第1章 二次函数 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

35 3. C 解析:由图象,知小球在空中达到的最大高度是 40m,故①错误.小球抛出3s后从最高处下坠,速度越来 越快,故②正确.小球抛出3s时达到最高点,速度为 0m/s,故③正确.由抛物线的顶点坐标为(3,40),设抛物 线对应的函数表达式为h=a(t-3)2+40.把(0,0)代入, 得0=a(0-3)2+40,解得a=-409.∴ h=-409 (t- 3)2+40.当h=30时,30=-409 (t-3)2+40,解得t= 4.5或t=1.5.∴ 当小球的高度为30m时,t=1.5或 4.5.故④错误.综上所述,正确的是②③. 4. m>-1 5. (1) 如图所示.(2) 如图,点 M,N 即为所求作. (3) x1≈-2.4,x2≈0.4. 第5题 6. C 解析:由题意作图如图所示.由图,知a>0,故选项 A正确,不合题意.∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点(1, 0)和(0,-3),∴ a+b+c=0,c=-3.∴ a+b=3.故选 项B正确,不合题意.∵ 对称轴在y轴的左侧,点(1,0)关 于y轴的对称点是(-1,0),∴ 抛物线不经过点(-1, 0).故选项C错误,符合题意.由图,知抛物线y=ax2+ bx+c与直线y=-1有两个交点,∴ 关于x的一元二次 方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根.故选项D 正确,不合题意. 第6题 7. (1) ∵ 抛物线经过原点(0,0),∴ 设该二次函数的表 达式 为 h=at2 +bt.将 (1,15),(2,20)代 入,得 a+b=15, 4a+2b=20, 解得 a=-5 , b=20. ∴ 小球的飞行高度h(m)关 于飞行时间t(s)的二次函数的表达式为h=-5t2+ 20t.(2) ∵ 小球飞出和落地时的高度都为0m,∴ 令h= 0,则0=-5t2+20t,解得t1=0,t2=4.∴ 小球从飞出到 落地要用4s.(3) 不能.理由:令h=20.5,则20.5= -5t2+20t.整理,得t2-4t+4.1=0.∵ (-4)2-4× 4.1=-0.4<0,∴ 方程没有实数根.∴ 小球的飞行高度 不能达到20.5m. 第1章预学检测 一、 1. C 2. D 3. C 4. D 5. C 6. C 7. D 8. D 解析:当t=9时,h=136;当t=13时,h=144. ∵ 136≠144,∴ 点火后,9s和13s时的高度不相同.故选 项A错误.当t=24时,h=1,∴ 点火后,24s时火箭的高 度为1m.故选项B错误.当t=10时,h=141,∴ 点火后, 10s时的高度为141m.故选项C错误.∵ h=-t2+ 24t+1=-(t-12)2+145,∴ 当t=12时,h取得最大值 145.∴ 火箭的最大高度为145m.故选项D正确. 9. C 解析:∵ 球与点O 的水平距离为6m时,达到最高 点D,高度为2.6m,∴ y=a(x-6)2+2.6.∵ 抛物线 y=a(x-6)2+2.6经过点(0,2),∴ 2=a·(0-6)2+ 2.6,解得a=-160.∴ y 与x 之间的函数表达式为y= -160 (x-6)2+2.6.当x=9时,y=- 1 60× (9-6)2+ 2.6=2.45>2.43,∴ 球会过球网.当y=0时,- 1 60 (x- 6)2+2.6=0,解得x1=6+2 39,x2=6-2 39(不合 题意,舍去).∵ 6+2 39>18,∴ 球会出界.综上所述, 球会过球网并会出界. 10. B 解析:∵ 抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1 , ∴ b=2a.故①正确.∵ 抛物线经过点(-1,4),∴ a-b+ c=-a+c=4.∴ a=c-4.∵ 抛物线与y轴的交点在点 (0,1),(0,2)之间,∴ 1<c<2.∴ -3<a<-2.故②正 确.∵ 抛物线与x 轴有2个交点,∴ b2-4ac>0,即 4ac-b2<0.故③正确.∵ a=c-4,∴ ax2+bx+a= m-4可整理为ax2+bx+c=m.∵ 抛物线开口向下,顶 点的坐标为(-1,4),∴ 当m<4时,抛物线与直线y=m 有两个不同的交点.故④错误.由图象,可得当x<-1 时,y随x的增大而增大,故⑤错误.综上所述,正确的有 3个. 二、 11. 答 案 不 唯 一,如 y=x2+1 12. 2 3 13. -98 14. y=x2+2x+3 15. y1<y2 16. 50 解析:连结AC,BD 交于点O.∵ E,F,G,H 分 别是边AB,BC,CD,AD 的中点,∴ 根据中位线的性质, 可知2EF=AC,2EH=BD,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥ GF.∵ 四边形EFGH 是矩形,∴ EF⊥EH.∴ AC⊥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 BD.∴ 四边形ABCD 的面积=12BD ·AC.设四边形 ABCD 的面积为S,EH=x,则 BD=2x.∵ 四边形 EFGH 的周长为20,∴ EF=10-x.∴ AC=2(10- x).∴ S=12×2x ·2(10-x)=-2x2+20x=-2(x- 5)2+50.∵ -2<0,0<x<10,∴ 当x=5时,S 取得最 大值50.∴ 四边形ABCD 的面积最大是50. 三、 17. (1) ∵ 抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不 同的交点,∴ 其对应方程2x2-4x+c=0的判别式 (-4)2-4×2c>0.∴ c<2.(2) m<n.理由:∵ 抛物线 y=2x2-4x+c的对称轴为直线x=1,∴ 点A(2,m)和 (3,n)都在对称轴的右侧.∵ 2>0,∴ 当x≥1时,y随x 的增大而增大.又∵ 2<3,∴ m<n. 18. (1) 当40≤x≤60时,设y=kx+b(k≠0).把(40, 300),(60,100)代入,得 300=40k+b, 100=60k+b, 解得 k=-10 , b=700. ∴ y=-10x+700.当60<x≤70时,设y=mx+n(m≠ 0).把(60,100),(70,150)代入,得 100=60m+n, 150=70m+n, 解得 m=5, n=-200. ∴ y=5x-200.综上所述,y 关于x 的函数 表达式为y= -10x+700(40≤x≤60), 5x-200(60<x≤70). (2) 设商家获得 的利润为w 元.当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+ 700)=-10(x-50)2+4000.∵ -10<0,∴ 当x= 50时,w 取到最大值4000.当60<x≤70时,w=(x- 30)(5x-200)-150(x-60)=5(x-50)2+2500.∵ 5> 0,∴ 当60<x≤70时,w 随x 的增大而增大.∴ 当x= 70时,w 取到最大值,此时w=5×(70-50)2+2500= 4500.∵ 4000<4500,∴ 当售价为70元/件时,该商家获 得的利润最大,最大利润是4500元. 19. (1) 把(1,0)代入y=a(x+1)2-4,得a(1+1)2- 4=0,解得a=1.∴ 抛物线L1 对应的函数表达式为y= (x+1)2-4=x2+2x-3.(2) ∵ 抛物线L1:y=(x+ 1)2-4的顶点的坐标为(-1,-4),将抛物线L1 向上平 移m(m>0)个单位后得到抛物线L2,∴ 抛物线L2 的顶 点的坐标为(-1,-4+m).∴ 点(-1,-4+m)关于坐标 原点的对称点的坐标为(1,4-m).把(1,4-m)代入y= (x+1)2-4,得(1+1)2-4=4-m,解得m=4.∴ m 的 值为4.(3) ∵ 把抛物线L1 向右平移n(n>0)个单位后 得到抛物线L3,∴ 抛物线L3 对应的函数表达式为y= (x-n+1)2-4.∵ 点B(1,y1),C(3,y2)都在抛物线 L3上,∴ y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4,y2=(3- n+1)2-4=(4-n)2-4.∵ y1>y2,∴ (2-n)2-4> (4-n)2-4.整理,得(2-n)2-(4-n)2>0,即(2-n+ 4-n)(2-n-4+n)>0.∴ -2×(6-2n)>0,即6- 2n<0,解得n>3.∴ n的取值范围是n>3. 20. (1) 设桥拱所在抛物线对应的函数表达式为y1= a1x2.由题意,易得点F 的坐标为(6,-1.5).将(6, -1.5)代入y1=a1x2,得-1.5=36a1,解得a1= -124.∴ y1=- 1 24x 2.由题意,易得OC=OD=12CD= 12m.当x=12时,y1=-6,∴ 桥拱顶点O 到水面的距 离为6m.(2) ① 由题意,可知右边钢缆所在抛物线的顶 点的坐标为(6,1),∴ 设其对应的二次函数表达式为y2= a2(x-6)2+1.易得点H 的坐标为(0,4).将(0,4)代入, 得4=a2(0-6)2+1,解得a2= 1 12.∴ y2= 1 12 (x-6)2+ 1.根据对称性,可得左边钢缆所在抛物线对应的函数表达 式为y3= 1 12 (x+6)2+1.② 设彩带的长度为Lm.当0≤ x≤12时,L=y2-y1= 1 12 (x-6)2+1- -124x 2 = 1 8 (x-4)2+2.∵ 1 8>0 ,∴ 当x=4时,L最小值=2.当 -12≤x<0时,L=y3-y1= 1 12 (x+6)2+1- -124x 2 =18(x+4)2+2.∵ 1 8>0 ,∴ 当x=-4时, L最小值=2.综上所述,最短的彩带的长度是2m. 第2章　简单事件的概率 2.1 事件的可能性 知识梳理 1. 一定会发生 一定不会发生 可能发生,也可能不发 生 随机事件 2. 画树状图 3. 发生事件的条件 发 生的条件 对事件发生的影响 典例演练 典例1 D 典例2 B 解析:从1~20这20个整数中,任意选取 1个整数,其中是2的倍数的有10个整数,是3的倍数的 有6个整数,∴ 这个整数是2的倍数的可能性和它是 3的倍数的可能性相比,是2的倍数的可能性大. 典例3 画树状图如图所示.由树状图,可知共有8种等 可能的结果.∴ 小张同学从进入到离开共有8种可能的 进出方式. 典例3图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 第1章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列各式中,y是x的二次函数的为 ( ) A. y=4x+2 B. y=ax2+1 C. y=3x2+5-4x D. y= 1 x2 2. 关于二次函数 y=-2x2-2,下列说法正确 的是 ( ) A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线x=1 C. 当x>0时,y随x的增大而增大 D. 当x=0时,y取得最大值-2 3. (山西中考)已知某抛物线对应的函数表达 式为 y=3(x-2)2 +1.若将x 轴向上平移 2个单位,将y轴向左平移3个单位,则该抛 物线在新的平面直角坐标系中对应的函数 表达式为 ( ) A. y=3(x+1) 2+3B. y=3(x-5) 2+3 C. y=3(x-5) 2-1 D. y=3(x+1) 2-1 答案讲解 4. (温州中考)已知点A(a,2),B(b, 2),C(c,7)都在抛物线y=(x- 1)2-2上,点A 在点B 的左侧.下 列选项中,正确的是 ( ) A. 若c<0,则a<c<b B. 若c<0,则a<b<c C. 若c>0,则a<c<b D. 若c>0,则a<b<c 5. (株洲中考)已知二次函数 y=ax2+bx-c (a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可 能为 ( ) A. B. C. D. 6. 利用一段长为8m的旧直墙 MN 与长为 32m的篱笆围成如图所示的矩形花圃,则围 成的矩形花圃的最大面积为 ( ) A. 90m2 B. 96m2 C. 100m2 D. 128m2 第6题 第9题 7. 若二次函数的图象经过点(-3,0)和(0,3), 对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表 达式为 ( ) A. y=-x2+2x+3B. y=x2+2x+3 C. y=-x2+2x-3D. y=-x2-2x+3 8. 已知学校航模组设计制作的火箭的高度 h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h= -t2+24t+1.下列说法中,正确的是( ) A. 点火后,9s和13s时的高度相同 B. 点火后,24s时火箭落于地面 C. 点火后,10s时的高度为139m D. 火箭的最大高度为145m 答案讲解 9. 如图,排球运动员站在点O 处练习 发球,将球从点O 正上方2m的点 A 处发出,把球看成点,其运行的高 度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达 式y=a(x-k)2+h.已知球与点O 的水平 距离为6m时,达到最高点D,高度为2.6m, 球网BC与点O的水平距离为9m,它的高度 为2.43m,球场的边界距点O 的水平距离为 18m,则下列判断中,正确的是 ( ) A. 球不会过网 B. 球会过球网但不会出界 C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 73 第10题 10. (齐齐哈尔中考)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y轴的交点在点(0,1),(0,2) 之间,对称轴为直线x=-1, 函数的最大值为4,结合图象 给出下列结论:① b=2a;② -3<a<-2; ③ 4ac-b2<0;④ 若关于x的一元二次方 程ax2+bx+a=m-4(a≠0)有两个不相 等的实数根,则m>4;⑤ 当x<0时,y 随 x的增大而减小.其中,正确的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 请你设计一个与y 轴交于点(0,1),且当 x<0时,y随x 的增大而减小的抛物线对 应的函数表达式: . 12. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= ax2+3与y轴交于点A,过点A 作与x轴 平行的直线交抛物线y=x2 于点B,C,则 BC 的长为 . 第12题 第16题 13. 若点P(a,b)在抛物线y=-2x2+2x+1 上,则a-b的最小值为 . 14. 如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移,使 它经过点A(0,3),那么所得的新抛物线对 应的函数表达式为 . 答案讲解 15. 已知二次函数y=-(x-2)2+c, 当x=x1时,函数值为y1;当x= x2时,函数值为y2.若|x1-2|> |x2-2|,则y1,y2的大小关系是 (用“<”连接). 16. 如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别 是边AB,BC,CD,AD 的中点.若四边形 EFGH 是矩形,且其周长是20,则四边形 ABCD 的面积最大是 . 三、 解答题(共52分) 17. (10分)已知抛物线y=2x2-4x+c 与 x轴有两个不同的交点. (1) 求c的取值范围; (2) 若抛物线y=2x2-4x+c 经过点 A(2,m)和B(3,n),试比较m 与n 的大 小,并说明理由. 18. (12分)(营口中考)某商家正在销售一种商 品,其成本为30元/件,在销售过程中发 现,随着售价的增加,销售量在减少.当售 价为60元/件时,商家决定改变销售策略, 此时售价每增加1元/件,需支付由此产生 的额外费用为150元.该商品的销售量 y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函 数关系(其中40≤x≤70,且x为整数). (1) 求y关于x的函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 (2) 当售价为多少时,该商家获得的利润最 大? 最大利润是多少? 第18题 19. (14分)(嘉兴中考)抛物线L1:y=a(x+ 1)2-4(a≠0)经过点A(1,0). (1) 求抛物线L1对应的函数表达式. (2) 将抛物线L1向上平移m(m>0)个单 位后得到抛物线L2.若抛物线L2 的顶点 关于坐标原点的对称点在抛物线L1上,求 m 的值. (3) 把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位 后得到抛物线L3.若点B(1,y1),C(3,y2) 都在抛物线L3上,且y1>y2,求n的取值 范围. 答案讲解 20. (16分)(衢州中考)如图①所示为 一座抛物线形拱桥的侧面示意图. 水面宽AB 与桥长CD 均为24m, 在距离点D6m的点E 处,测得桥面到桥 拱的距离EF 为1.5m.以桥拱顶点O 为原 点,桥面为x轴建立平面直角坐标系. (1) 求桥拱顶点O 到水面的距离. (2) 如图②,桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱的顶 端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点 到桥面的距离均为1m. ① 求出钢缆所在抛物线对应的函数表 达式; ② 为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装 饰若干条彩带,求最短的彩带的长度. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级