专题2.2 立方根（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题2.2 立方根（六大题型） 【题型1立方根概念理解】.....................................................................................................1 【题型2求一个数的立方根】..................................................................................................2 【题型3已知一个数的立方根，求这个数】............................................................................2 【题型4立方根的实际应用】..................................................................................................2 【题型5算术平方根和立方根的综合应用】..........................................................................4 【题型6：与立方根有关的规律探索】..................................................................................4 【题型1立方根概念理解】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 2．2是8的（   ） A．平方根 B．立方根 C．算术平方根 D．立方数 3．立方根等于本身的非负数是 ． 4． ． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【题型2求一个数的立方根】 1．的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．方程的根是 ． 4．方程的根是 ． 5．方程的根是 ． 6．当时， ． 7．依据图中呈现的运算关系，请写出图中 ． 8．已知，则x的值为 ． 【题型3已知一个数的立方根，求这个数】 1．若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 2．已知，则，则 ． 3．若，则 ． 4．已知的立方根是，则 ． 【题型4立方根的实际应用】 1．已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（    ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 2．体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 3．一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 5．如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 6．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 7．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 8．将一个体积为的正方体铝块铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体的表面积． 【题型5算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 2．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 3．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【题型6：与立方根有关的规律探索】 1．已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 2．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 3．已知，，依据立方根运算规律得： ． 4．观察规律，，，则 ． 5．已知，，则 ． 6．已知，则 ． 1．已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方． 2．观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 立方根（六大题型） 【题型1立方根概念理解】.....................................................................................................1 【题型2求一个数的立方根】..................................................................................................3 【题型3已知一个数的立方根，求这个数】............................................................................5 【题型4立方根的实际应用】..................................................................................................7 【题型5算术平方根和立方根的综合应用】..........................................................................10 【题型6：与立方根有关的规律探索】.................................................................................12 【题型1立方根概念理解】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 【答案】C 【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可． 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误； B、的立方根是，故此选项错误； C、是2的立方根，故此选项正确； D、的立方根是，故此选项错误； 故选：C． 2．2是8的（   ） A．平方根 B．立方根 C．算术平方根 D．立方数 【答案】B 【分析】根据立方根的定义（若x的立方根等于a，则x是a的立方根）解决此题． 【详解】解：∵23=8， ∴2是8的立方根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 3．立方根等于本身的非负数是 ． 【答案】0和1 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1， 故答案为：0和1 4． ． 【答案】 【分析】根据立方与开立方为互逆运算即可解答． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方与立方根，解题的关键是熟知立方与开立方为互逆运算． 5．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）根据即可求解； （3）利用立方根的定义即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2） （3）因为 ， 所以 . 【题型2求一个数的立方根】 1．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先移项，再把未知数的系数化为1，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 4．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．当时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键； 利用立方根解方程即可． 【详解】解： ； 故答案为：3． 7．依据图中呈现的运算关系，请写出图中 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据题意可得，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．已知，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用立方根解方程，根据，先方程两边同时乘，再开立方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 【题型3已知一个数的立方根，求这个数】 1．若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据4的平方根是，的立方根是，得到，解得即可． 【详解】解：4的平方根是x，的立方根是y，且4的平方根是，的立方根是， 则， 故或， 故答案为：7或． 2．已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】直接根据立方根的概念即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，熟练掌握立方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，是解题的关键． 4．已知的立方根是，则 ． 【答案】2 【分析】由的立方根是，得，解这个方程即可求解． 【详解】解：∵的立方根是， ∴ 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握已知一个数的立方根求这个数的解法是解题的关键． 【题型4立方根的实际应用】 1．已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（    ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】C 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得：， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 2．体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．立方体的体积公式计算即可． 【详解】解：体积为8的立方体的棱长是8的立方根， 故选：D． 3．一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可． 【详解】解：设原正方体的边长为，则体积为， ∴将体积扩大为原来的倍，为， ∴扩大后的正方体的边长为， ∴它的棱长为原来的倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键． 4．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 5．如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 6．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 7．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算中的开立方的应用，要求牢记并掌握：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根(或三次方根) ．设立方体铁块的棱长为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】解:设立方体铁块的棱长为， 立方体铁块的体积等于长方体铁块的体积， ， 解得： ， 答：立方体铁块的棱长为． 8．将一个体积为的正方体铝块铸成8个同样大小的立方体小铝块，求每个小立方体的表面积． 【答案】每个小立方体的表面积为 【分析】本题主要考查立方根，直接利用立方体的体积求法求出小立方体铝块的棱长，再求出每个小立方体的表面积即可． 【详解】解：设每个小立方体铝块的棱长为，根据题意得， ， 则， 所以，， 所以，每个小立方体的表面积为， 答：每个小立方体的表面积为． 【题型5算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 2．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 【答案】(1)的平方根为； (2)6 【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根． （1）先根据的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可； （2）根据（1）的结果求出的值，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 所以，解得， 因为， 所以的平方根为； （2）解：所以， 因为，所以36的平方根是， 所以的算术平方根是6． 故答案为：6． 3．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到 ，解得 ，求出的值，根据算术平方根的意义求出答案即可. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴ ， 解得 ， ∴， ∵， ∴的算术平方根为3 【题型6：与立方根有关的规律探索】 1．已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【答案】B 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动 3 位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动 1 位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， 故选：B． 2．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2） ， ， 故答案为：6.69． 3．已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解；∵， ∴， 故答案为；． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据被开方数扩大倍，立方根扩大倍；被开方数缩小倍，立方根缩小倍解答即可，掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 1．已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）算出，在进行求解即可； 【详解】（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵2b+4的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴a+2b的算术平方为； 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 2．观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$