2.3 用频率估计概率-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

84 2.3　用频率估计概率 1. 在相同条件下,当重复试验的次数大量增加 时,事件发生的 就稳定在相应的概 率附近.因此,我们可以通过大量重复试验, 用一个事件发生的 来估计这一事 件发生的概率. 2. 一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发 生的频率m n 会稳定在某个常数p 附近,那么 事件A 发生的概率P(A)= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 在篮球训练中,某运动员命中三分球的 概率是1 3 ,这意味着该运动员 ( ) A. 三分投篮3次,必命中1次 B. 在一次三分投篮中没有命中,下次肯定不会命中 C. 三分投篮12次,一定有4次命中 D. 三分投篮很多次,平均每3次有1次会命中 概率是反映事件发生机会的大小的概念, 只是表示发生的机会的大小,可能发生也可能 不发生,据此解答即可. 解答: 解有所悟:用稳定时的频率可估计某一事件发生的 概率,随机事件发生的结果具有不确定性,大量试 验反映的规律并非在每一次试验中一定存在. 典例2 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同 的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做 摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出1个球记 下颜色,再把它放回口袋里,不断重复.下表是 活动进行中的一组统计数据: 摸球的 次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的 次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的 频率m n 0.58 0.64 0.58 0.590.6050.601 (1) 当n 很大时,摸出白球的频率将会接近 (精确到0.1); (2) 试估算口袋里黑、白两种颜色的球的数量; (3) 如果再加入若干个白球后,摸到白球的概 率为0.8,那么加入的白球有多少个? (1) 根据表格中提供的数据,得摸出白球 的频率会稳定在0.6左右.(2) 由(1)中的频率 可估计摸出白球的概率,再用1减去摸出白球 的概率,即可得摸出黑球的概率,通过概率即可 求得黑、白两种颜色的球的数量.(3) 根据现在 白球的个数除以现在球的总个数等于摸到白球 的概率列出方程,即可得出答案. 解答: 解有所悟:当进行大量重复试验时,某事件的频率 会在某个固定的数值左右摆动,并且摆动的幅度随 着试验次数的增多而减小,因此,可以用频率(这个 固定的数值)来估计概率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 85 [基础过关] 1. 抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5指 ( ) A. 连续抛掷2次,结果一定是“正面朝上” 和“反面朝上”各1次 B. 连续抛掷100次,结果一定是“正面朝上” 和“反面朝上”各50次 C. 抛掷2n次,恰好有n次“正面朝上” D. 抛掷n次,当n越来越大时,“正面朝上” 的频率会越来越稳定在0.5附近 2. (抚顺中考)质检部门对某批产品进行随机 抽检,结果如下表(合格率精确到0.001): 抽检 产品的 件数n 100 150 200 250 300 5001000 合格 产品的 件数m 89 134 179 226 271 451 904 合格 率m n 0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904 在这批产品中任取1件,恰好是合格产品的 概率约为 (精确到0.1). 3. 某市半程马拉松的赛事共有两项:“半程马 拉松”“欢乐跑”.小明参加了本次赛事的志 愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到 两个项目组. (1) 小明被分配到“半程马拉松”项目组的概 率为 . (2) 小明对部分参赛选手进行了调查,结果 如下表: 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程 马拉松”的人数 15 33 72 139 356 参加“半程 马拉松”的频率 0.75 0.66 0.720.6950.712 ① 估算本次赛事的参赛选手中参加“半程马 拉松”的概率为 (精确到0.1); ② 若参加“欢乐跑”项目的人数约为300,估 计本次参赛选手的人数. [综合提升] 答案讲解 4. 商场进行有奖促销活动,规定顾客 购物达到一定金额就可以获得一次 转动转盘的机会(如图),当转盘停 止转动时指针落在哪一个区域就可获得相 应的奖品(若指针落在两个区域的交界处, 则重新转动转盘).统计结果如下表: 转动转盘的 次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“10元兑 换券”的次数m 68 111 136 345 560 701 落在“10元兑 换券”的频率m n 0.68 a 0.680.69 b 0.701 (1) a的值为 ,b的值为 ; (2) 某顾客转动该转盘1次,获得“10元兑 换券”的概率约是 (精确到0.01); (3) 根据(2)的结果,求在该转盘中表示 “20元兑换券”区域的扇形的圆心角的度数. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 39 占1份,数为3的部分占2份.列表如下: 甲转盘 和 乙转盘 1 2 3 3 -1 0 1 2 2 -2 -1 0 1 1 由表,可知共有8种等可能的结果.(2) 不公平.理由:由 表,可知两个转盘所得到的数之和为正数的结果有5种, 不是正数的结果有3种,∴ P(小明赢)=58 ,P(小刚 赢)=38.∵ 5 8> 3 8 ,∴ 小明赢的可能性大.∴ 不公 平.修改规则的方法不唯一,如若这两个数的和为0,则小 明赢;若和为2,则小刚赢. 2.3 用频率估计概率 知识梳理 1. 频率 频率 2. p 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 0.6.(2) 由(1),可得摸到白球的概率为0.6, ∴ 白球约有20×0.6=12(个),黑球约有20×(1- 0.6)=8(个).(3) 设加入的白球有x 个.根据题意,得 x+12 20+x=0.8 ,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的 解,且符合题意.∴ 加入的白球有20个. 预学训练 1. D 2. 0.9 3. (1) 1 2. (2) ① 0.7.② 估计本次参赛选手的人数为 300÷(1-0.7)=1000. 4. (1) 0.74;0.7.(2) 0.70.(3) 在该转盘中表示“20元兑 换券”区域的扇形的圆心角的度数大约是360°×(1- 0.70)=108°. 2.4 概率的简单应用 知识梳理 大小 mn 典例演练 典例1 150 40 解析:∵ 10000张奖券中设有中奖奖 券200张,∴ 小红中奖的概率为 200 10000= 1 50.∵ 估计元旦 当天将有2000名顾客参加该抽奖活动,每名顾客中奖的 概率都是1 50 ,∴ 约有1 50×2000=40 (名)顾客中奖.∴ 该 商场当天准备40个奖品比较合适. 典例2 易知当密码是一位数时,一次就拨对密码的概率 为1 10 ;当密码是两位数时,一次就拨对密码的概率为 1 100 ; 当密码是三位数时,一次就拨对密码的概率为 1 1000 ;当密 码是 四 位 数 时,一 次 就 拨 对 密 码 的 概 率 为 1 10000. ∵ 1 10000< 1 2022< 1 1000 ,∴ 密码最少为四位数. 预学训练 1. D 2. 1 10 3. 0.8a 58 4. 1 3 解析:设两把锁分别为锁1、锁2,三把钥匙分别为 钥匙1、钥匙2、钥匙3,且钥匙1开锁1,钥匙2开锁2.列 表如下: 锁 钥匙 锁1 锁2 钥匙1 (钥匙1,锁1) (钥匙1,锁2) 钥匙2 (钥匙2,锁1) (钥匙2,锁2) 钥匙3 (钥匙3,锁1) (钥匙3,锁2) 由表,可知共有6种等可能的结果,其中随机取出一把钥 匙开任意一把锁,能够一次性打开锁的结果有2种,∴ 能 够一次性打开锁的概率是2 6= 1 3. 5. (1) 参与这个游戏可以免费得到景点吉祥物的概率为 15000 60000=0.25. (2) 设纸箱中约有x 个白球,则纸箱中共 有(x+12)个球.由(1),可估计摸到红球的概率为0.25, ∴ (x+12)×0.25=12,解得x=36.∴ 纸箱中约有36个 白球. 6. 出海.理由:∵ 预测下月好天气的概率是0.6,坏天气 的概率是0.4,0.6>0.4,∴ 下月是好天气的可能性>下 月是坏天气的可能性.又∵ 若出海后是好天气,则获得的 收益为5000元;若出海后天气变坏,将要损失2000元; 若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费, ∴ 若出海,获得的收益为5000×60%-2000×40%= 2200(元);若不出海,将要损失1000×60%+1000× 40%=1000(元),即获得的收益为-1000元.∵ 2200> -1000,∴ 该船队队长应给出的判断是出海. 7. (1) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有6种等可 能的结果,其中垃圾投放正确的结果有1种,∴ 垃圾投放 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈