1.4 二次函数的应用2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

66 1.4　二次函数的应用2 1. 教材例2的解题思路:首先通过 定理建立二次函数模型,然后将问题转化为求二次函数 的最小值. 2. 教材例3的解题关键:通过题意得到每瓶的售价每增加0.5元,日均销售量 ,从而 当每瓶的售价为x元时,其日均销售量为400- = 瓶,进而建立二次 函数模型求解. 典例1 如图所示为两条互相垂直的街道,且 A 地到B,C 两地的距离都是4km.现甲从 B 地走向A 地,乙从A 地走向C 地,两人同时 出发且速度都是4km/h,何时两人之间的直线 距离最近? 最近距离是多少? 典例1图 根据勾股定理可表示两人之间的直线距 离,然后借助二次函数的性质确定最值. 解答: 解有所悟:已知直角三角形的两边长,运用勾股定 理可求得第三边长;确定二次根式的最值时,若被 开方数是二次三项式,可通过配方先确定被开方数 的最值,再确定相应二次根式的最值. 典例2 (淮安中考)端午节前夕,某超市从厂家 分两次购进A,B 两种品牌的粽子,两次进货 时,两种品牌粽子的进价不变.第一次购进 A 品牌粽子100袋和B 品牌粽子150袋,总费 用为7000元;第二次购进A 品牌粽子180袋 和B 品牌粽子120袋,总费用为8100元. (1) 求A,B 两种品牌粽子每袋的进价. (2) 当B 品牌粽子每袋的售价为54元时,每天 可售出20袋.为了促销,该超市决定对B 品牌 粽子进行降价销售.经市场调研,若每袋的售价 每降低1元,则每天的销售量将增加5袋.当 B 品牌粽子每袋的售价降低多少元时,每天售 出B 品牌粽子所获得的利润最大? 最大利润是 多少元? (1) 设A 品牌粽子每袋的进价是x 元, B 品牌粽子每袋的进价是y 元,根据两次进货 情况,可得出关于x,y 的二元一次方程组,解 之即可得出结论.(2) 根据“利润=(每袋的售 价-每袋的进价)×销售量”列函数表达式,配 方成二次函数的顶点式可得函数的最大值. 解答: 解有所悟:利用二次函数求最大利润问题的步骤: (1) 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润= 单件利润×销售量”列出利润与价格之间的函数表 达式.(2) 结合实际意义,确定自变量的取值范围. (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利 用配方法或公式法求出最大利润;也可以画出函数 的大致图象,利用大致图象和性质求出. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 67 [基础过关] 1. 某服装店将进价为每件100元的服装按每 件x(x>100)元的价格出售,每天可销售 (200-x)件.若想要获得最大利润,则x 应 定为 ( ) A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 2. 甲、乙两船航行于海上,甲船的位置在乙船 北方125km处,以15km/h的速度向东行 驶,乙船以20km/h的速度向北行驶,则经 过 h,两船之间的距离最近,最近距 离是 km. 答案讲解 3. 行驶中的汽车刹车后,由于惯性的 作用,还会继续向前滑行一段距离, 这段距离称为刹车距离.某汽车的 刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间的函 数表达式为s=0.01x-0.004x2,则刹车时 该汽车的最大刹车距离为 km. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=8cm,点P 从点A 出发沿边AB 向点 B 以1cm/s的速度移动,点Q 从点B 出发 沿边BC 向点C 以2cm/s的速度移动.如果 点P,Q 分别从点A,B 同时出发,当P,Q 两点移动几秒时,PQ 的长最小? 是多少? 第4题 5. (宁波中考)为了落实劳动教育,某学校邀请 专家指导学生进行小番茄的种植,经过试 验,其平均单株的产量y(千克)与每平方米 种植的株数x(2≤x≤8,且x 为整数)构成 一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单 株的产量为4千克;以同样的栽培条件,每平 方米种植的株数每增加1,平均单株的产量 减少0.5千克. (1) 求y关于x的函数表达式. (2) 当每平方米种植多少株时,能获得最大 的产量? 最大产量为多少千克? 答案讲解 6. (铜仁中考)为实施“乡村振兴”计 划,某村产业合作社种植了“千亩桃 园”.2022年桃子丰收,该村产业合 作社销售前对本地市场进行调查发现:当批 发价为4千元/吨时,每天可售出12吨,每吨 涨1千元,每天的销量将减少2吨.据测算, 平均每吨的投入成本为2千元.为了抢占市 场,薄利多销,该村产业合作社决定,批发价 每吨不低于4千元,不高于5.5千元. (1) 请求出每天的销量y(吨)与批发价 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 68 x(千元/吨)之间的函数表达式,并直接写出 自变量x的取值范围. (2) 当批发价定为多少时,每天获得的利润 最大? 最大利润是多少? [综合提升] 答案讲解 7. 如图,线段AB 的长为2,C 为AB 上一动点,分别以AC,BC 为斜边 在AB 的同侧作等腰直角三角形 ACD,等腰直角三角形BCE,则DE 长的最 小值是 . 第7题 8. (荆州中考)某企业投入60万元(只计入第一 年成本)生产某种产品,按网上订单生产并 销售(生产量等于销售量).经测算,该产 品网上的每年的销售量y(万件)与售价 x(元/件)之间满足函数表达式y=24-x. 第一年除60万元外,其他成本为8元/件. (1) 求该产品第一年的利润w(万元)与售价 x(元/件)之间的函数表达式. (2) 该产品第一年的利润为4万元,第二年 将它全部作为技改资金再次投入(只计入第 二年成本)后,其他成本下降2元/件. ① 求该产品第一年的售价; ② 若第二年的售价不高于第一年,销售量不超 过13万件,则第二年的利润最少是多少万元? 9. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿 同一方向行驶的乙车后,开始减速(甲车始 终不与乙车相遇),减速后甲车行驶的路程 s(m)、速度v(m/s)与时间t(s)之间的关系 分别可以用二次函数和一次函数表示,其图 象如图所示. (1) 当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程 是多少米? (2) 若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车 何时相距最近? 最近距离是多少米? 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 33 去).综上所述,t的值为34 或3. 8. 3 18 解析:由 题 意,易 得△AEH ≌△BFE≌ △CGF≌△DHG.设点 E 的运动时间为ts,四边形 EFGH 的面积为Scm2.∴ AE=tcm,AH =(6- t)cm.∴ S=62-4×12t (6-t)=2(t-3)2+18.∵ 0≤ t≤6,∴ 当t=3时,S取得最小值18,即当运动时间为3s 时,四边形EFGH 的面积最小,最小面积是18cm2. 9. (1) 根据题意,得BC 的长为(a-3x)米.由题意,得 y=x(a-3x)=-3x2+ax.∵ a-3x≤21,∴ x≥ a-21 3 .∵ a-3x>0,∴ x<a3.∴ a-21 3 ≤x< a 3. (2) 当a=30时,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. ∵ 3≤x<10,∴ 当x=5时,y有最大值75.(3) 当a= 48时,y=-3x2+48x=-3(x-8)2+192.∵ a-21 3 ≤ x<a3 ,∴ 9≤x<16.∴ 当x=9时,y有最大值189. 10. (1) AB=38-x-2(x-1)=(40-3x)m.(2) 由题 意,可得x(40-3x)=100.整理,得3x2-40x+100=0, 解得x1=10,x2= 10 3.∵ AB>EF,∴ 40-3x>x,解得 x<10.∵ x-1>0,∴ x>1.∴ 1<x<10.∴ x=103. ∴ 40-3x=40-3×103=30 ,即AB 的长为30m.(3) 不 能.理由:设矩形场地 ABCD 的面积为S m2.当S= 140时,x(40-3x)=140.整理,得3x2-40x+140= 0.∵ b2-4ac=1 600-1 680=-80<0,∴ 所围成的矩形 场地 ABCD 的面积不能为140m2.∵ S=x(40- 3x)=-3x2+40x=-3x-203 2 +4003 ,1<x<10, ∴ 当x=203 时,S 取得最大值4003 ,即当隔断EF 的长为 20 3m 时,所围成的矩形场地ABCD的面积最大,为4003 m 2. 1.4 二次函数的应用2 知识梳理 1. 勾股 2. 减少40瓶 40[(x-12)÷0.5] (1360- 80x) 典例演练 典例1 设两人均出发了th,则此时甲到A 地的距离是 (4-4t)km,乙到A 地的距离是4tkm.设甲、乙两人之间 的 距 离 为 S km,则 S = (4-4t)2+(4t)2 = 32t-12 2 +8.∵ 0≤t≤1,∴ 当t=12 时,S 取得最 小值 8=22.∴ 出发0.5h时,两人之间的直线距离最 近,最近距离是22km. 典例2 (1) 设A品牌粽子每袋的进价是x元,B品牌粽子 每袋的进价是y元.根据题意,得 100x+150y=7000, 180x+120y=8100, 解 得 x=25, y=30. ∴ A 品牌粽子每袋的进价是25元,B 品牌粽 子每袋的进价是30元.(2) 设B 品牌粽子每袋的售价降 低a元时,每天售出B 品牌粽子所获得的利润为w 元.根 据题意,得w=(54-a-30)(20+5a)=-5a2+100a+ 480=-5(a-10)2+980.由题意,易得0<a<24. ∵ -5<0,∴ 当a=10时,w 取得最大值980.∴ 当B 品 牌粽子每袋的售价降低10元时,每天售出B 品牌粽子所 获得的利润最大,最大利润是980元. 预学训练 1. A 2. 4 75 3. 0.00625 4. 设P,Q 两点移动ts.由题意,得PB=(6-t)cm, BQ=2tcm.在 Rt△PBQ 中,由勾股定理,得 PQ2= PB2+BQ2.设PQ2=ycm2.∴ y=(6-t)2+(2t)2= 5t-65 2 +1445 .∵ 0≤t≤6,0≤2t≤8,∴ 0≤t≤4. ∴ 当t=65 时,y 取得最小值 144 5 .∴ 当P,Q 两点移动 6 5s 时,PQ 的长最小,是1255 cm. 5. (1) ∵ 每平方米种植的株数每增加1,平均单株的产量 减少0.5千克,∴ y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5.∴ y 关于x的函数表达式为y=-0.5x+5(2≤x≤8,且x为 整数).(2) 设每平方米小番茄的产量为W 千克.根据题 意,得W=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x- 5)2+12.5.∵ -0.5<0,2≤x≤8,且x 为整数,∴ 当 x=5时,W 取得最大值12.5.∴ 当每平方米种植5株时, 能获得最大的产量,最大产量为12.5千克. 6. (1) 根据题意,得y=12-2(x-4)=-2x+20(4≤ x≤5.5).(2) 设每天获得的利润为w 千元.根据题意,得 w=(-2x+20)(x-2)=-2x2+24x-40=-2(x- 6)2+32.∵ -2<0,∴ 当x<6,w 随x 的增大而增大. ∵ 4≤x≤5.5,∴ 当x=5.5时,w 取得最大值,此时w= -2×(5.5-6)2+32=31.5.∴ 当批发价定为5.5千元/吨 时,每天获得的利润最大,最大利润是31.5千元. 7. 1 解析:设AC=x,则BC=2-x.∵ △ACD 是等腰 直角三角形,∴ AD=CD,∠ACD=45°.∵ 在Rt△ACD 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 中,AD2+CD2=AC2,即2CD2=AC2,∴ CD2=AC 2 2 = x2 2. 同理,可得∠ECB=45°,CE2= (2-x)2 2 .∴ ∠DCE= 180°-∠ACD-∠ECB=90°.∴ 在Rt△CDE 中,由勾股 定理,得DE2=CD2+CE2=x 2 2+ (2-x)2 2 =x 2-2x+ 2=(x-1)2+1.∵ 1>0,0<x<2,∴ 当x=1时, DE2 有最小值,最小值为1.∴ DE 长的最小值是1. 8. (1) 根据题意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x2+ 32x-252.(2) ① ∵ 该产品第一年的利润为4万元, ∴ 4=-x2+32x-252,解得x1=x2=16.∴ 该产品第 一年的售价是16元/件.② ∵ 第二年的售价不高于第一 年,销售量不超过13万件,∴ x≤16, 24-x≤13, 解得11≤x≤ 16.设第二年的利润是w'万元,则w'=(x-8+2)(24- x)-4=-x2+30x-148.∵ 抛物线开口向下,对称轴为 直线x=15,11≤x≤16,∴ 当x=11时,w'取得最小值, 此时w'=61.∴ 第二年的利润最少是61万元. 9. (1) 由题图,可知二次函数的图象经过原点,∴ 设二次 函数的表达式为s=at2+bt.将(1,15.5),(2,30)分别代 入,得 a+b=15.5, 4a+2b=30, 解得 a=-0.5 , b=16. ∴ 二次函数的表达 式为s=-0.5t2+16t.设一次函数的表达式为v=kt+ c.将 (0,16),(8,8)分 别 代 入,得 c=16, 8k+c=8, 解 得 k=-1, c=16. ∴ 一次函数的表达式为v=-t+16.令v=9, 则t=7.当t=7时,s=-0.5t2+16t=-0.5×72+16× 7=87.5.∴ 当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是 87.5m.(2) 设甲车开始减速时,两车的距离为wm,则 w=10t+20-(-0.5t2+16t)=0.5(t-6)2+2.令-t+ 16=0,则t=16.∴ 0≤t≤16.∵ 0.5>0,∴ 当t=6时,w 取得最小值2.∴ 6s时两车相距最近,最近距离是2m. 1.4 二次函数的应用3 知识梳理 横轴 平行于横轴 解 典例演练 典例1 ∵ h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t)+10= -5(t-15)2+1135,∴ 当t=15时,h 有最大值,为 1135.∴ 经过15s,火箭到达它的最高点,最高点的高度 是1135m.令h=1000,则1000=-5(t-15)2+1135, 解得t1=15+33(不合题意,舍去),t2=15-33.∴ 经 过(15-33)s,火箭到达的高度为1000m. 典例2 设y=x2+2x-9,画出二次函数y=x2+2x- 9的图象如图所示.根据图象,知一元二次方程x2+2x- 9=0有两个不相等的实数根,一个根在-5与-4之间, 另一个根在2与3之间.先求在-5与-4之间的近似根, 利用计算器进行探索,列表如下: x … -4.1 -4.2 … y … -0.39 0.24 … 由表,可知这个根介于-4.1与-4.2之间.∵ |-0.39|> |0.24|,∴ 方程x2+2x-9=0的较小根的近似值为 -4.2.同理,可得另一个较大根的近似值为2.2.∴ 方程 x2+2x-9=0的根的近似值为x1≈-4.2,x2≈2.2. 典例2图 典例3 (1) 设该二次函数的表达式为y=a(x+3)(x- 1).把(-1,-4)代入y=a(x+3)(x-1),得-4a=-4, 解得a=1.∴ 该二次函数的表达式为y=(x+3)(x- 1),即y=x2+2x-3.(2) 列表: x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … 描点、连线,画出函数图象如图所示.(3) 由图象,可知 当-4<x<-2时,-3<y<5. 典例3图 预学训练 1. C 2. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈