1.3 二次函数的性质-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

60 1.3　二次函数的性质 一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有以下性质: (1) 若a>0,则当x≤-b2a 时,y 随x 的增大而 ;当x≥- b 2a 时,y 随x 的增大而 ;当x=-b2a 时,y达到最 值: ;无最大值. (2) 若a<0,则当x≤-b2a 时,y 随x 的增大而 ;当x≥- b 2a 时,y 随x 的增大而 ;当x=-b2a 时,y达到最 值: ;无最 值. 典例1 已知二次函数y= 1 2x 2-x-4. (1) 求函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象 与坐标轴的交点的坐标,并画出该函数的图象. (2) 当x取何值时,y随x的增大而增大? 当x 取何值时,y 随x 的增大而减小? 并求出函数 的最大值或最小值. (1) 通过配方或利用公式求得顶点坐标. 由于图象与x 轴的交点的纵坐标为0,与y 轴 的交点的横坐标为0,分别令y=0,x=0列方 程求解即可.画图象可以通过描点、连线画出. (2) 根据图象,确定增减性;最值即是顶点坐标 的纵坐标,a>0,开口向上,有最小值. 解答: 解有所悟:图象从左到右向上延伸,说明y 随x 的 增大而增大;反之,y随x 的增大而减小.可简记为 “抛物线开口向上,函数左减右增;抛物线开口向 下,函数左增右减”. 典例2 若A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛 物线y=-x2-2x+m-1上的三点,则y1, y2,y3的大小关系为 ( ) A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3 由于二次函数的表达式及各点的横坐标 已知,可求得各点的纵坐标后进行比较;也可利 用二次函数的图象,明确各点与对称轴的位置, 利用二次函数的性质求解. 解答: 解有所悟:在同一抛物线上,函数值的大小比较主 要有以下三种方法:(1) 代入x 的值,直接比较y 的值的大小.(2) 利用二次函数的增减性,若比较大 小的函数值对应的点在抛物线的对称轴的同侧,则 直接利用二次函数的增减性进行比较;若比较大小 的函数值对应的点在抛物线的对称轴的两侧,则先 对其中某些点关于抛物线的对称轴进行轴对称变 换,将其转化为在对称轴的同侧的点,再利用增减 性进行比较.(3) 数形结合,先大致画出抛物线,然 后结合图象根据点到对称轴的距离远近进行比较. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 61 典例3 已知二次函数y=x2 +(m-1)x+1,当 x>1时,y随x 的增大而增大,则m 的取值范 围是 ( ) A. m=-1 B. m=3 C. m≤-1 D. m≥-1 由于二次函数的表达式已知,可直接找到 其图象的对称轴,再结合二次函数的性质求m 的取值范围. 解答: 解有所悟:根据二次函数的增减性求字母的取值范 围的步骤如下:(1) 根据二次函数的顶点式,确定其 图象的开口方向和对称轴.(2) 明确抛物线在对称 轴两侧的增减情况.(3) 借助图象或性质确定字母 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列函数中,y随x的增大而减小的是( ) A. y=x+1 B. y=2x2+1(x>0) C. y=-x2+1(x<0) D. y=-x2+1(x>0) 2. 二次函数y=2x2+8x-1的最小值是( ) A. 7 B. -7 C. 9 D. -9 答案讲解 3. 已知点A(3,y1),B(4,y2),C(-3, y3)均在抛物线y=2x2-4x+m 上,则下列说法中,正确的是( ) A. y3<y2<y1 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y1<y2<y3 4. 已知二次函数y=a(x+h)2+3,当x>2 时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x 的增大而增大,则a 0(填“>”或 “<”),h的值为 . 5. 对于二次函数y=-x2+4x-3,其图象与 x轴的交点的坐标是 ,当x= 时,函数y的最大值是 . 6. 已知二次函数y=x2-8x+c的最小值为 0,则c= . 7. 若二次函数y=(x+5)(x-a)的图象的对 称轴为直线x=-2,则a= ,该函 数存在最 值,为 ;若点 (x1,y1),(x2,y2)在此函数的图象上,且 x1<x2<-2,则y1 与y2 之间的大小关系 是 . 8. 已知抛物线y=-2x2+4x+6. (1) 用配方法求出它的对称轴和顶点坐标. (2) 求出它与y轴的交点的坐标和与x轴的 交点的坐标. (3) 当自变量x 在什么范围内时,y随x 的 增大而增大? 何时y随x的增大而减小? (4) 当x 为何值时,y 有最大值或最小值? 求出最大值或最小值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 9. 已知抛物线y=ax2-2x+3经过点A(2,3). (1) 求a的值和顶点坐标; (2) 若点B(m,n)在该抛物线上,且-2≤ m≤2,求n的取值范围. [综合提升] 答案讲解 10. 已知二次函数y=ax2+(a+ 2)x-1(a为常数,且a≠0),下列 说法正确的是 ( ) A. 若a>0,则当x<-1时,y随x的增大 而增大 B. 若a>0,则当x<-1时,y随x的增大 而减小 C. 若a<0,则当x<-1时,y随x的增大 而增大 D. 若a<0,则当x<-1时,y随x的增大 而减小 11. 抛物线y=x2-2x-1上有点P(-1,y1) 和Q(m,y2).若y1>y2,则实数m 的取值 范围是 . 12. 有一个抛物线形蔬菜大棚,将其截面放在 如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对 应的函数表达式可以用y=ax2+bx 来表 示.已知大棚在地面上的宽度OA 为8m, 距离点O 2m处的棚高BC 为94m. (1) 求该抛物线对应的函数表达式; (2) 求蔬菜大棚离地面的最大高度; (3) 若借助横梁DE 建一个门,要求门的高 度不低于3 2m ,则横梁DE 最宽为多少米? 第12题 答案讲解 13. 已知二次函数y=ax2-bx+3 (a≠0)的图象过点A(2,3),交 y轴于点B. (1) 求点B 的坐标及二次函数图象的对 称轴; (2) 若二次函数图象的最高点的纵坐标为 4,求二次函数的表达式; (3) 已知点(m,y1),(n,y2)在二次函数的图 象上,且0<m<n<1,试比较y1 和y2 的 大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 31 1.3 二次函数的性质 知识梳理 (1) 减小 增大 小 y= 4ac-b2 4a (2) 增大 减小 大 y= 4ac-b2 4a 小 典例演练 典例1 (1) ∵ a=12 ,b=-1,c=-4,∴ -b2a=1 , 4ac-b2 4a =- 9 2.∴ 该二次函数图象的顶点坐标为 1, -92 ,对称轴为直线x=1.令y=0,则12x2-x-4=0, 整理,得x2-2x-8=0,解得x1=-2,x2=4.∴ 二次函 数的图象与x轴的交点的坐标是(-2,0),(4,0).令x= 0,则y=-4,∴ 二次函数的图象与y轴的交点的坐标是 (0,-4).画出二次函数y= 1 2x 2-x-4的图象如图所 示.(2) 由图象,可知当x≥1时,y随x的增大而增大.当 x≤1时,y随x的增大而减小.当x=1时,函数y有最小 值-92. 典例1图 典例2 A 典例3 D 解析:由题意,得抛物线y=x2+(m-1)x+ 1的开口向上,对称轴为直线x=-m-12 ,在抛物线对称 轴的右侧,y 随x 的增大而增大.∴ 直线x=1与直线 x=-m-12 重合或在它的右边.∴ -m-12 ≤1 ,解得 m≥-1. 预学训练 1. D 2. D 3. D 4. < -2 5. (1,0),(3,0) 2 1 6. 16 7. 1 小 -9 y1>y2 8. (1) ∵ y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8,∴ 抛物 线y=-2x2+4x+6的对称轴是直线x=1,顶点坐标是 (1,8).(2) 令x=0,得y=6,∴ 抛物线与y轴的交点的 坐标为(0,6).令y=0,得0=-2x2+4x+6,解得x1=3, x2=-1.∴ 抛物线与x轴的交点的坐标为(3,0),(-1, 0).(3) 当x≤1时,y随x 的增大而增大;当x≥1时,y 随x 的增大而减小.(4) ∵ -2<0,∴ 抛物线开口向 下.∴ y有最大值,当x=1时,y有最大值8. 9. (1) ∵ 抛物线y=ax2-2x+3经过点A(2,3),∴ 3= a×22-2×2+3,解得a=1.∴ y=x2-2x+3=(x- 1)2+2.∴ 抛物线的顶点坐标为(1,2).(2) ∵ 抛物线 y=x2-2x+3的对称轴为直线x=1,且开口向上,∴ 当 x≤1时,y随x的增大而减小;当x≥1时,y随x的增大 而增大.∵ -2≤m≤2,∴ 当m=1时,n有最小值2;当 m=-2时,n有最大值11.∴ 2≤n≤11. 10. C 解析:∵ 抛物线y=ax2+(a+2)x-1的对称轴 为直线x=-a+22a =- 1 2- 1 a ,若a<0,则-1a >0 , ∴ -12- 1 a>- 1 2. 又∵ a<0,∴ 抛物线开口向下. ∴ 当x<-12- 1 a 时,y 随x 的增大而增大.又∵ 当 x<-1时,一定有x<-12- 1 a ,∴ 若a<0,则当x< -1时,y随x的增大而增大.若a>0,则- 1 a<0 ,抛物 线开口向上.∴ -12- 1 a <- 1 2. 分两种情况讨论: ① 若-12- 1 a<-1 ,则0<a<2.当x<-12- 1 a 时,y 随x的增大而减小;当-12- 1 a<x<-1 时,y 随x 的 增大而增大.② 若-1<-12- 1 a<- 1 2 ,则a>2.当 x<-1时,y随x 的增大而减小.综上所述,若a>0,则 当x<-1时,二次函数的增减性不一致.∴ 选项C符合 题意. 11. -1<m<3 解析:∵ a=1>0,∴ 抛物线开口向 上.∵ 抛物线的对称轴为直线x=- -22×1=1 ,∴ 当y1> y2时,分两种情况讨论:① 若点Q(m,y2)在对称轴的右 侧及对称轴上,则1≤m<3.② 若点Q(m,y2)在对称轴 的左侧,则-1<m<1.综上所述,m 的取值范围是-1< m<3. 12. (1) 由 题 意,得 抛 物 线 y=ax2 +bx 经 过 点 C 2,94 ,A(8,0).∴ 4a+2b=94 , 64a+8b=0, 解得 a=-316 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ 该抛物线对应的函数表达式为y=- 3 16x 2+32x. (2) ∵ y=- 3 16x 2+32x=- 3 16 (x-4)2+3,∴ 当x= 4时,y 有最大值3.∴ 蔬菜大棚离地面的最大高度是 3m.(3) 由题意,得当y= 3 2 时,DE 长取得最大值, ∴ 3 2=- 3 16x 2+32x ,解得x1=4+2 2,x2=4- 22.∴ x1-x2=4+22-(4-22)=42,即横梁DE 最宽为42m. 13. (1) 将x=0代入y=ax2-bx+3,得y=3,∴ B(0, 3).∵ 二次函数y=ax2-bx+3(a≠0)的图象过点A(2, 3),∴ 4a-2b+3=3,即b=2a.∴ x=--b2a= b 2a= 2a 2a=1 ,即二次函数图象的对称轴为直线x=1.(2) ∵ 二 次函数图象的对称轴为直线x=1,且最高点的纵坐标为 4,∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(1,4).设二次函数的表 达式为y=a(x-1)2+4.将B(0,3)代入,得a(0-1)2+4= 3,解得a=-1.∴ y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,即 二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(3) 分两种情况 讨论:① 当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧,y 随x的增大而减小.∵ 点(m,y1),(n,y2)在函数图象上, 且0<m<n<1,∴ y1>y2.② 当a<0时,抛物线开口向 下,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大.∵ 点(m, y1),(n,y2)在函数图象上,且0<m<n<1,∴ y1< y2.综上所述,当a>0时,y1>y2;当a<0时,y1<y2. 1.4 二次函数的应用1 知识梳理 自变量的取值范围 配方变形 公式 取值范围内 典例演练 典例1 D 解析:∵ y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴ 其 图象的顶点坐标为(2,-2),当x>2时,y随x 的增大而 增大.∵ x<2时,y 随x 的增大而减小.∵ -1≤x≤3, ∴ 当x=2时,函数有最小值-2.∵ 当x=-1时,y= 9-2=7;当x=3时,y=1-2=-1,且7>-1,∴ 当 x=-1时,函数有最大值7. 典例2 (1) ① (40-2x).② ∵ 出口的宽度不小于 14m,不大于26m,∴ 14≤40-2x≤26,解得7≤x≤ 13.∴ x的取值范围是7≤x≤13.(2) 根据题意,得y= 40×30-4x×30- (40-2x) 2 =1200-4x (x-5)= -4x2+20x+1200=-4x-52 2 +1225.∵ a=-4< 0,∴ 抛物线的开口向下.∵ 对称轴为直线x=52 ,∴ 当 7≤x≤13时,y随x 的增大而减小.∴ 当x=7时,y 有 最大 值,此 时 y=1144.∴ 活 动 区 的 最 大 面 积 为 1144m2. 预学训练 1. C 2. C 3. 4 -5 4. y=-2x2+20x+400(0< x<20) 450 5. (1) ∵ AB=xm,∴ BC=(24-4x)m.∴ S=x(24- 4x)= -4x2+24x.∵ x>0, 24-4x>0, ∴ 0<x<6. ∴ S=-4x2+24x(0<x<6).(2) S=-4x2+24x= -4(x-3)2+36.∵ a=-4<0,0<x<6,∴ 当x=3时, S取得最大值36,即当AB 的长为3m时,羊舍的总面积 最大,最大总面积为36m2. 6. (1) 由题意,得AD= 6-1×3-12 ÷2=54(m),此 时窗户的透光面积为1×54= 5 4 (m2).(2) 设AB=xm, 则AD= 3-74x m.∵ x>0,3-74x>0 ,∴ 0<x< 12 7. 设窗户的透光面积为Sm2.∴ S=x3-74x = -74x 2+3x=-74 x- 6 7 2 +97.∵ 0<x<127 ,∴ 当 x=67 时,S最大=97 ,此时3-74x= 3 2.∴ 令AB= 6 7m ,AD=32m ,上部的两个正方形的边长为3 7 m ,此 时能使窗户的透光面积最大. 7. D 解析:配方,得y= x-32 2 +34. 分情况讨论: ① 若对称轴在t≤x≤t+1对应图象的右侧,则t+1< 3 2 ,即t<12. 当t≤x≤t+1时,y 随x 的增大而减小, ∴ 当x=t+1时,函数取得最小值,即t=(t+1)2- 3(t+1)+3,解得t1=t2=1(不合题意,舍去).② 若对称 轴在t≤x≤t+1对应图象内,则t≤32≤t+1 ,解得1 2≤ t≤32. 当x=32 时,函数取得最小值,即t=34.③ 若对 称轴在t≤x≤t+1对应图象的左侧,则t>32. 当t≤x≤ t+1时,y随x的增大而增大.∴ 当x=t时,函数取得最 小值,即t=t2-3t+3,解得t1=3,t2=1(不合题意,舍 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈