4.2 整式的加法与减法导学案2025-2026学年人教版七年级数学上册

4.2 整式的加法与减法导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解同类项的概念，能准确判断同类项。 1. 掌握合并同类项的法则和去括号法则，能熟练进行整式的加减运算。 1. 会运用整式的加减解决简单的实际问题。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 同类项的概念（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项）。 1. 合并同类项的法则（同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）。 1. 去括号法则（括号前是 “+” 号，去括号后各项符号不变；括号前是 “-” 号，去括号后各项符号都改变）。 1. 整式加减的一般步骤（去括号、合并同类项）。 （二）学习难点 1. 准确判断同类项（与系数无关，与字母顺序无关）。 1. 去括号时，括号前是 “-” 号且括号内有多项时，各项符号的改变（易漏改部分项的符号）。 1. 多个括号叠加时的去括号顺序及符号处理。 1. 合并同类项后，结果的化简（如系数为 1 或 - 1 时的省略写法）。 三、本节内容的思维导图 整式的加法与减法 ├──同类项 │ ├──概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（几个常数项也是同类项） │ └──判断依据：字母相同、相同字母的指数相同（与系数、字母顺序无关） ├──合并同类项 │ ├──概念：把多项式中的同类项合并成一项 │ ├──法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 │ └──步骤：找出同类项→标注同类项→系数相加→保留字母和指数 ├──去括号法则 │ ├──括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，括号里各项的符号都不改变（如+(a - b) = a - b） │ └──括号前是“-”号：去掉括号和“-”号，括号里各项的符号都要改变（如-(a - b) = -a + b） ├──整式的加减 │ ├──实质：去括号和合并同类项的综合运用 │ ├──步骤：①根据题意列出代数式；②去括号（若有括号）；③合并同类项；④得到最简结果 ├──易错点 │ ├──判断同类项时，误看系数或字母顺序（如2x²y与3xy²不是同类项） │ ├──合并同类项时，改变字母或指数（如3a + 2a = 5a²是错误的） │ ├──去括号时，括号前是“-”号，漏改部分项的符号（如-(x - y) = -x - y是错误的） │ ├──多个括号去括号时，顺序错误或符号混乱 └──应用：用整式加减表示实际问题中的数量关系，并进行计算 四、知识点自主预习填空 1. 所含（ ）相同，并且（ ）的指数也相同的项叫做同类项，几个（ ）也是同类项。 1. 合并同类项时，同类项的（ ）相加，（ ）和（ ）不变。 1. 去括号：+(a - b + c) =（ ）；-(a - b + c) =（ ）。 1. 整式的加减的实质是（ ）和（ ）。 1. 化简：3x² + 2x² =（ ）；4a - (2a - 3b) =（ ）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）同类项 1. 概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。此外，几个常数项（不含字母的项）也是同类项。 例如：2x 与 - 5x（字母都是 x，指数都是 1）、3x²y 与 - x²y（字母都是 x、y，x 的指数都是 2，y 的指数都是 1）是同类项；5 与 - 3（常数项）也是同类项。 常考易错点：误认为同类项与系数有关（如 2a 与 3a 是同类项，与系数 2 和 3 无关）；误认为同类项与字母顺序有关（如 xy 与 yx 是同类项，字母顺序不影响）；忽略相同字母的指数需相同（如 x² 与 x 不是同类项）。 经典例题：判断下列各组是否为同类项：（1）3a 与 2b；（2）-5x²y 与 3x²y；（3）4 与 - 7。 解：（1）不是，所含字母不同；（2）是，所含字母都是 x、y，且 x 的指数都是 2，y 的指数都是 1；（3）是，都是常数项。 （二）合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项的过程叫做合并同类项。 1. 法则：合并同类项时，同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 例如：3x + 5x = (3 + 5) x = 8x；-2a²b + 6a²b = (-2 + 6) a²b = 4a²b。 1. 步骤： 常考易错点：合并同类项时，错误地改变字母或字母的指数（如 2m + 3m = 5m²）；系数相加时出现计算错误（尤其是负数系数相加）。 经典例题：合并同类项：4x² - 7x + 5 - 3x² + 6x - 2。 解：原式 = (4x² - 3x²) + (-7x + 6x) + (5 - 2)（找出同类项并分组） = (4 - 3) x² + (-7 + 6) x + (5 - 2)（系数相加） = x² - x + 3（化简结果） 0. 第一步：找出多项式中的同类项（可用不同符号标注）； 0. 第二步：将同类项的系数相加； 0. 第三步：保持字母和字母的指数不变，写出合并后的项。 （三）去括号法则 1. 括号前是 “+” 号：去掉括号和它前面的 “+” 号后，括号里各项的符号都不改变。 用字母表示：+(a + b - c) = a + b - c。 1. 括号前是 “-” 号：去掉括号和它前面的 “-” 号后，括号里各项的符号都要改变（正变负，负变正）。 用字母表示：-(a + b - c) = -a - b + c。 常考易错点：括号前是 “-” 号时，漏改括号内部分项的符号（如 -(2x - 3y) = -2x - 3y，错误在于 - 3y 未变号）；括号前有数字因数时，仅去括号未分配数字（如 2 (x + y) = 2x + y，漏乘 y）。 经典例题：去括号：（1）+(3a - 2b + c)；（2）-(-x + 2y - z)。 解：（1）+(3a - 2b + c) = 3a - 2b + c（括号前是 “+” 号，各项符号不变）； （2）-(-x + 2y - z) = x - 2y + z（括号前是 “-” 号，各项符号都改变）。 （四）整式的加减 1. 实质：整式的加减就是去括号和合并同类项的综合运算，结果是一个最简整式（不含同类项）。 1. 步骤： 常考易错点：去括号时符号错误；合并同类项时漏项或系数计算错误；多个整式加减时，未正确添加括号（如求 a 与 b 的差，应写成 a - b，若 b 是多项式，需加括号，如 a - (b + c)）。 经典例题：计算：(2x² - 3x + 1) - (x² + 2x - 5)。 解：第一步，去括号：(2x² - 3x + 1) - (x² + 2x - 5) = 2x² - 3x + 1 - x² - 2x + 5（括号前是 “-” 号，各项变号）； 第二步，合并同类项：(2x² - x²) + (-3x - 2x) + (1 + 5) = x² - 5x + 6。 所以，结果是 x² - 5x + 6。 0. 第一步：根据题意列出需要加减的整式（若有括号，先确定括号前的符号）； 0. 第二步：去括号（按照去括号法则，有多层括号时可从里向外或从外向里逐步去）； 0. 第三步：合并同类项（将所有同类项合并，化简结果）。 六、效果检测 1. 3x²y 与 - 3xy² 是同类项。（ ） 1. 合并同类项：2a + 3a = 5a。（ ） 1. 去括号：-(a - b) = -a - b。（ ） 1. 整式的加减运算结果一定是整式。（ ） 1. 化简 3 (x - 1) - 2 (x + 1) 的结果是 x - 5。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 同类项是整式加减的基础，判断关键是 “字母相同且相同字母的指数相同”。 1. 合并同类项遵循 “系数相加，字母和指数不变”，是化简整式的核心步骤。 1. 去括号法则是整式加减的重要工具，尤其注意括号前是 “-” 号时各项符号的改变。 1. 整式加减的步骤：去括号→合并同类项，最终结果要化为最简形式（无同类项）。 1. 易错点集中在同类项判断、去括号符号和合并同类项的系数计算上。 8、 课后作业 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知：，且，，的最大值是（    ） A．0 B．3 C．5 D．－4 3．小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 4．若单项式与是同类项，则（ ） A． B．或 C． D． 5．对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 6．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 7．已知单项式与 是同类项，则k，m的值为（    ） A．2，2 B．1，2 C．2， D．0，2 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列判断中，正确的共有（    ）个 ；； ；． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．若与是同类项，则的值为 ． 10．若，则的值为 ． 11．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 ． 12．已知，则的值为 ． 三、解答题 13．先化简，再求值：     其中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 字母；相同字母；常数项 1. 系数；字母；字母的指数 1. a - b + c；-a + b - c 1. 去括号；合并同类项 1. 5x²；2a + 3b （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：3x²y 与 - 3xy² 所含字母相同，但相同字母的指数不同（x 的指数分别是 2 和 1，y 的指数分别是 1 和 2），不是同类项，该说法错误。 1. （√）解析：2a 与 3a 是同类项，合并时系数相加，字母和指数不变，结果为 5a，该说法正确。 1. （×）解析：根据去括号法则，-(a - b) = -a + b，而非 - a - b，该说法错误。 1. （√）解析：整式加减的实质是去括号和合并同类项，结果仍为整式，该说法正确。 1. （√）解析：3 (x - 1) - 2 (x + 1) = 3x - 3 - 2x - 2 = (3x - 2x) + (-3 - 2) = x - 5，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D B D C 1．D 【分析】本题考查整式的加减运算及有理数的运算，根据整式的加减运算及有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：A． ，计算错误； B． 表示先平方后取负，即，计算错误； C． 与指数不同，不是同类项，无法合并为，计算错误； D． ，同类项合并正确． 故选：D 2．A 【分析】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义、有理数的加法，根据题意可得，，中有两个负数，一个正数，，，，求出，再分三种情况，结合绝对值的意义求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，中有两个负数，一个正数，，，， ∴， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 综上所述，的最大值是， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查日历数的排列规律与倍数应用，熟练掌握“同一列相邻数差、同一行相邻数差”规律，通过设中间数表示五数和（和为的倍数 ），结合数在日历中的存在性判断是解题关键．设“十”字框中间数为，依据日历数的排列规律（同一列相邻数差、同一行相邻数差 ）表示出其余四个数，求出五数和的表达式，再结合和的倍数特征与日历中数的存在性判断选项． 【详解】解：设“十”字框中间的数为．则上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为． ∴这五个数的和为， ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数．此时中间数，在日历中，位于第四行第四列，上面数、下面数、左边数、右边数，均在日历范围内，可构成“十”字框，符合条件； ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数，但位于第五行第二列，下面无对应数（日历最大数为，超出范围 ），无法构成“十”字框，排除． 综上，这个数的和可能是， 故选： ． 4．C 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程求解即可． 先根据同类项的定义求出的值，再把求得的的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵单项式与 是同类项， ∴， ∴，． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了数轴与实数，绝对值化简，有理数的运算等相关知识点和数形结合的数学思想，理解数轴上点的位置关系及绝对值的定义是解题的关键．本题根据数轴上点的位置判断出a，b，c的正负性和它们之间的大小关系，再进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，，所以 ，故错误； 由数轴可知：，，所以即，故正确； 由数轴可知：，，，所以，，，所以，故正确； 由数轴可知：，所以，所以，故正确； 综上，正确的共有3个 故答案为：C 9． 【分析】本题考查了同类项的知识，根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出m、n的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 先根据已知条件，求出的值，再根据合并同类项法则把所求式子化简，写成含有的形式，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 11． 【分析】本题考查数轴，绝对值的性质，整式的加减，熟练掌握这些知识点是解题关键．根据有理数a、b、c在数轴上的位置可以确定，，再去绝对值化简即可． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置可以确定，． ∴，． ∴ ． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了代数式求值、整式的加减，代数式中字母的值没有明确告知，而是隐含在已知条件中，首先应从条件入手，寻找要求的代数式与已知条件之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．先由已知求得，，再将代入所求代数式，整理得到，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 13．，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的混合运算等知识点，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． 利用整式的加减运算法则先进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． $$