二 4 整数指数幂-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

74 4　整数指数幂 1. 同底数幂相除(被除式的指数大于除式的指 数),底数 ,指数 .用式子 表示:a m an= (m,n 都是正整数,且 m>n). 2. 任何非零实数的零次幂都等于 ,即 a0= (a≠0). 3. 负整数指数幂:a-n= = (a≠0,n是正整数).特别地,a-1= (a≠0). 4. 对于一些绝对值较小的数,也可利用科学记 数法将它们表示成a×10-n 的形式,其中n 是正整数(n表示原数左边起第一个不为0 的数字前面0的个数),1≤|a|<10.公式: . 5. 整数指数幂的基本性质: (1) am·an= (a≠0,m,n 都是 整数); (2) (am)n= (a≠0,m,n 都是 整数); (3) (ab)n= (a≠0,b≠0,n是整数); (4) a b n = (a≠0,b≠0,n是整数). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) a4÷a; (2) -15a 5 ÷ -15a 2 ; (3) (x2y)k+2÷(x2y)k-1; (4) m7÷m3÷m2. (1) 直接运用同底数幂的除法运算性质计 算.(2) 把-15a 作为底数,运用同底数幂的除 法运算性质计算.(3) 把x2y 作为底数,运用同 底数幂的除法运算性质计算.(4) 运用同底数 幂的除法运算性质的推广计算. 解答: 解有所悟:(1) 除数的底数不为0,故a≠0是此运 算性质的一部分,不能漏掉;(2) 底数a 既可以表 示单项式,也可以表示多项式. 典例 2 已 知 xm =16,xn =2,则 xm-n = . 因为所求的幂的指数是差的形式,所以可 先逆用同底数幂的除法运算性质把xm-n 转化 成与已知的xm,xn 相关的形式,然后把xm= 16,xn=2整体代入并求值. 解答: 解有所悟:当所求幂的指数是差的形式时,可逆用 同底数幂的除法运算性质,把它写成与已知的幂相 关的形式,再进行计算. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 75 典例3 填空: (1) 30= ; (2) (2021-π)0= ; (3) 2-3= ; (4) 1 3 -1 = ; (5) (-2)-3= ; (6) 112 -3 = . (1) 考查零指数幂的意义.(2) 考查零指 数幂的意义.(3) 考查负整数指数幂的意义. (4) 考查负整数指数幂的意义.(5) 考查负整数 指数幂的意义.(6) 考查负整数指数幂的意义. 解答: 解有所悟:(1) 零指数幂的结果是定值1,这个结果 不必计算,可以直接使用.(2) 计算负整数指数幂时, 一般当底数为整数时,可以直接运用a-n=1an 计算; 当底数为分子是1的分数时,可以运用1m -p =mp 计算;当底数为分子不是1的分数时,在底数不为0 的前提下,可以运用n m -p =m p np 计算. 典例4(教材P47例5变式)“草色青青柳色黄, 桃花历乱李花香”是唐朝诗人贾至描写春天的 诗句.桃花的花粉直径约为0.000036m,用科 学记数法表示为3.6×10nm,则n的值为 ( ) A. -4 B. -5 C. 4 D. 5 因为0.000036的第一个非0数字为3,它 的前面有5个0,所以a=3.6,n=-5. 解答: 解有所悟:用科学记数法表示一个较小的数的关键 是确定a和n,在确定n时,也可以根据“n等于原 数的小数点向右移动的位数的相反数”来确定. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算 (-x)3 (-x)2 的结果是 ( ) A. -x B. x C. -x5 D. x5 2. 计算- 14 -1 的结果是 ( ) A. 4 B. -4 C. 1 4 D. -14 3. 计算2-1-30的结果为 ( ) A. -1 B. -12 C. 1 2 D. 1 4. 若2m=4,2n=16,则2m-n 的值为 ( ) A. -12 B. 1 4 C. 1 2 D. 4 5. 苏绣以细腻精美的刺绣技艺闻名,其所用最 细 丝 线 的 半 径 约 为 0.000005m.数 据 0.000005用科学记数法表示为 ( ) A. 0.5×106 B. 5×10-6 C. 5×10-7 D. 50×10-7 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 76 6. 若27 x 3x =3 8,则x的值是 . 7. 若a=3-2,b=-32,c= -12 -2 ,d= -13 0 ,则它们的大小关系是 . 8. (教材P47练习第1题变式)计算: (1) (-0.5)0÷ -12 -3 - 12 -2 ; (2) |-7|-(1-π)0+ 13 -1 ; (3) (-0.5)-1- -12 -3 +2×(π- 3.14)0; (4) 30-2-3+(-3)-2- 32 -2 . [综合提升] 9. 计算 (-3a3)2 3a2 的结果是 ( ) A. 3a3 B. -3a3 C. 3a4 D. -3a4 10. 若(x-4)0-(2x-6)-2有意义,则x 的取 值范围是 ( ) A. x>4 B. x<3 C. x≠4或x≠3 D. x≠4且x≠3 11. 若y 2m+3n y3n =y6,则m= . 12. 已知3m=127 ,2-n=16,则mn= . 答案讲解 13. 规定运算:a*b=10 a 10b ,例如5* 3=10 5 103=10 2.计算: (1) 12*5; (2) (n+6)*(2-n).(n为正整数) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 22 分式乘除法中的常见问题 进行分式的乘除混合运算时,要先将算式中的除 式的分子分母颠倒位置或理解成除以一个不为0的数 等于乘这个数的倒数,将其统一成乘法,再计算结果. 切记运算顺序不能颠倒. 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2 ·(x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2. 因为算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, 所以F=1+ 8x-2 (x≠2且x≠-6).因为F 为整数,所 以 8 x-2 为整数.所以当x-2=±1,±2,±4,±8,即当 x=3,1,4,0,6,-2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数.因 为x≠-6,所以当x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整 数.所以F 可以取到的整数值有7个. 13. x2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-4 x-2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-9 x-2 = (x-3)2 x-2 · x-2 (x+3)(x-3)= x-3 x+3. 因为x-2≠0,(x+3)(x-3)≠ 0,则x≠2且x≠±3,所以x可取0或1.当x=0时,原 式=-33 =-1. 或当x=1时,原式=1-31+3=-12 忽视使式子有意义的条件致错 分式的化简求值运算中,若仅仅考虑问题中提供 的条件,而忽视分式本身所隐含的条件,则易导致所确 定的字母的值使原式没有意义. 14. 正确.理由:因为 x 2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,所以琪琪的说法 是正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4. 所以甲工 程队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时 间的3a-6 2a+4 倍. 4 整数指数幂 知识梳理 1. 不变 相减 am-n 2. 1 1 3. 1 an 1 a n 1a 4. 0.00…0︸ n 个 0 1=10-n 5. (1) am+n (2) amn (3) anbn (4) an bn 典例演练 典例1 (1) a4÷a=a4-1=a3.(2) -15a 5 ÷ -15a 2 = -15a 5-2 = -15a 3 = -15 3 · a3 = - 1125a 3.(3) (x2y)k+2 ÷ (x2y)k-1 = (x2y)k+2-(k-1)=(x2y)3=x6y3.(4) m7÷m3÷m2= m7-3-2=m2. 典例2 8 典例3 (1) 1 (2) 1 (3) 1 8 (4) 3 (5) -18 (6) 8 27 典例4 B 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. 4 7. b<a<d<c 解析:因为a=3-2=19 ,b=-32=-9, c= -12 -2 =4,d= -13 0 =1,-9<19<1<4 ,所 以它们的大小关系是b<a<d<c. 8. (1) 原式=-418. (2) 原式=9.(3) 原式=8.(4) 原 式=1324. 9. C 10. D 解析:因为(x-4)0-(2x-6)-2 有意义,所以 x-4≠0, 2x-6≠0, 解得x≠4且x≠3. 11. 3 12. 1 81 解析:因为3m=127 ,2-n=16,所以3m=3-3, 2-n=24.所以m=-3,-n=4.所以n=-4.所以mn= (-3)-4= 1(-3)4= 1 81. 13. (1) 原式=107.(2) 原式=102n+4. 5 可化为一元一次方程的分式方程 知识梳理 1. 未知数 2. 最简公分母 3. 等量关系 方程 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈