专题24.9 综合分析法解相似三角形（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.9 综合分析法解相似三角形 教学目标 1. 会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2. 知道中间比代换的重要性； 3. 综合分析法解相似三角形。 教学重难点 1.重点 （1）利用比例线段的性质、几何图形的性质构造合适的比例关系，即我们所需适当的相似关系； （2）得到适当的相似关系又推出我们所需的长度关系或角度关系等，并以此类推； （3）在我们选择的某一种思路中，往往需要寻求某一个关键突破点，以此推断这个思路的（是否）可行性。 2.难点 （1）综合分析法是是解决几何问题常用的经典方法，与固有的模型思维是有区别的； （2）练习—思考—总结—......（大量） 知识点1 综合分析法 1.分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 2.综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 3.综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 【即学即练】 1．如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键. 2．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． 【详解】解：证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD． ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB． ∴BC=CE． ∵BE∥CD， ∴， 又∵BC=CE， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质． 3．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 4．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 5．已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． (1)求证：； (2)取的中点，联结，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，转化为比例式为，再由可得结论； （2）由点是线段的中点，可得，再由可得，即，可证明，最后由相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）证明：如图， 点是线段的中点， ， ， ， ， 题型01 比例线段在相似三角形的简单应用 【典例1】．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：先根据相似三角形的判定定理可求出△AED∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可解答． 试题解析：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∴，∴AD•AB=AE•AC． 【变式1】．如图，四边形中，、相交于点，若，，，，求的长．    【答案】6 【分析】利用已知条件证出，再得出，算出答案． 【详解】解：，， ， ． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质应用，其中熟悉对应线段成比例是解题的关键． 【变式2】．已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质及平分线性质等，熟练掌握相关性质是解题关键． 先根据，判定，再根据相似三角形的性质，得出  ，再根据平分 ，得到，进而得到 ，最后根据 ，得出 即可． 【详解】证明：， ， 又， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 题型02 比例线段在相似三角形的应用—平行问题 【典例1】．如图，在中，点D在边上，，交于点E，点F在边上，且.    (1)求证：； (2)如果，求周长与周长的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，结合已知可得，进而证得结论； （2）证明，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，进而可得，再证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴周长与周长的比值是．    【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 【变式3】．如图，已知点D、F在边AB上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的定理以及相似三角形判定及性质即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴且, ∴, ∴, ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型03 比例线段在相似三角形的应用—已知角度关系 【典例1】．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式1】．已知，如图，在中，点D、E分别在上，，点F在边上，且，与相交于点G．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】只需要证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式2】．如图，在四边形中，对角线与交于点，． (1)求证：； (2)过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可求证； （2）先证明，再证明，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 题型04 比例线段在相似三角形的应用—已知数量、角度关系 【典例1】．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．    (1)求证： (2)过点C作交AE于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； (2)根据得到，再得到，由证得，再根据得到，即可得到，整理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于点F，如图所示．由等腰三角形三线合一，得．可证，进一步证得． （2）由，得，进一步证得，于是，可得，等量代换即可得证结论． 【详解】（1）过点A作于点F，如图所示．   ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴ ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；由三角形全等、相似得出线段之间的数量关系是解题的关键． 【变式2】．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据证明，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键． 题型05 比例线段在相似三角形的应用—已知成比例线段关系 【典例1】．如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝． (1)求证：∠APD＝∠C； (2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论； （2）通过证明△APC∽△ADP，可得，即可求解． 【详解】（1）（1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC， ∴∠BAP＝∠DPC＝90°， 设＝＝k， ∴AP＝k•PD，BP＝k•CD， ∴AB＝，PC＝， ∴＝k＝＝， ∴Rt△ABP∽Rt△PCD， ∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP， ∵∠DPB＝∠C＋∠CDP＝∠APB＋∠APD， ∴∠APD＝∠C； （2）（2）解：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC＝6， ∵CD＝4， ∴AD＝2， ∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD， ∴△APC∽△ADP， ∴， ∴AP2＝2×6＝12， ∴AP＝2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】．如图，在中，点D，E分别在边，上，，分别交线段，于点F，G，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证出，从而得出，再根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）先证明得到， 而 ，所以，然后利用比例的性质得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【变式2】．如图所示，在四边形中，为对角线，过点作，垂足为，已知，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接、，如果点在的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后由垂直平分线的性质得到，进而证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 在与中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点在的垂直平分线上 ∴ ∴ ∴． 【变式3】．已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先证，由，得，即可解答． （2）由四边形为菱形，得，由，得①，②，由①×②得，，再证和，得到． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． （2）如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴① ∵，， ∴， ∴即② 由①×②得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即． 题型06 比例线段在相似三角形的应用—已知多组成比例线段关系 【典例1】．如图，已知在四边形中，，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，得，再根据相似三角形的判定和性质，即可； 由，则，得，可得，再根据相似三角形的性质，即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴且是公共边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是公共角， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】．已知：如图，在中，，点、分别在边上，． (1)求证：； (2)如果点在边上，且，，求证：∽ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明∽，可得，可得结论； （2）通过证明∽，可证，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ∽ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 题型07 比例线段在相似三角形的应用—（特殊）平行四边形 【典例1】．已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，可证得，可得到，即可求证； （2）先证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】．如图，矩形的对角线、相交于点，于点，交于点，交的延长线于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质得到，，得到，证明出，最终得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 又， ， ． ， ， ， ． 【点睛】题目主要考查相似三角形判定定理，矩形的性质，其中掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【变式2】．如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到，然后证明即可； （2）由，得到，证明，由直角三角形斜边上中线的性质得到，证明，则，那么，再交叉相乘即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键． 【变式3】．如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P． (1)如图1，如果点F是的中点，求证：； (2)如图2，如果，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据相似三角形的判定定理证出，最后根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据可得，从而可得，再根据相似三角形的判定定理证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ，点是的中点， ， ∵， ， ， ， ． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ． 题型08 比例线段在相似三角形的应用—梯形 【典例1】．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意及平行线的性质可证明，再根据相似三角形的性质及平行线的判定即可得证； （2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明： （2）根据题意得， 和面积相等 解得： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题的关键． 【变式1】．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而证明，可得，再由，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型09 比例线段在相似三角形的应用—数字与比例线段复合式 【典例1】．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以； （2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）如图，作交的延长线于，   ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 【变式1】．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 【变式2】．已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， 点，点分别是，边上的中点， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ． 【变式3】．已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段中点得出，再由相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，再由（1）得，利用三角形外角的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，继续利用相似三角形的判定得出，再由其性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义、平行线的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【变式4】．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． （2）设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型10 比例线段在相似三角形的应用—含双平方关系 【典例1】．已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，而，则，得到，而，故四边形是平行四边形； （2）可证明， 而，那么，则，代入，得到，而，得到，由，得到，故． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由得，又已知，即可得； （2）先由已知证得，得，进而得，再由（1）得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， 由得， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由，推出，由，可得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． （1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ∠ADC=∠BCD=90°， 又， ， ， ， ，即． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 一、解答题 1．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （）根据题意得，证明，再由相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，证明，得到，结合，即，推出，从而得到，结合，推出，那么，得到，即，最后结合从而得证； （2）先证明，得到，再证明，得到，那么，由四边形是平行四边形．可知．从而有，最后得证． 【详解】（1）证明： ， ，， ， ， ， ． ． 又 ，即． ， 四边形是平行四边形． （2）证明： ，， ． ． ， ，， ， ． ． 四边形AECD是平行四边形． ． ． 即． 3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：△BDE∽△BCA； （2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．    【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，可证△ABC∽△EBD； （2）先根据BA•BD=BC•BE，∠B=∠B，证明△BAE∽△BCD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边长比例可证明结论. 【详解】（1）证明：∵BA•BD=BC•BE． ∴， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BCA； （2）证明：∵BA•BD=BC•BE． ∴， ∵∠B=∠B， ∴△BAE∽△BCD， ∴， ∵AE=AC， ∴， ∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD， ∴∠B=∠ACD. ∵∠BAC=∠BAC ∴△ADC∽△ACB， ∴. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 4．在平行四边形中，点E是上一点，点H是延长线上一点．连接，交于点F，于点G． 若， (1)证明：平行四边形是菱形； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练利用上述性质是解题的关键， （1）利用，得到，得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可解答； （2）根据菱形的性质得到，可得，再通过角度的转换得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中，为公共角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，，为公共角， ∴． ∴， ∵， ． 5．已知：如图，在中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）根据得到，，即可证明； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，则，进而证明，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 (1)求证： (2)联结，如果，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点，准确找准相似三角形是解题的关键． （1）证明即可； （2）先证明，则，，则，再证明，则，故，即可求证． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． 7．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得； （2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ， ， ， 又， ， 又， ． （2）证明：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．如图，已知等腰中，，点D在的反向延长线上，且，点E在边的延长线上，且． (1)求线段的长； (2)求证：； (3)当平分时，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，熟悉图形的特点，从中找到相关图形是解题的关键． （1）根据条件可证明，利用相似三角形的对应边成比例可求得； （2）由（1）中得即，再证明，可得即，进而可得； （3）设，，过点作于，先由勾股定理得即可得，再证，进而得即，再将代入得关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ． ， ∴， ， ，， ， ； （2）证明：∵，， ， ， ，， 且， ∴， ， ， ； （3）解：设，， 过点作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ． ， ∴， ， ， ∴， 即， 解得，（舍去）， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.9 综合分析法解相似三角形 教学目标 1. 会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2. 知道中间比代换的重要性； 3. 综合分析法解相似三角形。 教学重难点 1.重点 （1）利用比例线段的性质、几何图形的性质构造合适的比例关系，即我们所需适当的相似关系； （2）得到适当的相似关系又推出我们所需的长度关系或角度关系等，并以此类推； （3）在我们选择的某一种思路中，往往需要寻求某一个关键突破点，以此推断这个思路的（是否）可行性。 2.难点 （1）综合分析法是是解决几何问题常用的经典方法，与固有的模型思维是有区别的； （2）练习—思考—总结—......（大量） 知识点1 综合分析法 1.分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 2.综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 3.综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 【即学即练】 1．如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 2．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 3．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 4．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 5．已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． (1)求证：； (2)取的中点，联结，求证：． 题型01 比例线段在相似三角形的简单应用 【典例1】．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 【变式1】．如图，四边形中，、相交于点，若，，，，求的长．    【变式2】．已知：如图，在中，，平分，且．求证：． 题型02 比例线段在相似三角形的应用—平行问题 【典例1】．如图，在中，点D在边上，，交于点E，点F在边上，且.    (1)求证：； (2)如果，求周长与周长的比值． 【变式1】．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【变式2】．如图，已知点D、F在边AB上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 题型03 比例线段在相似三角形的应用—已知角度关系 【典例1】．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式1】．已知，如图，在中，点D、E分别在上，，点F在边上，且，与相交于点G．求证：． 【变式2】．如图，在四边形中，对角线与交于点，． (1)求证：； (2)过点作交于点，求证：． 题型04 比例线段在相似三角形的应用—已知数量、角度关系 【典例1】．已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．    (1)求证： (2)过点C作交AE于点F，求证：． 【变式1】．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【变式3】．如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 题型05 比例线段在相似三角形的应用—已知成比例线段关系 【典例1】．如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝． (1)求证：∠APD＝∠C； (2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长． 【变式1】．如图，在中，点D，E分别在边，上，，分别交线段，于点F，G，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】．如图所示，在四边形中，为对角线，过点作，垂足为，已知，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接、，如果点在的垂直平分线上，求证：． 【变式3】．已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点，如果，求证：． 题型06 比例线段在相似三角形的应用—已知多组成比例线段关系 【典例1】．如图，已知在四边形中，，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式1】．已知：如图，在中，，点、分别在边上，． (1)求证：； (2)如果点在边上，且，，求证：∽ 题型07 比例线段在相似三角形的应用—（特殊）平行四边形 【典例1】．已知：如图，在平行四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证； (2)连接，当时，求证：． 【变式1】．如图，矩形的对角线、相交于点，于点，交于点，交的延长线于点．求证：．    【变式2】．如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，连接，求证：． 【变式3】．如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P． (1)如图1，如果点F是的中点，求证：； (2)如图2，如果，连接，求证：． 题型08 比例线段在相似三角形的应用—梯形 【典例1】．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【变式1】．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 题型09 比例线段在相似三角形的应用—数字与比例线段复合式 【典例1】．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 【变式1】．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【变式2】．已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【变式3】．已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证： 【变式4】．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 题型10 比例线段在相似三角形的应用—含双平方关系 【典例1】．已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式1】．如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． (1)求证： (2)求证： 【变式2】．如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)当E为的中点时，求证：． 【变式3】．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 一、解答题 1．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 2．已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：△BDE∽△BCA； （2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．    4．在平行四边形中，点E是上一点，点H是延长线上一点．连接，交于点F，于点G． 若， (1)证明：平行四边形是菱形； (2)证明：． 5．已知：如图，在中，点D在边上，，与分别相交于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 6．如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 (1)求证： (2)联结，如果，求证： 7．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 8．如图，已知等腰中，，点D在的反向延长线上，且，点E在边的延长线上，且． (1)求线段的长； (2)求证：； (3)当平分时，求线段的长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$