3.1探索勾股定理课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

3.1 探索勾股定理 1. 了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系；（重点） 2. 能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 素养目标 数学小史 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开章，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的高度呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。 一根电杆从离地面8m处拉一根钢绳，钢绳在地面的固定点离电杆底部有6m。那么需要多长的钢绳？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 问题情境 （图中每一格代表 1 cm2） （1）正方形 P 的面积是 cm2； （2）正方形 Q 的面积是 cm2； （3）正方形 R 的面积是 cm2. 1 2 1 SP + SQ = SR AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面. 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 探究一 勾股定理的初步认识 探究新知 验证猜想 观察图1与图2，三个正方形分别 是多少单位面积？你能想到几种 方法呢？ SA SB SC SA、SB、SC满足关系 图1 图2 4 4 8 9 9 18 SA+SB=SC 探究活动一 探究活动一 “填补法” “分割法” SA SB SC SA、SB、SC满足关系 图3 图4 SA+SB=SC 16 9 25 4 9 13 观察图3与图4，三个正方形分别 是多少单位面积？你能想到几种 方法呢？ 验证猜想 探究活动二 SA+SB=SC 1.各图中，三个正方形面积之间有什么关系？ 2.你能发现各图中的直角三角形的三边长度 之间存在什么关系吗？ + = 3.请用文字语言描述直角三角形三边长度之 间的关系. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 验证猜想 探究活动三 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由勾股定理得： a2 + b2 = c2 . a A B C b c ∟ 总结归纳 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2． 勾股定理 勾股定理的多种证明 几何语言： 如果直角三角形两直角边分别为a，b,斜边为c，那么 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 勾 股 弦 A B C 勾股定理 一棵电杆从离地面8m处拉一根钢绳，钢绳在地面的固定点离电杆底部有6m。那么需要多长的钢绳？ 解：设钢绳长为x 在电杆、钢绳、地面围成的直角三角形中，电杆与地面作为直角边，则钢绳作为斜边。 所以有： x2=82+62=100 所以 x=10m 所以需要10m长的钢绳。 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积. 跟踪训练 解：SF = SA + SB =122+162=400 ， SE = SF + SG =SA + SB+SC + SD =400+225=625 . SG = SC + SD =92+122=225 ， F G 青朱出入图 N 朱方+青方=弦方 a b c a b c “加菲尔德拼图” 求下列直角三角形中未知边的长： 练一练 9 b 15 x 5 x+1 解：由勾股定理可得 52 + x2 = （x+1）2， x = 12. 8 6 c ∟ 解：由勾股定理可得 62 + 82 = c2， c = 10. 解：由勾股定理可得 92 + b2 = 152， b = 12. 例1 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 典例精析 A D B C 3 4 解：在Rt🔺ACB中，∠ACB=90°， ∴AB2 = AC2+BC2 = 25，即 AB = 5. ∵CD⊥AB 根据三角形面积公式， ∴ AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . 探究二 利用勾股定理进行计算 探究新知 解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°， ∴BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16. 在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°， ∴ CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25. ∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 例2 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝ 12，求△ABC 的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴ BC＝BD－CD＝7. ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 方法总结 例3 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜边 AB＝10，求△ABE及阴影部分的面积. 解： ∵阴影部分均为等腰直角三角形， ∴AE=BE， ∵ 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴AE2+BE2=AB2， ∴2AE2=AB2=100， ∴ 同理： 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2=100， ∴阴影部分的面积为 拓展： 如图，以 Rt△ABC 的三边长为直径分别向外作半圆. 三个半圆面积分别为S1，S2，S3，求证：S1+S2=S3. 解：在 Rt△ABD 中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵ ∴S1+S2=S3 1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm². 8 cm 10 cm 36 当堂练习 2. 求下列图中未知数 x、y 的值： 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， y = 5. 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， x = 15. 3. （1）直角三角形两直角边是5，12，则第三边是 ； （2）直角三角形两边是3和4，则第三边平方是 ，第三边上的高是 . （3）Rt🔺ABC，∠C=90°， c = 17，a = 8，则 b= . （4）直角三角形边长6，x，10，求最短边上的高 . 13 25或7 15 8或10 4. 一长为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少? A B C 解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∴BC2 = AB2 - AC2 = 2.52 - 2.42 = 0.49， ∴ BC = 0.7. 答：梯脚与墙的距离是 0.7 米. 1.一直角三角形的一条直角边长为6，斜边比另一条直角边大2，则 斜边长为 6 课堂检测 2. 3.在△ 中， 求 的长. 解： $$