2.1 事件的可能性-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

75 第2章　简单事件的概率 2.1　事件的可能性 1. 必然事件、不可能事件、不确定事件 在数学中,我们把在一定条件下 的事件叫做必然事件;在一定条件下 的事件叫做不可能事件;在一定条 件下 的事件叫做 不确定事件或 . 2. 列表或 是人们用来确定事件 发生的所有不同可能结果的常用方法.它可 以帮助我们分析问题,避免重复和遗漏,既 直观又条理分明. 3. 事件发生的可能性大小往往是由 来决定的,因此我们可以通过比 较各事件 及其 来比较事件发生的可能性大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列事件中,属于必然事件的是 ( ) A. 射击运动员射击一次,命中靶心 B. 掷一次骰子,向上一面的点数是6 C. 任意买一张电影票,座位号是2的倍数 D. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是 红球 根据随机事件、必然事件、不可能事件的 定义,逐一判断即可解答. 解答: 解有所悟:判定一个事件是必然事件、随机事件、还 是不可能事件,要从它们的定义出发,同时也要联 系理论及生活中的相关常识,看在一定条件下该事 件是一定发生、一定不发生还是可能发生. 典例2 从1~20这20个整数中,任意选取1个 整数,这个整数是2的倍数的可能性和它是3 的倍数的可能性相比, ( ) A. 是3的倍数的可能性大 B. 是2的倍数的可能性大 C. 可能性相等 D. 可能性大小不能确定 分别确定出1~20这20个整数中,是2的 倍数的整数个数以及是3的倍数的整数个数, 然后比较即可. 解答: 解有所悟:在出现的机会都相等的情况下,哪种数量 多,出现的可能性就大,否则,出现的可能性就小. 典例3 如图,展览馆有2个检票口A,B(可进 出),另外还有2个出口C,D(不可进).小张同 学凭票进入展览馆,参观结束后离开.小张同学 从进入到离开共有多少种可能的进出方式? 典例3图 参观时要从检票口进入,参观结束后可以 从检票口或出口离开,可通过画树状图分析所 有可能的进出方式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 解答: 解有所悟:对于较复杂的事件,可以利用画树状图 或列表的方法分析出所有不同可能的结果数,便于 分析和解决问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (德阳中考)下列事件中,属于必然事件的是 ( ) A. 抛掷硬币时,正面朝上 B. 明天太阳从东方升起 C. 经过红绿灯路口,遇到红灯 D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时,对方出“剪刀” 2. 给出下列事件:① 在标准大气压下,水加热 到80℃时会沸腾;② 矩形的对角线互相垂 直;③ 实数的绝对值不小于0.其中,属于不 可能事件的是 ( ) A. ① B. ② C. ①② D. ③ 3. 一个不透明的袋中有白球3个、红球若干个, 它们只有颜色上的区别.从袋中随机取出 1个球,如果取到白球的可能性更大,那么袋 中红球的数量可能 ( ) A. 是2个 B. 不足3个 C. 是4个 D. 是4个或4个以上 4. 在如图所示的转盘中,让转盘自由转动一 次,转盘停止后,可能性最大的情况是指针 指向 ( ) 第4题 A. 红色 B. 黄色 C. 白色 D. 黑色 5. “任意画一个多边形,这个多边形的外角和 为300°”这一事件是 (填“必然”“不 可能”或“不确定”)事件. 6. 娜娜有红色、黄色、白色的三件运动短袖和 白色、黑色的两条运动裤.若任意组合着穿, 则有 种可能的组合. 答案讲解 7. 一个不透明的口袋中装有除颜色外 其他均相同的4个红球、3个黄球 和2个白球,它们都已经被搅匀.请 你判断下列事件是不可能事件、必然事件、 还是随机事件,并说明理由. (1) 从口袋中任取1个球,是白球; (2) 从口袋中任取4个球,全是黄球; (3) 从口袋中任取5个球,只有黄球和白球, 没有红球; (4) 从口袋中任取6个球,三种颜色的球 都有; (5) 从口袋中任取8个球,三种颜色的球 都有. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 77 8. 某电脑公司现有A,B,C 三种型号的甲品牌 电脑和D,E 两种型号的乙品牌电脑.某中 学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型 号的电脑.写出所有选购方案(用列表或画 树状图的方法). [综合提升] 9. (怀化中考)“成语”是中华文化的瑰宝,是中 华文化的微缩景观.现有下列成语:① “水中 捞月”;② “守株待兔”;③ “百步穿杨”; ④ “瓮中捉鳖”.其中,描述的事件属于不可 能事件的是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 答案讲解 10. 如图所示为一个水平放置的转盘, 用力转动其指针,并让它自由停下 (若指针指在分界线上,则重转). 第10题 下列结论中,正确的是 ( ) A. 停在B 区域的可能性比停 在A 区域的可能性大 B. 停在三个区域的可能性一 样大 C. 停在哪个区域与转盘半径的大小有关 D. 停在哪个区域是可以随心所欲的 11. 箱子中有5个白球、7个黑球及m 个红球, 它们仅颜色不同.若从中随机摸出1个球, 结果是红球的可能性比黑球的可能性小, 同时又比白球的可能性大,则m 的值是 . 12. 八年级八班从3名男生(含小强)和5名女 生中选4名学生参加学校举行的“中华古 诗文朗诵大赛”,规定女生选n(n 为整数, 1≤n≤4)名. (1) 当n 为何值时,男生小强参加是必然 事件? (2) 当n为何值时,男生小强参加是不可能 事件? (3) 当n 为何值时,男生小强参加是随机 事件? 13. 闯关游戏规则如下:在如图所示的面板上, 有左、右两组开关按钮,每组中的两个按钮 均分别控制一个灯泡和一个发音器.同时 按下两组中各一个按钮,若两个灯泡都亮, 则“闯关成功”;若按错一个按钮,则发音器 就会发出“闯关失败”的声音. (1) 请用列表或画树状图的方法列举出所 有可能的闯关情况; (2) “闯关成功”与“闯关失败”的可能性哪 个较大? 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 36 BD.∴ 四边形ABCD 的面积=12BD ·AC.设四边形 ABCD 的面积为S,EH=x,则 BD=2x.∵ 四边形 EFGH 的周长为20,∴ EF=10-x.∴ AC=2(10- x).∴ S=12×2x ·2(10-x)=-2x2+20x=-2(x- 5)2+50.∵ -2<0,0<x<10,∴ 当x=5时,S 取得最 大值50.∴ 四边形ABCD 的面积最大是50. 三、 17. (1) ∵ 抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不 同的交点,∴ 其对应方程2x2-4x+c=0的判别式 (-4)2-4×2c>0.∴ c<2.(2) m<n.理由:∵ 抛物线 y=2x2-4x+c的对称轴为直线x=1,∴ 点A(2,m)和 (3,n)都在对称轴的右侧.∵ 2>0,∴ 当x≥1时,y随x 的增大而增大.又∵ 2<3,∴ m<n. 18. (1) 当40≤x≤60时,设y=kx+b(k≠0).把(40, 300),(60,100)代入,得 300=40k+b, 100=60k+b, 解得 k=-10 , b=700. ∴ y=-10x+700.当60<x≤70时,设y=mx+n(m≠ 0).把(60,100),(70,150)代入,得 100=60m+n, 150=70m+n, 解得 m=5, n=-200. ∴ y=5x-200.综上所述,y 关于x 的函数 表达式为y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70). (2) 设商家获得 的利润为w 元.当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+ 700)=-10(x-50)2+4000.∵ -10<0,∴ 当x= 50时,w 取到最大值4000.当60<x≤70时,w=(x- 30)(5x-200)-150(x-60)=5(x-50)2+2500.∵ 5> 0,∴ 当60<x≤70时,w 随x 的增大而增大.∴ 当x= 70时,w 取到最大值,此时w=5×(70-50)2+2500= 4500.∵ 4000<4500,∴ 当售价为70元/件时,该商家获 得的利润最大,最大利润是4500元. 19. (1) 把(1,0)代入y=a(x+1)2-4,得a(1+1)2- 4=0,解得a=1.∴ 抛物线L1 对应的函数表达式为y= (x+1)2-4=x2+2x-3.(2) ∵ 抛物线L1:y=(x+ 1)2-4的顶点的坐标为(-1,-4),将抛物线L1 向上平 移m(m>0)个单位后得到抛物线L2,∴ 抛物线L2 的顶 点的坐标为(-1,-4+m).∴ 点(-1,-4+m)关于坐标 原点的对称点的坐标为(1,4-m).把(1,4-m)代入y= (x+1)2-4,得(1+1)2-4=4-m,解得m=4.∴ m 的 值为4.(3) ∵ 把抛物线L1 向右平移n(n>0)个单位后 得到抛物线L3,∴ 抛物线L3 对应的函数表达式为y= (x-n+1)2-4.∵ 点B(1,y1),C(3,y2)都在抛物线 L3上,∴ y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4,y2=(3- n+1)2-4=(4-n)2-4.∵ y1>y2,∴ (2-n)2-4> (4-n)2-4.整理,得(2-n)2-(4-n)2>0,即(2-n+ 4-n)(2-n-4+n)>0.∴ -2×(6-2n)>0,即6- 2n<0,解得n>3.∴ n的取值范围是n>3. 20. (1) 设桥拱所在抛物线对应的函数表达式为y1= a1x2.由题意,易得点F 的坐标为(6,-1.5).将(6, -1.5)代入y1=a1x2,得-1.5=36a1,解得a1= -124.∴ y1=- 1 24x 2.由题意,易得OC=OD=12CD= 12m.当x=12时,y1=-6,∴ 桥拱顶点O 到水面的距 离为6m.(2) ① 由题意,可知右边钢缆所在抛物线的顶 点的坐标为(6,1),∴ 设其对应的二次函数表达式为y2= a2(x-6)2+1.易得点H 的坐标为(0,4).将(0,4)代入, 得4=a2(0-6)2+1,解得a2= 1 12.∴ y2= 1 12 (x-6)2+ 1.根据对称性,可得左边钢缆所在抛物线对应的函数表达 式为y3= 1 12 (x+6)2+1.② 设彩带的长度为Lm.当0≤ x≤12时,L=y2-y1= 1 12 (x-6)2+1- -124x 2 = 1 8 (x-4)2+2.∵ 1 8>0 ,∴ 当x=4时,L最小值=2.当 -12≤x<0时,L=y3-y1= 1 12 (x+6)2+1- -124x 2 =18(x+4)2+2.∵ 1 8>0 ,∴ 当x=-4时, L最小值=2.综上所述,最短的彩带的长度是2m. 第2章　简单事件的概率 2.1 事件的可能性 知识梳理 1. 一定会发生 一定不会发生 可能发生,也可能不发 生 随机事件 2. 画树状图 3. 发生事件的条件 发 生的条件 对事件发生的影响 典例演练 典例1 D 典例2 B 解析:从1~20这20个整数中,任意选取 1个整数,其中是2的倍数的有10个整数,是3的倍数的 有6个整数,∴ 这个整数是2的倍数的可能性和它是 3的倍数的可能性相比,是2的倍数的可能性大. 典例3 画树状图如图所示.由树状图,可知共有8种等 可能的结果.∴ 小张同学从进入到离开共有8种可能的 进出方式. 典例3图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 37 预学训练 1. B 2. A 3. B 4. B 5. 不可能 6. 6 7. (1) 随机事件.理由:∵ 口袋中装有红、黄、白三种颜色 的球,从中任取1个,取出这三种颜色的球都有可能, ∴ “从口袋中任取1个球,是白球”是随机事件.(2) 不可 能事件.理由:∵ 口袋中只有3个黄球,∴ 要从中取出 4个黄球是不可能的.∴ “从口袋中任取4个球,全是黄 球”是不可能事件.(3) 随机事件.理由:∵ 口袋中有红、 黄、白三种颜色的球,取出的5个球可能全部是黄球和白 球,也可能是红球,∴ “从口袋中任取5个球,只有黄球和 白球,没有红球”是随机事件.(4) 随机事件.理由:∵ 从 口袋中任取6个球,可能出现3个黄球、2个白球全部取 出,再取出1个红球的情况,也可能出现4个红球全部取 出,再取出2个黄球的情况,此时三种颜色的球没有齐, ∴ “从口袋中任取6个球,三种颜色的球都有”是随机事 件.(5) 必然事件.理由:∵ 口袋中共有9个球,从中取出 8个球,只有1个球没有取出,而取出的三种颜色的球都 有,∴ “从口袋中任取8个球,三种颜色的球都有”是必然 事件. 8. 画树状图如图所示.由树状图,可知有6种选购方案: (A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E). 第8题 9. A 10. A 11. 6 12. (1) 当n=1时,男生小强参加是必然事件.(2) 当 n=4时,男生小强参加是不可能事件.(3) 当n=2或 3时,男生小强参加是随机事件. 13. (1) 画树状图如图所示.(2) 由树状图,可知共有4种 等可能的结果,其中“闯关成功”的结果有1种,“闯关失 败”的结果有3种.∴ “闯关失败”的可能性较大. 第13题 2.2 简单事件的概率1 知识梳理 1. 可能性的大小 P P(A) 2. 100% 1 0 0 介 于0与1之间 0 1 3. m n 典例演练 典例1 A 典例2 (1) P(摸到红球)= 33+4+6= 3 13. (2) P(摸到白 球)= 43+4+6= 4 13. (3) P(摸到黄球)= 63+4+6= 6 13. (4) P(摸到黑球)=0.(5) P(摸到红球或黄球)= 3+6 3+4+6= 9 13. 典例3 (1) P(这包食品被埋藏在A 区域)=14. (2) 在 B 区域找到这包食品的可能性最大.理由:∵ P(这包食 品被埋藏在B 区域)=24= 1 2 ,P(这包食品被埋藏在 C区域)=14 ,P(这包食品被埋藏在 A 区域)=14 , ∴ P(这包食品被埋藏在B 区域)>P(这包食品被埋藏 在A 区域)=P(这包食品被埋藏在C 区域).∴ 在B 区 域找到这包食品的可能性最大. 预学训练 1. D 2. D 3. A 4. D 5. 1 2 1 2 必然 1 不可 能 0 6. > 7. 由题意,可知袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球共 15个,其中蓝色球有5个,红色1号球有1个,5号球有 3个.(1) 摸出蓝色球的概率为5 15= 1 3. (2) 摸出红色 1号球的概率为115. (3) 摸出5号球的概率为315= 1 5. 8. C 9. P2 P1 P3 10. 5 7 解析:如图,共有5个点可与点A,B 组成直角三 角形,∴ 使以A,B,C 为顶点的三角形为直角三角形的概 率是5 7. 第10题 11. 一次函数y=kx-1的图象一定经过点(0,-1),当 k>0时,图象不经过第二象限.∵ 在-12 ,-1,2,3,5这 五个数中,有三个数大于0,∴ 一次函数y=kx-1的图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈