2.2 简单事件的概率2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

38 象不经过第二象限的概率是3 5. 12. 转动转盘一次,共有8种等可能的结果,甲赢取1张 卡片的结果有3种,乙赢取2张卡片的结果有4种,甲赢 取卡片的结果有4种.(1) P(甲赢取1张卡片)=38. (2) P(乙赢取2张卡片)=48= 1 2. (3) P(甲赢取卡 片)=48= 1 2. 2.2 简单事件的概率2 知识梳理 1. 都相等 事件A 包含其中的结果数m 画树状图 2. 相等 典例演练 典例1 画树状图如图所示.由树状图,可知共有9种等 可能的结果,其中“两次摸出的小球的标号相同”的结果有 3种,∴ 两次摸出的小球的标号相同的概率=39= 1 3. 典例1图 典例2 由题意,将A 转盘中的红色等分成2份,记作 红1、红2,B 转盘中的红色等分成3份,记作红1、红2、 红3.列表如下: B转盘 A转盘 红1 红2 红3 蓝 红1 (红1,红1)(红1,红2)(红1,红3)(红1,蓝) 红2 (红2,红1)(红2,红2)(红2,红3)(红2,蓝) 蓝 (蓝,红1)(蓝,红2)(蓝,红3) (蓝,蓝) 由表,可知共有12种等可能的结果,其中可以配成紫色的 结果有5种,∴ P(可以配成紫色)=512. 预学训练 1. C 2. A 3. B 4. C 5. 1 6 6. 1 6 7. (1) 2 5. (2) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有 20种等可能结果,其中两次抽取的卡片恰好都是轴对称 图形的结果有6种,∴ 两次抽取的卡片恰好都是轴对称 图形的概率为6 20= 3 10. 第7题 8. D 解析:画树状图如图所示.由树状图,可知共有12种 等可能的结果,其中所取两点之间的距离为2的结果有 4种,∴ 所取两点之间的距离为2的概率为412= 1 3. 第8题 9. B 解析:设点M 的坐标为(x,y).列表如下: y x 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由表,可知共有16种等可能的结果,其中点M 落在直线 y=x下方的结果有6种,∴ 点M 落在直线y=x下方的 概率为6 16= 3 8. 10. (1) 画树状图如图①所示.由树状图,可知共有4种等 可能的结果,其中两次传球后,球恰巧在B 手中的结果有 1种,∴ 两次传球后,球恰巧在B 手中的概率为14. (2) 画树状图如图②所示.由树状图,可知共有8种等可 能的结果,其中三次传球后,球恰巧在A 手中的结果有 2种,∴ 三次传球后,球恰巧在A 手中的概率为28= 1 4. ① ② 第10题 11. (1) ∵ 甲转盘中的数为1,2,3的部分的占比是14 , 1 4 ,1 2 ,∴ 甲转盘可以平均分为4份,数为1,2的部分各 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 39 占1份,数为3的部分占2份.列表如下: 甲转盘 和 乙转盘 1 2 3 3 -1 0 1 2 2 -2 -1 0 1 1 由表,可知共有8种等可能的结果.(2) 不公平.理由:由 表,可知两个转盘所得到的数之和为正数的结果有5种, 不是正数的结果有3种,∴ P(小明赢)=58 ,P(小刚 赢)=38.∵ 5 8> 3 8 ,∴ 小明赢的可能性大.∴ 不公 平.修改规则的方法不唯一,如若这两个数的和为0,则小 明赢;若和为2,则小刚赢. 2.3 用频率估计概率 知识梳理 1. 频率 频率 2. p 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 0.6.(2) 由(1),可得摸到白球的概率为0.6, ∴ 白球约有20×0.6=12(个),黑球约有20×(1- 0.6)=8(个).(3) 设加入的白球有x 个.根据题意,得 x+12 20+x=0.8 ,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的 解,且符合题意.∴ 加入的白球有20个. 预学训练 1. D 2. 0.9 3. (1) 1 2. (2) ① 0.7.② 估计本次参赛选手的人数为 300÷(1-0.7)=1000. 4. (1) 0.74;0.7.(2) 0.70.(3) 在该转盘中表示“20元兑 换券”区域的扇形的圆心角的度数大约是360°×(1- 0.70)=108°. 2.4 概率的简单应用 知识梳理 大小 mn 典例演练 典例1 150 40 解析:∵ 10000张奖券中设有中奖奖 券200张,∴ 小红中奖的概率为 200 10000= 1 50.∵ 估计元旦 当天将有2000名顾客参加该抽奖活动,每名顾客中奖的 概率都是1 50 ,∴ 约有1 50×2000=40 (名)顾客中奖.∴ 该 商场当天准备40个奖品比较合适. 典例2 易知当密码是一位数时,一次就拨对密码的概率 为1 10 ;当密码是两位数时,一次就拨对密码的概率为 1 100 ; 当密码是三位数时,一次就拨对密码的概率为 1 1000 ;当密 码是 四 位 数 时,一 次 就 拨 对 密 码 的 概 率 为 1 10000. ∵ 1 10000< 1 2022< 1 1000 ,∴ 密码最少为四位数. 预学训练 1. D 2. 1 10 3. 0.8a 58 4. 1 3 解析:设两把锁分别为锁1、锁2,三把钥匙分别为 钥匙1、钥匙2、钥匙3,且钥匙1开锁1,钥匙2开锁2.列 表如下: 锁 钥匙 锁1 锁2 钥匙1 (钥匙1,锁1) (钥匙1,锁2) 钥匙2 (钥匙2,锁1) (钥匙2,锁2) 钥匙3 (钥匙3,锁1) (钥匙3,锁2) 由表,可知共有6种等可能的结果,其中随机取出一把钥 匙开任意一把锁,能够一次性打开锁的结果有2种,∴ 能 够一次性打开锁的概率是2 6= 1 3. 5. (1) 参与这个游戏可以免费得到景点吉祥物的概率为 15000 60000=0.25. (2) 设纸箱中约有x 个白球,则纸箱中共 有(x+12)个球.由(1),可估计摸到红球的概率为0.25, ∴ (x+12)×0.25=12,解得x=36.∴ 纸箱中约有36个 白球. 6. 出海.理由:∵ 预测下月好天气的概率是0.6,坏天气 的概率是0.4,0.6>0.4,∴ 下月是好天气的可能性>下 月是坏天气的可能性.又∵ 若出海后是好天气,则获得的 收益为5000元;若出海后天气变坏,将要损失2000元; 若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费, ∴ 若出海,获得的收益为5000×60%-2000×40%= 2200(元);若不出海,将要损失1000×60%+1000× 40%=1000(元),即获得的收益为-1000元.∵ 2200> -1000,∴ 该船队队长应给出的判断是出海. 7. (1) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有6种等可 能的结果,其中垃圾投放正确的结果有1种,∴ 垃圾投放 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 2.2　简单事件的概率2 1. 运用公式P(A)=mn 求简单事件发生的概率 时,首 先 应 确 定 所 有 结 果 的 可 能 性 ,然后确定所有可能的结果总数n 和 .确定所有可 能的结果总数可以借助列表或 的 方法. 2. 当遇到求不是等可能发生的事件的概率时, 要先将问题转化为求每个事件发生的可能 性的大小 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 一个不透明的口袋中有三个完全相同的 小球,把它们分别标号为1,2,3.随机摸出一个 小球然后放回,再随机摸出一个小球.用列表或 画树状图的方法,求两次摸出的小球的标号相 同的概率. 根据题意,随机摸出一个小球然后放回, 再随机摸出一个小球,这是“有放回”型试验.据 此通过画树状图或列表的方法得出所有可能的 结果数,找出两次摸出的小球的标号相同的结 果数,用后者除以前者,即为所求概率. 解答: 解有所悟:当一个事件涉及两个(或两个以上)因 素,并且可能出现的结果数较多时,通常先判断该 事件属于“有放回”型还是“无放回”型,然后通过画 树状图或列表的方法不重不漏地数出所有可能的 结果数n,再找出符合事件要求的所有可能的结果 数m,最后用后者除以前者即为该事件的概率. 典例2 用如图所示的两个可以自由转动的A, B 转盘做“配紫色”游戏:分别转动两个转盘,如 果其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配 成紫色,那么可以配成紫色的概率是多少? 典例2图 本题中所给的两个转盘中每个转盘中的 两个扇形的圆心角的度数都不相等,但我们可 以将A 转盘分为三个圆心角都为120°的扇形, 将B 转盘分为四个圆心角都为直角的扇形,这 样每个转盘中的指针都能等可能地指到每个扇 形.从而就能利用列表或画树状图的方法求可 以配成紫色的概率. 解答: 解有所悟:对于这类扇形不同的问题,可以通过转 化为等面积的扇形来求解.直接将A 转盘分为红色 和蓝色两种情况,B 转盘分为红色和蓝色两种情况 去做,很显然是不对的,因此要根据实际情况进行 分析,将问题转化为“等可能”问题来解决. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 82 [基础过关] 1. (济南中考)某班级计划举办手抄报展览,确 定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个 主题.若小明和小亮每人随机选择其中一个 主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是 ( ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 2. (北京中考)不透明的袋子中装有红球、绿球 各一个,除颜色外两个小球无其他差别.从 中随机摸出一个小球,放回并搅匀,再从中 随机摸出一个小球,则第一次摸到红球、第 二次摸到绿球的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 3. (常德中考)从1,2,3,4,5这五个数字中任选 两个,其和是偶数的概率为 ( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 答案讲解 4. 用如图所示的两个可自由转动的转 盘做“配紫色”游戏:分别转动两个 转盘,若其中一个指针指向红色,另 一个指针指向蓝色,即可配成紫色(若指针 指在分界线上,则重转),则配成紫色的概 率为 ( ) 第4题 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 5. 小慧准备通过爱心热线捐款,她只记得号码 的前5位,而后3位是由5,1,2这三个数字 组成的,但具体顺序忘记了,则她第一次就 拨对号码的概率是 . 6. 有一套书分上、中、下三本,若要把它们摆放 在书架上,则从左到右恰好排成“上中下”的 顺序的概率是 . 7. 如图所示为5张不透明的卡片,除正面的图 案不同外,其他均相同.将这5张卡片背面 向上洗匀后放在桌面上. (1) 从中随机抽取1张卡片,卡片上的图案 是中心对称图形的概率为 ; (2) 若从中随机抽取1张卡片后不放回,再 随机抽取1张,请用画树状图或列表的方 法,求两次抽取的卡片恰好都是轴对称图形 的概率. 第7题 [综合提升] 8. 如图,数轴上的点A,B,C,D 表示的数分别 为-3,-1,1,2.从A,B,C,D 四点中任意 取两点,所取两点之间的距离为2的概率是 ( ) 第8题 A. 1 6 B. 1 4 C. 2 3 D. 1 3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 83 9. 如图,将转盘划分成4个相同的扇形,并分别 标上数字1,2,3,4,转动转盘两次,转盘停止 后,指针所指向的数字作为平面直角坐标系 中点M 的坐标(第一次的数字作为横坐标, 第二次的数字作为纵坐标).若指针停在分 界线上,认为其指向左侧扇形的数字,则点 M 落在直线y=x下方的概率为 ( ) 第9题 A. 1 4 B. 3 8 C. 1 2 D. 5 8 答案讲解 10. A,B,C 三人玩传球游戏,游戏规 则是第一次传球由A 将球随机地 传给B,C 两人中的某一人,以后 的每一次传球都是由上次的传球者随机地 传给其他两人中的某一人.求: (1) 两次传球后,球恰巧在B 手中的概率; (2) 三次传球后,球恰巧在A 手中的概率. 答案讲解 11. 小明和小刚用如图所示的两个转 盘做游戏,其中甲转盘中的数为 1,2,3的部分的占比是14 ,1 4 ,1 2 , 乙转盘中的数为-1,-2的部分的占比相 等.游戏规则如下:同时转动两个转盘,当 两个转盘所得到的数之和为正数时,小明 赢,否则小刚赢,指针指在分界线上时 重转. (1) 利用画树状图或列表的方法说明共有 多少种等可能的情况. (2) 这个游戏对双方公平吗? 若公平,请说 明理由;若不公平,请说明理由并修改规则 使游戏对双方公平. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备