1.4 二次函数的应用1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

63 1.4　二次函数的应用1 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先应当求出函数表达式和 , 然后通过 ,或利用 求它的最大值或最小值.值得注意的是,由此求得的最大值 或最小值对应的自变量的值必须在自变量的 . 典例1 已知二次函数y=x2-4x+2,当-1≤ x≤3时,下列说法中,正确的是 ( ) A. 有最大值-1,有最小值-2 B. 有最大值0,有最小值-1 C. 有最大值7,有最小值-1 D. 有最大值7,有最小值-2 先运用配方法将函数表达式整理成顶点 式的形式,从而确定抛物线的对称轴和顶点坐 标,再结合给定的x 的取值范围以及二次函数 的性质判断. 解答: 解有所悟:解决确定给定的自变量的取值范围的二 次函数最值问题时,若对称轴在给出的取值范围 内,则要判断顶点是相应函数图象的最高点还是最 低点,再结合给定范围的两端点相对应的函数值的 大小进行判断. 典例2 某小区业主委员会决定把一块长为 40m、宽为30m的矩形空地建成健身广场,设 计方案如图所示,涂色区域为绿化区(四块绿化 区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周 的4个出口的宽度相同,其宽度不小于14m,不 大于26m.设绿化区的较长边为xm,活动区的 面积为ym2. (1) ① 出口的宽度为 m(用含x 的式 子表示); ② 求x的取值范围. (2) 求活动区的最大面积. 典例2图 (1) ① 根据图形可得出口的宽度.② 根 据“出口的宽度不小于14m,不大于26m”列不 等式组,可求得x 的取值范围.(2) 先根据“活 动区的面积=矩形的面积-四块绿化区的面 积”列出函数表达式,再根据二次函数的增减性 可求得函数的最大值. 解答: 解有所悟:解这类与几何图形的面积有关的最值问 题时,首先需要借助几何图形,建立变量之间的二 次函数关系,再结合题意判断自变量的取值范围. 若顶点的横坐标在上述范围内,则函数的最值为顶 点的纵坐标;若顶点的横坐标不在上述范围内,则 需要根据函数的增减性,借助函数图象来寻找最高 (或最低)点,此点的纵坐标才是函数的最值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 [基础过关] 1. 已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示, 关于该函数在所给自变量的取值范围内,下 列说法中,正确的是 ( ) A. 函数有最小值1,有最大值3 B. 函数有最小值-1,有最大值0 C. 函数有最小值-1,有最大值3 D. 函数有最小值-1,无最大值 第1题 第2题 2. 如图,某学校拟建一个矩形花圃,打算一边 利用学校现有的墙(墙足够长),其余三边除 门外用栅栏围成,栅栏的总长度为50m,门 的宽为2m.这个矩形花圃的最大面积是 ( ) A. 169m2 B. 288m2 C. 338m2 D. 312.5m2 3. 函数y=-x2-2x+3(-2≤x≤2)的最大 值是 ,最小值是 . 4. 在治理违建的过程中,某小区拆除了自建 房,改建绿地.如图,自建房的占地是边长为 20m的正方形ABCD,改建后的绿地是矩 形AEFG,其中点E 在AB 上,点G 在AD 的延长线上,且DG=2BE.若设BE 的长为 xm,绿地(矩形AEFG)的面积为ym2,则y 关于x的函数表达式为 , 绿地(矩形AEFG)的最大面积为 m2. 第4题 5. 如图,牧民老张想利用一面旧墙(足够长)及 24m长的旧木料建造3间羊舍(旧木料全部 用完),3间羊舍的平面图是一排大小相等的 矩形. (1) 设羊舍的一边AB 的长为xm,羊舍的 总面积为Sm2,求S 与x 之间的函数表达 式,并直接写出自变量的取值范围. (2) 当AB 的长为多少米时,羊舍的总面积 最大? 最大总面积为多少? 第5题 答案讲解 6. 有一扇窗户的形状如图所示,上部 是由两个正方形组成的矩形,下部 是一个矩形,制作窗框的材料总长 为6m(窗框面积忽略不计). (1) 若AB 的长为1m,求此时窗户的透光 面积. (2) 如何设计这扇窗户,才能使窗户的透光 面积最大? 请通过计算说明. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 65 [综合提升] 7. 已知二次函数y=x2-3x+3,当t≤x≤t+ 1时,有最小值t,则t的值是 ( ) A. 1 B. 3 C. 3 4 或1 D. 3 4 或3 第8题 8. 如图,在边长为6cm的正方 形ABCD 中,点E,F,G,H 分别从点A,B,C,D 同时出 发,均以1cm/s的速度向点 B,C,D,A 匀速运动,当点 E 到达点B 时,四个点同时停止运动.在 运动过程中,当运动时间为 s时, 四边形EFGH 的面积最小,最小面积是 cm2. 9. 为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸 堤为一边,用总长为a米(a为大于21的常 数)的围网在水库中围成了如图所示的两块 矩形区域①②.已知岸堤的可用长度不超过 21米.设AB 的长为x米,矩形ABCD 的面 积为y平方米. (1) 求y与x之间的函数表达式,并直接写 出自变量x的取值范围(用含a的式子表示); (2) 若a=30,求y的最大值,并求出此时x 的值; (3) 若a=48,求y的最大值. 第9题 答案讲解 10. 如图,利用一面墙(墙的长度足 够),用篱笆围成一个矩形场地 ABCD,在边AD,BC 上各有一个 长为1m的缺口,在场地中有用篱笆做的 隔断EF,且EF⊥AB,AB>EF.已知所用 篱笆的总长度为38m,设隔断EF 的长为 xm. (1) 请用含x的代数式表示AB 的长. (2) 若所围成的矩形场地ABCD 的面积为 100m2,求AB 的长. (3) 所围成的矩形场地ABCD 的面积能否 为140m2? 若能,求AB 的长;若不能,说 明理由.写出所围成的矩形场地ABCD 的 最大面积. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 32 ∴ 该抛物线对应的函数表达式为y=- 3 16x 2+32x. (2) ∵ y=- 3 16x 2+32x=- 3 16 (x-4)2+3,∴ 当x= 4时,y 有最大值3.∴ 蔬菜大棚离地面的最大高度是 3m.(3) 由题意,得当y= 3 2 时,DE 长取得最大值, ∴ 3 2=- 3 16x 2+32x ,解得x1=4+2 2,x2=4- 22.∴ x1-x2=4+22-(4-22)=42,即横梁DE 最宽为42m. 13. (1) 将x=0代入y=ax2-bx+3,得y=3,∴ B(0, 3).∵ 二次函数y=ax2-bx+3(a≠0)的图象过点A(2, 3),∴ 4a-2b+3=3,即b=2a.∴ x=--b2a= b 2a= 2a 2a=1 ,即二次函数图象的对称轴为直线x=1.(2) ∵ 二 次函数图象的对称轴为直线x=1,且最高点的纵坐标为 4,∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(1,4).设二次函数的表 达式为y=a(x-1)2+4.将B(0,3)代入,得a(0-1)2+4= 3,解得a=-1.∴ y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,即 二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(3) 分两种情况 讨论:① 当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧,y 随x的增大而减小.∵ 点(m,y1),(n,y2)在函数图象上, 且0<m<n<1,∴ y1>y2.② 当a<0时,抛物线开口向 下,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大.∵ 点(m, y1),(n,y2)在函数图象上,且0<m<n<1,∴ y1< y2.综上所述,当a>0时,y1>y2;当a<0时,y1<y2. 1.4 二次函数的应用1 知识梳理 自变量的取值范围 配方变形 公式 取值范围内 典例演练 典例1 D 解析:∵ y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴ 其 图象的顶点坐标为(2,-2),当x>2时,y随x 的增大而 增大.∵ x<2时,y 随x 的增大而减小.∵ -1≤x≤3, ∴ 当x=2时,函数有最小值-2.∵ 当x=-1时,y= 9-2=7;当x=3时,y=1-2=-1,且7>-1,∴ 当 x=-1时,函数有最大值7. 典例2 (1) ① (40-2x).② ∵ 出口的宽度不小于 14m,不大于26m,∴ 14≤40-2x≤26,解得7≤x≤ 13.∴ x的取值范围是7≤x≤13.(2) 根据题意,得y= 40×30-4x×30- (40-2x) 2 =1200-4x (x-5)= -4x2+20x+1200=-4x-52 2 +1225.∵ a=-4< 0,∴ 抛物线的开口向下.∵ 对称轴为直线x=52 ,∴ 当 7≤x≤13时,y随x 的增大而减小.∴ 当x=7时,y 有 最大 值,此 时 y=1144.∴ 活 动 区 的 最 大 面 积 为 1144m2. 预学训练 1. C 2. C 3. 4 -5 4. y=-2x2+20x+400(0< x<20) 450 5. (1) ∵ AB=xm,∴ BC=(24-4x)m.∴ S=x(24- 4x)= -4x2+24x.∵ x>0, 24-4x>0, ∴ 0<x<6. ∴ S=-4x2+24x(0<x<6).(2) S=-4x2+24x= -4(x-3)2+36.∵ a=-4<0,0<x<6,∴ 当x=3时, S取得最大值36,即当AB 的长为3m时,羊舍的总面积 最大,最大总面积为36m2. 6. (1) 由题意,得AD= 6-1×3-12 ÷2=54(m),此 时窗户的透光面积为1×54= 5 4 (m2).(2) 设AB=xm, 则AD= 3-74x m.∵ x>0,3-74x>0 ,∴ 0<x< 12 7. 设窗户的透光面积为Sm2.∴ S=x3-74x = -74x 2+3x=-74 x- 6 7 2 +97.∵ 0<x<127 ,∴ 当 x=67 时,S最大=97 ,此时3-74x= 3 2.∴ 令AB= 6 7m ,AD=32m ,上部的两个正方形的边长为3 7 m ,此 时能使窗户的透光面积最大. 7. D 解析:配方,得y= x-32 2 +34. 分情况讨论: ① 若对称轴在t≤x≤t+1对应图象的右侧,则t+1< 3 2 ,即t<12. 当t≤x≤t+1时,y 随x 的增大而减小, ∴ 当x=t+1时,函数取得最小值,即t=(t+1)2- 3(t+1)+3,解得t1=t2=1(不合题意,舍去).② 若对称 轴在t≤x≤t+1对应图象内,则t≤32≤t+1 ,解得1 2≤ t≤32. 当x=32 时,函数取得最小值,即t=34.③ 若对 称轴在t≤x≤t+1对应图象的左侧,则t>32. 当t≤x≤ t+1时,y随x的增大而增大.∴ 当x=t时,函数取得最 小值,即t=t2-3t+3,解得t1=3,t2=1(不合题意,舍 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 去).综上所述,t的值为34 或3. 8. 3 18 解析:由 题 意,易 得△AEH ≌△BFE≌ △CGF≌△DHG.设点 E 的运动时间为ts,四边形 EFGH 的面积为Scm2.∴ AE=tcm,AH =(6- t)cm.∴ S=62-4×12t (6-t)=2(t-3)2+18.∵ 0≤ t≤6,∴ 当t=3时,S取得最小值18,即当运动时间为3s 时,四边形EFGH 的面积最小,最小面积是18cm2. 9. (1) 根据题意,得BC 的长为(a-3x)米.由题意,得 y=x(a-3x)=-3x2+ax.∵ a-3x≤21,∴ x≥ a-21 3 .∵ a-3x>0,∴ x<a3.∴ a-21 3 ≤x< a 3. (2) 当a=30时,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. ∵ 3≤x<10,∴ 当x=5时,y有最大值75.(3) 当a= 48时,y=-3x2+48x=-3(x-8)2+192.∵ a-21 3 ≤ x<a3 ,∴ 9≤x<16.∴ 当x=9时,y有最大值189. 10. (1) AB=38-x-2(x-1)=(40-3x)m.(2) 由题 意,可得x(40-3x)=100.整理,得3x2-40x+100=0, 解得x1=10,x2= 10 3.∵ AB>EF,∴ 40-3x>x,解得 x<10.∵ x-1>0,∴ x>1.∴ 1<x<10.∴ x=103. ∴ 40-3x=40-3×103=30 ,即AB 的长为30m.(3) 不 能.理由:设矩形场地 ABCD 的面积为S m2.当S= 140时,x(40-3x)=140.整理,得3x2-40x+140= 0.∵ b2-4ac=1 600-1 680=-80<0,∴ 所围成的矩形 场地 ABCD 的面积不能为140m2.∵ S=x(40- 3x)=-3x2+40x=-3x-203 2 +4003 ,1<x<10, ∴ 当x=203 时,S 取得最大值4003 ,即当隔断EF 的长为 20 3m 时,所围成的矩形场地ABCD的面积最大,为4003 m 2. 1.4 二次函数的应用2 知识梳理 1. 勾股 2. 减少40瓶 40[(x-12)÷0.5] (1360- 80x) 典例演练 典例1 设两人均出发了th,则此时甲到A 地的距离是 (4-4t)km,乙到A 地的距离是4tkm.设甲、乙两人之间 的 距 离 为 S km,则 S = (4-4t)2+(4t)2 = 32t-12 2 +8.∵ 0≤t≤1,∴ 当t=12 时,S 取得最 小值 8=22.∴ 出发0.5h时,两人之间的直线距离最 近,最近距离是22km. 典例2 (1) 设A品牌粽子每袋的进价是x元,B品牌粽子 每袋的进价是y元.根据题意,得 100x+150y=7000, 180x+120y=8100, 解 得 x=25, y=30. ∴ A 品牌粽子每袋的进价是25元,B 品牌粽 子每袋的进价是30元.(2) 设B 品牌粽子每袋的售价降 低a元时,每天售出B 品牌粽子所获得的利润为w 元.根 据题意,得w=(54-a-30)(20+5a)=-5a2+100a+ 480=-5(a-10)2+980.由题意,易得0<a<24. ∵ -5<0,∴ 当a=10时,w 取得最大值980.∴ 当B 品 牌粽子每袋的售价降低10元时,每天售出B 品牌粽子所 获得的利润最大,最大利润是980元. 预学训练 1. A 2. 4 75 3. 0.00625 4. 设P,Q 两点移动ts.由题意,得PB=(6-t)cm, BQ=2tcm.在 Rt△PBQ 中,由勾股定理,得 PQ2= PB2+BQ2.设PQ2=ycm2.∴ y=(6-t)2+(2t)2= 5t-65 2 +1445 .∵ 0≤t≤6,0≤2t≤8,∴ 0≤t≤4. ∴ 当t=65 时,y 取得最小值 144 5 .∴ 当P,Q 两点移动 6 5s 时,PQ 的长最小,是1255 cm. 5. (1) ∵ 每平方米种植的株数每增加1,平均单株的产量 减少0.5千克,∴ y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5.∴ y 关于x的函数表达式为y=-0.5x+5(2≤x≤8,且x为 整数).(2) 设每平方米小番茄的产量为W 千克.根据题 意,得W=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x- 5)2+12.5.∵ -0.5<0,2≤x≤8,且x 为整数,∴ 当 x=5时,W 取得最大值12.5.∴ 当每平方米种植5株时, 能获得最大的产量,最大产量为12.5千克. 6. (1) 根据题意,得y=12-2(x-4)=-2x+20(4≤ x≤5.5).(2) 设每天获得的利润为w 千元.根据题意,得 w=(-2x+20)(x-2)=-2x2+24x-40=-2(x- 6)2+32.∵ -2<0,∴ 当x<6,w 随x 的增大而增大. ∵ 4≤x≤5.5,∴ 当x=5.5时,w 取得最大值,此时w= -2×(5.5-6)2+32=31.5.∴ 当批发价定为5.5千元/吨 时,每天获得的利润最大,最大利润是31.5千元. 7. 1 解析:设AC=x,则BC=2-x.∵ △ACD 是等腰 直角三角形,∴ AD=CD,∠ACD=45°.∵ 在Rt△ACD 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈