03讲 集合间的基本关系 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

03讲　集合间的基本关系 【人教版2019】 知识点1　子　集 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 对子集的理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)A⊆B的理解：不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A. 【典题练习】 1.判断正误． （1）若，则．( ) （2）若，则或( ) （3）如果集合，那么若元素m不属于A，则必不属于B．( ) 2.已知是负数，是负整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3.已知集合和集合，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．，互不包含 4.已知集合．若，则a的最大值为 ． 知识点2　真子集与集合相等 真子集与集合相等 定义 符号表示 图形表示 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B (1)理解真子集的概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，只要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.如集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A⊆B，且集合B中有两个元素不属于集合A，即3∉A,4∉A，满足至少有一个元素不属于集合A，故AB. (2)若A⊆B，且A≠B，则AB. (3)判断集合关系的方法 ①列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断其关系． ②元素特征法：弄清集合中元素的限制条件，再利用限制条件来判断集合间的关系． ③图示法：利用数轴或Venn图表示集合，可直观地判断两集合间的关系． 【典题练习】 1.已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 2.若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 3.已知集合所有非空真子集的元素之和等于24，则___________. 4.若集合⫋，且中至多含有一个奇数，则这样的集合有 个. 知识点3　空　集 空集的定义及特性 定义 不含任何元素的集合叫做空集 记法 记作∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A 注意; (1)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． (2)在子集的定义中，若A＝∅，则集合A中不含集合B中的任何元素，此时我们也说集合A是集合B的子集． 【典题练习】 1.下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 2.已知集合，则实数k的取值范围是 . 3.已知集合P=，Q=.若，则a的值组成的集合是 . 知识点4　确定子集(真子集)的个数 根据子集的定义可知，若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含①A＝∅；②AB；③A＝B.所以有限集合的子集个数的结论为 ①n个元素的集合有2n个子集； ②n个元素的集合有(2n－1)个真子集； ③n个元素的集合有(2n－1)个非空子集； ④n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 【典题练习】 1.已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（多选）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 4.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【巩固练习】 一、单选题 1．已知集合A＝{y|y＝|x|－2，x∈R}，B＝{x|x≥1}，则下列结论正确的是(　 ) A．－3∈A B．3∉B C．B⊆A D．A⊆B 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3.若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 4.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 6.设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 二、多选题 7.如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 9.下列命题中正确的是（    ） A．集合的真子集有2个 B．是正方形是矩形 C．设，，，，若，则 D． 10.已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 三、填空题 11.已知，则集合M的真子集的个数是_____________. 12.设集合，且，则实数的取值范围 ． 13.已知非空集合M满足：对任意，总有且，若，则满足条件的M的个数是 . 四、解答题 14.已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 15．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03讲　集合间的基本关系 【人教版2019】 知识点1　子　集 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 对子集的理解 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)A⊆B的理解：不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A. 【典题练习】 1.判断正误． （1）若，则．( ) （2）若，则或( ) （3）如果集合，那么若元素m不属于A，则必不属于B．( ) 【答案】 √ × √ 【详解】（1）由，则，故正确； （2）若，则且，故错误； （3）由，故元素m不属于A，则必不属于B，正确. 2.已知是负数，是负整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的关系得到结果； 【详解】集合的关系如图：    故选：B. 3.已知集合和集合，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．，互不包含 【答案】D 【分析】根据集合中元素特征，即可判断选项. 【详解】因为集合为函数中的取值集合，为数集，而为曲线上的点的集合，为点集，因此，与互不包含． 故选：D 解析：选D　由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． 4.已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 知识点2　真子集与集合相等 真子集与集合相等 定义 符号表示 图形表示 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B (1)理解真子集的概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，只要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.如集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A⊆B，且集合B中有两个元素不属于集合A，即3∉A,4∉A，满足至少有一个元素不属于集合A，故AB. (2)若A⊆B，且A≠B，则AB. (3)判断集合关系的方法 ①列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断其关系． ②元素特征法：弄清集合中元素的限制条件，再利用限制条件来判断集合间的关系． ③图示法：利用数轴或Venn图表示集合，可直观地判断两集合间的关系． 【典题练习】 1.已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求出集合，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为0是元素，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：AD 2.若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合的元素属性即可判断得解. 【详解】 且，而，所以. 故选：B 3.已知集合所有非空真子集的元素之和等于24，则___________. 【答案】8 【分析】根据题意得集合的所有非空真子集，再求和即可. 【详解】解：因为集合的所有非空真子集：， 所以，24，即8. 4.若集合⫋，且中至多含有一个奇数，则这样的集合有 个. 【答案】 【分析】列举出符合条件的集合即可得出结论. 【详解】若中含有1个奇数，则可能为、、、；若中含有0个奇数，则. 故符合条件的集合有个. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合子集个数的求解，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于基础题 知识点3　空　集 空集的定义及特性 定义 不含任何元素的集合叫做空集 记法 记作∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A 注意; (1)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． (2)在子集的定义中，若A＝∅，则集合A中不含集合B中的任何元素，此时我们也说集合A是集合B的子集． 【典题练习】 1.下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 2.已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 3.已知集合P=，Q=.若，则a的值组成的集合是 . 【答案】 【分析】先化简，再根据分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数的取值集合． 【详解】解：，，， 当是空集时，有显然成立； 当时，有，符合题意； 当时，有，符合题意； 故满足条件的的值为，，0． a的值组成的集合为 故答案为 【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况． 知识点4　确定子集(真子集)的个数 根据子集的定义可知，若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含①A＝∅；②AB；③A＝B.所以有限集合的子集个数的结论为 ①n个元素的集合有2n个子集； ②n个元素的集合有(2n－1)个真子集； ③n个元素的集合有(2n－1)个非空子集； ④n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 【典题练习】 1.已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 2.满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】满足⫋的集合可以为， 故集合A的个数为3. 故选：B 3.（多选）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 4.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 【巩固练习】 一、单选题 1．已知集合A＝{y|y＝|x|－2，x∈R}，B＝{x|x≥1}，则下列结论正确的是(　 ) A．－3∈A B．3∉B C．B⊆A D．A⊆B 解析：选C　集合A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，所以B⊆A. 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 3.若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合的元素属性即可判断得解. 【详解】 且，而，所以. 故选：B 4.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据子集个数求得元素个数，结合集合的定义，即可求得结果. 【详解】根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素， 又由M={x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数， 故可得m=2. 故选：. 【点睛】本题考查集合子集的个数，属简单题. 5.已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 6.设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D 二、多选题 7.如下四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系以及空集的定义判断即可. 【详解】元素与集合的关系以及集合间的基本关系可知 正确，错误，正确，错误， 故选：AC. 8.已知，，，，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先求出，即可求出集合. 【详解】因为，，，， 又， 所以或或或. 故选：ACD 9.下列命题中正确的是（    ） A．集合的真子集有2个 B．是正方形是矩形 C．设，，，，若，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用真子集的求法可判定A，利用集合间的基本关系可判定B、D，利用集合相等的关系可判定C. 【详解】对于A，易知集合的真子集有个，故A错误； 对于B，所有正方形都是矩形，即是正方形是矩形，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，因为把空集视为元素，所以，故D正确. 故选：BCD 10.已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 三、填空题 11.已知，则集合M的真子集的个数是_____________. 【答案】15 【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集. 【详解】依题意， ， 所以集合有个元素，真子集的个数为个. 12.设集合，且，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】， 或， ①时，有，解得． ②时，有，解得． 综上，或 13.已知非空集合M满足：对任意，总有且，若，则满足条件的M的个数是 . 【答案】11 【分析】根据集合M的元素特征以及有限集的子集个数即可解出． 【详解】因为非空集合M至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M中不能含有，且不能同时存在于集合，所以由集合的非空子集个数为， 再排除不符合题意的，故满足题意的M的个数是． 故答案为：11． 四、解答题 14.已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． （2）解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 15．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 学科网（北京）股份有限公司 $$