿木箱表 面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路程. Q A P 6题图 7.如图，一块长方体砖宽AN=5,长ND=10,CD上 的点B距地面的高BD=8,地面上A处的一只蚂 蚁到B处寻找吃食，求它需要爬行的最短路程. C M B E D A N 7题图 8.如图，高速公路的同一侧有A,B两城镇，它们到 高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2km, BB′=4km,且A'B′=8km. (1)要在高速公路上A',B'之间建一个出口P,使 A,B两城镇到P的距离之和最小，请在图中 画出P的位置，并作简单说明； (2)求这个最短距离. B A M A' B' N 8题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 9 全程导练·八年级数学·北师版·上册 0.8m,OC=OA=1m.在Rt△OCE中，OE2=OC2-CE2= 0.36,即OE=0.6m,所以CM=2.3+0.6=2.9(m)> 2.5m,所以这辆卡车能通过隧道. C D E A 0 B M N B G A司 0 H DE C 5题答图① 5题答图② (2)如答图②,EC为卡车的宽度，过点E作AH的垂线交半 圆于点B,垂足为F,连接OB,过点B作BG⊥CO,交CO的 延长线于点G.根据题意可知CG=BE=2.8m,BG=OF= EC=1.2m,EF=AD=2.3m,所以BF=2.8-2.3= 0.5(m).根据勾股定理，得OA2=OB2=BF2+OF2= 0.52+1.22=1.69,即OA=1.3m,所以隧道的宽至少增加 到1.3×2=2.6(m). 【能力提升综合练】 6.D 7.675 8.4 9.解：(1)S小正方形=(BC-AC)2=(6-5)2=1(cm2), 所以题图①中小正方形的面积为1 cm2. (2)由题意可知CD=6×2=12(cm). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD2, 所以52+122=AD2=169, 所以AD=13cm, 所以这个风车的外围周长为4×(13+6)=4×19=76(cm). 【素养探究创新练】 10.解：(1)c2-2ab(b-a)2 (2)a2+b2=c2 (3)13 (4)x3-x=x(x+1)(x-1) [解析]根据题意可知，题图 ②的图形的体积为x3-x,题图③的图形的体积为x(x+ 1)·(x-1),所以x3-x=x(x+1)(x-1).故恒等式为 x3-x=x(x+1)(x-1). 2 一定是直角三角形吗 【知识要点分类练】 1.B 2.C 3.合格 4.90° 5.解：(1)如答图，连接AC. 因为∠B=90°,AB=4,BC=3, 所以AC2=AB2+BC2=42+32=25, 所以AC=5. (2)因为AC=5,AD=13,CD=12, A B C D 5题答图 所以AD2=AC2+CD2, 所以△ACD是直角三角形，所以∠DCA=90°. 在Rt△ABC中，SABC=—BC·AB=一2×3×4=6. 在Rt△ADC中,S△ADc=2cD·AC=2×12×5=30, 所以S四边形ABCD=S△ADC-SABC=30-6=24. 6.解：(1)CD的长为 (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AC=8,∠CDA=90°, 由勾股定理，得AD2+CD2=AC2,即AD2+(等)2=82, 所以AD=3, 所以AB=AD+BD=35+15=10. 因为AC2+BC2=82+62=100=102=AB2, 所以△ABC是直角三角形. 7.D 8.5,12,13(答案不唯一) 【能力提升综合练】 9.B 10.D 11.C 12.45 13.18 14.45 [解析]如答图，标出点F,G,连接 和△CDE 中， 15.解：(1)M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： (2)设BN=x,则MN=14-AM-BN=10-x. 【素养探究创新练】 A CDE=9° 因为AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25, ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM2+NB2, F 所 所以AM2+NB2=MN2,所以以AM,MN,NB为边的三角形 即(10-x)2=16+x2,解得x=4.2; CG,AG.由勾股定理，得 AG2=CG2= 以 是一个直角三角形， ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM2+MN2, G △AFG≌ 所以M,N是线段AB的勾股分割点. 即x2=16+(10-x)2,解得x=5.8. 12+22=5,AC2=12+32=10,则AG2+ △CDE(SAS),所以∠FAG=∠DCE,所以∠ACB-∠DCE= 综上所述，BN的长为4.2或5.8. CG2=AC2,所以∠CGA=90°,即△CAG是 ∠CAF-∠FAG=∠CAG=45°.故答案为45. E 等腰直角三角形，所以∠CAG=45°.因为B C D AF//BC,所以∠CAF=∠BCA.在△AFG 14题答图 16.解：(1)锐角 钝角 (2)>< (3)因为c为最长边的长，2+4=6,所以4≤c<6. ①当a2+b2>c2,即c2<20时，△ABC是锐角三角形，此时 ②当a2+b2=c2,即c2=20时，△ABC是直角三角形； ③当a2+b2<c2,即c2>20时，△ABC是钝角三角形，此时 3 勾股定理的应用 【知识要点分类练】 16≤c2<20; 20<c2<36. 1.C 2.C 3.B 4.2 ·2· 参考答案及解析 5.解：连接AC,如答图. D 因为∠B=90°,AB=3m,BC=4m, 所以AC2=AB2+BC2=32+42=25, C 所以AC=5m. A B 因为CD=12m,DA=13m, 5题答图 所以AC2+CD2=25+144=169=132=AD2, 所以△ACD是直角三角形，∠ACD=90°, 所以四边形ABCD的面积为2×3×4+2×5×12=6+ 30=36(m2), 所以学校征收这块土地需要1000×36=36000(元). 答：学校征收这块土地需要36 000元. 6.解：在Rt△ABC中，因为∠CAB=90°,BC=17米，AC=8米， 所以AB2=BC2-AC2=172-82=225,所以AB=15米. 因为此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点D的 位置， 所以CD=17-1×7=10(米), 所以AD2=CD2-AC2=100-64=36, 所以AD=6米，所以BD=AB-AD=15-6=9(米). 答：船向岸边移动了9米. 7.解：如答图，过点A作AC⊥CB于点C,则在Rt△ABC中，AC= 40+40=80(米),BC=70-20+10=60(米),AB2=AC2+ BC2=802+602=1002,所以AB=100米.故终止点B与原 出发点A的距离为100米. 出发点10 北 A 40 东 20 40 C 70 B 终止点 7题答图 【能力提升综合练】 8.B 9.C 10.C [解析]U型池可供滑行的部分的面的展 开图如答图，作点C关于AB的对称点F,连接 DF交AB于点E,连接CE,则BC=BF,CE= EF,所以此时小明从点D滑到点E再滑到点C 的滑行距离最短，最短距离为DF的长.因为中 10题答图 间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，所以BC =2.5π≈7.5m,所以CF=15m.又因为AB=CD=20m,所 以在Rt△CDF中，DF2=CF2+CD2=152+202=625= 252,所以DF=25m,故他滑行的最短距离约为25m. 11.能 12.解：居民楼P会受噪声影响. N 如答图，过点P作PA⊥MN于点A. P 因为MP=150 m,NP=200 m,MN=250m, C A 所以MP2+NP2=MN2, B 所以△MNP是直角三角形，∠NPM=90°, M 所以S△p=-MP·NP=一—PA·MN, 12题答图 所以MP·NP=PA·MN, 即150×200=250×PA, 所以PA=1505200=120(m) 因为卡车周围130m以内为受噪声影响区域， 所以居民楼P会受噪声影响. 当BP=CP=130m时，卡车在BC段行驶会影响居民楼 P,此时AB=AC. 在Rt△PAB中，由勾股定理，得BP2=PA2+BA2, 即1302=1202+BA2,所以 BA=50m,BC=100m. 因为卡车的行驶速度为30 km/h, 30km/h=35m/s,所以100÷35=12(s) 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为12s. 【素养探究创新练】 13.解：(1)因为四边形ABCD是长方形， 所以∠D=∠BAD=90°,CD=AB=10. 因为CE=7,所以DE=CD-CE=10-7=3. 因为AD=4,所以在Rt△AED中，AE2=AD2+ED2=42+ 32=52,所以AE的长为5. (2)①由题意知 BP=2t,则AP=10-2t.当△PAE是等腰 三角形时，分以下三种情况： (I)当AP=AE时， 即10-2t=5,解得11=2, (Ⅱ)当EP=EA=5时，如答图①, 过点E作EF⊥AB于点F, 所以PF=AF= 2AP=2(10-21)=5-L. 易知四边形ADEF是长方形， 所以ED=AF,即5-t=3,解得t=2; C E DC E D B→P F A B → PH A 13题答图① 13题答图② (Ⅲ)当PE=PA=10-2t时，如答图②, 过点E作EH⊥AB于点H, 易知四边形ADEH是长方形， 所以EH=AD=4,AH=ED=3, 所以PH=PA-AH=10-2t-3=7-2t. 在Rt△PHE中，由勾股定理，得PH2+EH2=PE2, ·3· 全程导练·八年级数学·北师版·上册 即(7-2t)2+42=(10-2t)2,解得=35 综上所述，当t的值为-52或2或3亿时，△PAE是等腰三角形. ②当PE⊥AE时，△PEA是直角三角形. 如答图③,过点E作EM⊥AB于点M,C E D 所以易知四边形ADEM是长方形. 由①知PM=PA-AM=10-2t-3 =7-21,EM=AD=4. B+P M A 在Rt△PEM中，由勾股定理，得 13题答图③ PE2=EM2+PM2=42+(7-2t)2. 因为PA=10-2t,AE=5, 所以在Rt△APE中，由勾股定理，得PE2+AE2=PA2, 即42+(7-21)2+52=(10-2t)2,解得1=5, 所以当t的值为56时，PE⊥AE. ☆问题解决策略：反思 1.B 2.D 3.7.5 4.5 5.25 6.解：蚂蚁爬行的路径展开图如答图. 因为PB=AB=6,AQ=2, 所以BQ=6+2=8, 所以PQ2=PB2+BQ2=62+82=100=102, 所以PQ=10. 答：蚂蚁爬行的最短路程是10. Q A p B 6题答图 7.解：根据题意，画出示意图如答图所示，可能的路径有三种 情况.AB的长即为A处到B处的最短路程.I.如答图①, AB2=AD2+BD2=(10+5)2+82=289;Ⅱ.如答图②, AB2=AN2+NB2=52+(10+8)2=349;Ⅲ.如答图③, AB2=AH2+HB2=102+(5+8)2=269.由于砖放地面上时 答图②、答图③的路线不可到达，所以A处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路程是答图①中AB的长度，由 AB2=289,可得AB=17. M C M C B B. N D B C E N- D A N D A H A H 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 8.解：(1)如答图，作点B关于直线MN的对称点C,连接AC 交MN于点P,则点P即为所建出口，此时A,B两城镇到出 口P的距离之和最小，最短距离为AC的长. B A D M A' P B N C 8题答图 (2)如答图，作AD⊥BB′于点D,在Rt△ADC中，AD= A'B'=8km,DC=4+(4-2)=6(km),所以AD2+DC2= AC2,AC=10km,即这个最短距离为10km. 专题1 数学思想在勾股定理中的运用 1.C [解析]本题分两种情况：①当3和4为直角边长时，由 勾股定理得第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42= 25;②当4为斜边长时，由勾股定理得第三边长的平方= 42-32=7.综上所述，第三边长的平方是25或7.故选C. 2.13或10 [解析]I.如答图①.因为∠ACB=90°,BC= AC=3,所以PB= 3 BC=1,,所以CP=2,所以AP2=AC2+ PC2=32+22=13;Ⅱ.如答图②因为∠ACB=90°,BC= AC=3,所以PC= BC=1,,所以AP2=AC2+PC2=32+ I2=10.综上所述，AP2的值为13或10. C P A- B C P A- B 2题答图① 2题答图② 3.B [解析]因为在Rt△ABC中，,AE= 3AB,AF=3AC,所以 AE=2 BE,AF=—C.因为EF2=AE2+AF2,所以EF2= 4BB2+ CR2,所以2πE2=·(B2+ 4CF2),即S?=4(Si+S?),,所以S?+S?=4S?·故选B. 4.4 [解析]设△ABE的面积为S.因为S正方形ABCD=S+S?= S+140,S正方形AEFG=S+S?=S+124.而S正方形ABCD=AB2, S正方形AEFG=AE2,所以AB2-AE2=140-124=16.在 Rt△ABE中，BE2=AB2-AE2=16,所以BE=4. 5.13 [解析]设AD的长度为x米，根据题意，得CD=AD= x米，DB=CB-CD=(25-x)米.在Rt△ABD中，∠ABD= 90°.由勾股定理，得AB2+DB2=AD2,即52+(25-x)2= x2,解得x=13,故鹰飞行的距离为13米. 6.解：过点A作AD⊥BC于点D. 设CD=x,因为AC2-CD2=AB2-BD2, 所以132-x2=152-(4+x)2,解得x=5, 所以AD2=AC2-CD2=144, 所以AD=12,所以：SAnc= BC·AD=24. 7.解：(1) [解析]如答图①,过点B作BH⊥AC于点H.因 为∠ABC=90°,AB=6,BC=8,所以由勾股定理易得AC=10. ·4·