2.4 概率的简单应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

86 2.4　概率的简单应用 概 率 表 示 一 个 事 件 发 生 的 可 能 性 的 .如果事件发生的各种结果的可能性 相同且互相排斥,结果总数为n,事件A 包含其 中的结果数为m(m≤n),那么事件A 发生的概 率P(A)= .了解事件发生的概率,我 们可以解决生活中的一些实际问题,如我们可 以通过计算概率来预测彩票中奖的可能性的 大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 某商场举办“元旦送惊喜”抽奖活动, 10000张奖券中设有中奖奖券200张,小红第 一个参加抽奖且抽取1张奖券,她中奖的概率 为 .若估计元旦当天将有2000名顾客 参加该抽奖活动,则该商场当天准备 个 奖品比较合适. 先根据给出的奖券总数及所设的中奖奖 券数可计算出中奖的概率,用中奖的概率与参 加该抽奖活动的顾客人数相乘即可确定准备奖 品的个数. 解答: 解有所悟:商场中的抽奖活动实际上就是概率的应 用,运用概率的知识可以设计抽奖方案. 典例2 已知一个密码箱的密码的每个数位上的 数字都是从0到9的自然数.若要使不知道密 码的人一次就拨对密码的概率小于 1 2022 ,则密 码最少为几位数? 分别求出当密码是一位数、两位数、三位 数、四位数时,一次就拨对密码的概率,再根据 1 2022 所在的范围解答即可. 解答: 解有所悟:该类题目属于概率的实际应用题,需要 我们熟练地掌握并运用概率的求法,进而解题.概 率与人们的生活密切相关,能帮助我们对许多事情 作出判断和决策. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 某商店举办有奖销售活动,奖励办法如下: 凡购物满100元者得奖券1张,多购多得,每 10000张奖券为一个开奖单位.如果设特等 奖1个、一等奖50个、二等奖100个,那么买 100元商品的中奖概率是 ( ) A. 1 10000B. 1 200 C. 1 100 D. 151 10000 2. 银行卡的密码由六个数字组成,每个数字都 是0~9这十个数字中的一个,只有当六个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 87 数字与所设定的密码及顺序完全相同时,才 能将款取出.如果仅忘记了预设密码的最后 一个数字,那么一次就能将款取出的概率是 . 3. (呼和浩特中考)动物学家通过大量的调查, 估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到 25岁的概率为0.5.若设刚出生的这种动物 共有a只,则20年后存活的有 只, 现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 . 4. 有两把不同的锁和三把不同的钥匙,其中两 把钥匙分别能打开这两把锁,第三把钥匙不 能打开这两把锁,随机取出一把钥匙开任意 一把 锁,能 够 一 次 性 打 开 锁 的 概 率 是 . 5. 某景点为吸引游客,设置了一个游戏,规则 如下:凡参与游戏的游客从一个装有12个 红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都 相同)的不透明纸箱中,随机摸出1个球,摸 到红球就可以免费得到一个景点吉祥物.据 统计参与这个游戏的游客共有60000人,景 点一共为参与这个游戏的游客免费发放了 景点吉祥物15000个. (1) 求参与这个游戏可以免费得到景点吉祥 物的概率; (2) 纸箱中约有多少个白球? 答案讲解 6. 某船队队长要判断下月是否出海, 已知若出海后是好天气,则获得的 收益为5000元;若出海后天气变 坏,将要损失2000元;若不出海,无论天气 好坏都要承担1000元的损失费.该船队队 长通过上网查询下月的天气情况后,预测下 月好天气的概率是0.6,坏天气的概率是 0.4,则该船队队长应给出怎样的判断? 请 说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 88 [综合提升] 答案讲解 7. 某小区为了改善生态环境,促进生 活垃圾的分类处理,将生活垃圾分 为三类:易腐垃圾、可回收物和其他 垃圾,分别记为a,b,c,并且设置了相应的垃 圾箱,分别贴上“易腐垃圾”“可回收物”和“其 他垃圾”标志,分别记为A,B,C. (1) 若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请 用画树状图法求垃圾投放正确的概率. (2) 为调查居民生活垃圾分类投放的情况,现 随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨 的生活垃圾,数据统计如下表(单位:吨): 垃圾箱 垃圾 类别 A B C a 3 0.8 1.2 b 0.24 0.3 2.46 c 0.32 0.28 1.4 试估计“可回收物”投放正确的概率. (3) 该小区所在城市每天大约产生500吨生 活垃圾,根据以上信息,试估算其中“可回收 物”投放正确的吨数. 8. 某商场开展“真情回报顾客”的幸运抽奖活 动,每张奖券获奖的可能性相同,共设五个 奖金等级,一等奖的奖金为10000元,平均 奖金为180元,奖金的分配情况如下表: 奖金等级 奖金(元) 中奖人数 一等奖 10000 3 二等奖 5000 8 三等奖 1000 89 四等奖 50 300 五等奖 10 600 一名顾客抽到一张奖券,奖金为10元,她调 查了周围不少正在兑奖的其他顾客,很少有 超过50元的.她气愤地去找商场的领导理 论,领导解释说这不存在什么欺骗,平均奖 金确实是180元.你认为商场所说的平均奖 金是否欺骗了顾客? 此种说法是否能够很 好地反映中奖的一般金额? 用统计与概率 的有关知识简要分析.以后遇到类似的抽奖 活动,应该更关心什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 39 占1份,数为3的部分占2份.列表如下: 甲转盘 和 乙转盘 1 2 3 3 -1 0 1 2 2 -2 -1 0 1 1 由表,可知共有8种等可能的结果.(2) 不公平.理由:由 表,可知两个转盘所得到的数之和为正数的结果有5种, 不是正数的结果有3种,∴ P(小明赢)=58 ,P(小刚 赢)=38.∵ 5 8> 3 8 ,∴ 小明赢的可能性大.∴ 不公 平.修改规则的方法不唯一,如若这两个数的和为0,则小 明赢;若和为2,则小刚赢. 2.3 用频率估计概率 知识梳理 1. 频率 频率 2. p 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 0.6.(2) 由(1),可得摸到白球的概率为0.6, ∴ 白球约有20×0.6=12(个),黑球约有20×(1- 0.6)=8(个).(3) 设加入的白球有x 个.根据题意,得 x+12 20+x=0.8 ,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的 解,且符合题意.∴ 加入的白球有20个. 预学训练 1. D 2. 0.9 3. (1) 1 2. (2) ① 0.7.② 估计本次参赛选手的人数为 300÷(1-0.7)=1000. 4. (1) 0.74;0.7.(2) 0.70.(3) 在该转盘中表示“20元兑 换券”区域的扇形的圆心角的度数大约是360°×(1- 0.70)=108°. 2.4 概率的简单应用 知识梳理 大小 mn 典例演练 典例1 150 40 解析:∵ 10000张奖券中设有中奖奖 券200张,∴ 小红中奖的概率为 200 10000= 1 50.∵ 估计元旦 当天将有2000名顾客参加该抽奖活动,每名顾客中奖的 概率都是1 50 ,∴ 约有1 50×2000=40 (名)顾客中奖.∴ 该 商场当天准备40个奖品比较合适. 典例2 易知当密码是一位数时,一次就拨对密码的概率 为1 10 ;当密码是两位数时,一次就拨对密码的概率为 1 100 ; 当密码是三位数时,一次就拨对密码的概率为 1 1000 ;当密 码是 四 位 数 时,一 次 就 拨 对 密 码 的 概 率 为 1 10000. ∵ 1 10000< 1 2022< 1 1000 ,∴ 密码最少为四位数. 预学训练 1. D 2. 1 10 3. 0.8a 58 4. 1 3 解析:设两把锁分别为锁1、锁2,三把钥匙分别为 钥匙1、钥匙2、钥匙3,且钥匙1开锁1,钥匙2开锁2.列 表如下: 锁 钥匙 锁1 锁2 钥匙1 (钥匙1,锁1) (钥匙1,锁2) 钥匙2 (钥匙2,锁1) (钥匙2,锁2) 钥匙3 (钥匙3,锁1) (钥匙3,锁2) 由表,可知共有6种等可能的结果,其中随机取出一把钥 匙开任意一把锁,能够一次性打开锁的结果有2种,∴ 能 够一次性打开锁的概率是2 6= 1 3. 5. (1) 参与这个游戏可以免费得到景点吉祥物的概率为 15000 60000=0.25. (2) 设纸箱中约有x 个白球,则纸箱中共 有(x+12)个球.由(1),可估计摸到红球的概率为0.25, ∴ (x+12)×0.25=12,解得x=36.∴ 纸箱中约有36个 白球. 6. 出海.理由:∵ 预测下月好天气的概率是0.6,坏天气 的概率是0.4,0.6>0.4,∴ 下月是好天气的可能性>下 月是坏天气的可能性.又∵ 若出海后是好天气,则获得的 收益为5000元;若出海后天气变坏,将要损失2000元; 若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费, ∴ 若出海,获得的收益为5000×60%-2000×40%= 2200(元);若不出海,将要损失1000×60%+1000× 40%=1000(元),即获得的收益为-1000元.∵ 2200> -1000,∴ 该船队队长应给出的判断是出海. 7. (1) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有6种等可 能的结果,其中垃圾投放正确的结果有1种,∴ 垃圾投放 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 40 正确的概率为1 6. (2) 估计“可回收物”投放正确的概率为 0.3 0.24+0.3+2.46= 1 10. (3) 其中“可回收物”投放正确的 吨数约为500×0.24+0.3+2.4610 × 1 10=15. 第7题 8. 根 据 题 意,得 这 次 抽 奖 的 平 均 奖 金 为 10000×3+5000×8+1000×89+50×300+10×600 3+8+89+300+600 = 180(元).∴ 商场所说的平均奖金没有欺骗顾客.∵ P(奖 金不超过50元)= 300+6003+8+89+300+600=0.9 ,P(奖金超 过50元)=1-0.9=0.1,0.9>0.1,奖金的众数为10元, 中位数为10元,∴ 此种说法不能够很好地反映中奖的一 般金额.答案不唯一,如以后遇到类似的抽奖活动,应该更 关心众数和中位数. 第2章预学检测 一、 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 解析:列表如下: B A ① ② ③ ④ ① (①,②) (①,③) (①,④) ② (②,①) (②,③) (②,④) ③ (③,①) (③,②) (③,④) ④ (④,①) (④,②) (④,③) 由表,可知共有12种等可能的结果,其中A,B 两名同学 的座位相邻的结果有6种,∴ A,B 两名同学的座位相邻 的概率是6 12= 1 2. 7. B 解析:画树状图如图所示.由树状图,可知共有8种 等可能的结果,其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色 小正方形的结果有3种,∴ 恰好是两个黑色小正方形和 一个白色小正方形的概率为3 8. 第7题 二、 8. 2 5 9. 100 10. 4 9 11. 1 3 三、 12. (1) 表格如下: 事件A 必然事件 随机事件 m 的值 4 2或3 (2) 当m=2时,P(A)= 610-2= 3 4. 13. (1) 1 3. (2) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有 9种等可能的结果,其中乙不输的结果有6种,∴ P(乙不 输)=69= 2 3. 第13题 14. (1) 1 3 ;2 3. (2) 列表如下: a 和 b -1 -6 8 -4 -5 -10 4 5 4 -1 13 7 6 1 15 由表,可知共有9种等可能的结果,其中满足a+b<0的 结果有3种,∴ 满足a+b<0的概率为39= 1 3. 15. (1) 1 4. (2) 这个游戏规则不公平.理由:画树状图如 图所示.由树状图,可知共有16种等可能的结果,其中佳 佳随机投掷两次骰子,最终落回到圈A 的结果有5种, ∴ 佳佳随机投掷两次骰子,最终落回到圈A 的概率= 5 16.∵ 1 4< 5 16 ,∴ 这个游戏规则不公平. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈