05讲 集合运算的综合问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

05讲　集合的运算的综合问题 【人教版2019】 题型(一)　集合交、并、补混合运算 【典题练习】 1.已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2.若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 3.（多选）已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知8，则集合B中元素个数可能为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 4.已知集合，，求，，，. 题型(二)　集合中的参数问题 【典题练习】 1.设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 2.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 3.若集合，，，，则 ． 4.已知集合，，若，则 . 题型(三)　集合中新定义问题 【典题练习】 1.对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 2.（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； 【巩固练习】 一、单选题 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2.满足,且的集合的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 5.已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 6.定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 8.设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 9.设全集为U，集合A，B满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10.已知全集，，，，则 . 11.设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 12.设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 13.某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 四、解答题 14.已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 15.已知，． (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答． 问题：若__________，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05讲　集合的运算的综合问题 【人教版2019】 题型(一)　集合交、并、补混合运算 【典题练习】 1.已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得 . 故选：A. 2.若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 3.（多选）已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知8，则集合B中元素个数可能为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】BC 【分析】根据中有m个元素，中有个元素，设集合B中元素个数为x，再根据集合A中含有6个元素，中共有12个元素，由求解. 【详解】解：因为中有m个元素， 所以中有个元素， 设集合B中元素个数为x， 又集合A中含有6个元素， 则，即， 因为8， 所以， 又中共有12个元素， 所以， 则， 故选：BC 4.已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，，或或. 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 题型(二)　集合中的参数问题 【典题练习】 1.设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 2.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 3.若集合，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的交集、并集的结果可得，，进而求出即可得解. 【详解】由，得，则，解得， ，又，则，， 因此方程有等根2，则，即， 所以. 故答案为： 4.已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的值，再利用并集的定义可得出集合. 【详解】因为，， 且，则或，则， 故. 故答案为：. 题型(三)　集合中新定义问题 【典题练习】 1.对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 2.（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】举例说明判断，利用给定定义结合集合运算的意义推理判断. 【详解】对于，若， 则，故A错误； 对于，若， 则， 而，故错误； 对于，若，则， ，故C错误： 对于D，任取元素，则且， 则且， 于是且，即， 反之若任取元素， 则且， 因此且，即且， 所以，即，故D正确． 故选：ABC． 3.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； 【答案】(1)或或； (2)； 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. 【巩固练习】 一、单选题 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2.满足,且的集合的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】利用列举法列举出的所有可能取值. 【详解】依题意，可能是共种. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系、交集的结果，求集合，属于基础题. 3.已知，均为的子集，且，则下面选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由此可得结论 【详解】解：因为，均为的子集，且， 所以， 所以， 故选：C 4.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由题意得若则且，若则且，若则，若则，而元素5没有限制，进而即可求出集合A的可能结果. 【详解】由题得，， 由题意可知若则且，若则且， 若则，若则，而元素5没有限制可或. 综上，集合A可为：，，，，，，，. 所以集合A的个数共8个. 故选：B. 5.已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 6.定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求出和，然后再求 【详解】因为， 所以， 所以当时，， 所以， 所以 ， 故选：D 二、多选题 7.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故 符合要求， 故选：BD 8.设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，作出韦恩图，结合图形可得集合A、B，根据真子集的定义和并集的定义与运算即可判断CD. 【详解】由题意知， 作出韦恩图，如图，    由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD 9.设全集为U，集合A，B满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】全集为U，集合A，B满足，当且仅当， 所以，故A正确；，即不一定成立，故B错误； 对于C，若是的真子集，则不成立， 对于D，正确. 故选：AD. 三、填空题 10.已知全集，，，，则 . 【答案】 【分析】首先分析，，，，再由，对分类讨论，即可得解. 【详解】因为， 因为，所以，，，， ，所以，，，， ，则， 若，，即，，经检验符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 综上可得，. 故答案为： 11.设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 【答案】 【分析】由集合新定义以及集合的运算求解即可； 【详解】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 12.设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为 13.某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 【答案】32 【分析】根据要写条件，利用韦恩图即可求出总人数. 【详解】依题意，得如图所示的韦恩图， 参加数理化竞赛的学生有人，所以需预购32张车票.    故答案为：32 四、解答题 14.已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【答案】(1)，，． (2)或 【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可； （2）结合（1），根据题意计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 15.已知，． (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答． 问题：若__________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)a≥1 【分析】（1）解不等式可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果； （2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定，分别在、和的情况下，根据包含关系可构造不等式求得结果. 【详解】（1）， 当时，由得：，即，， . （2）由（1）知：； 若选条件①，， 若，则，即； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为； 若选条件②，，； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为； 若选条件③，，； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$