二 1 分式的概念及基本性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

19 2)2-b2=(a-2+b)(a-2-b).(2) 因为a2-ab-ac+ bc=0,所以(a2-ab)+(-ac+bc)=0,即a(a-b)- c(a-b)=0,即(a-b)(a-c)=0.所以a-b=0或a- c=0或a-b=0且a-c=0,即a=b或a=c或a=b= c.所以△ABC是等腰三角形或等边三角形. 因式分解预学检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. A 5. C 6. D 7. C 8. C 9. D 解析:因为M=3x2-5x+2,N=2x2-3x+1,所 以M-N=(3x2-5x+2)-(2x2-3x+1)=3x2-5x+ 2-2x2+3x-1=x2-2x+1=(x-1)2≥0.所以 M≥N. 10. D 二、 11. 答案不唯一,如-1 12. 4y-2x 13. 2a(a+ 2)(a-2) 14. 16 15. m-2 16. 等腰三角形 17. 3 解析:根据题意,可得a-b=-1,a-c=-2,b- c=-1.设S=a2+b2+c2-ab-ac-bc,则2S=2a2+ 2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=(a2-2ab+b2)+(a2- 2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2=(-1)2+(-2)2+(-1)2=6,所以S=3.所以a2+ b2+c2-ab-ac-bc=3. 18. 8a+12b 三、 19. (1) 原式=(a-3)(m-2).(2) 原式=(y- 4x)(4x+y).(3) 原式=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+ y)-3(x-y)]=(5x-y)(5y-x). 20. (1) 原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27= 39×(37-27)=390.(2) 原式=(30.25-20.25)2+ 1012+9 1 2 × 1012-912 =102+20×1=100+ 20=120. 21. 答案不唯一,如这个单项式可以是81 4x 4,则9x2+ 81 4x 4+1= 92x 2+1 2. 22. 根据题意,得剩余部分的面积为(a2-4b2)平方厘 米.当a=9.82,b=2.41时,a2-4b2=(a+2b)(a- 2b)=(9.82+2×2.41)×(9.82-2×2.41)=14.64×5= 73.2.所以剩余部分的面积为73.2平方厘米. 23. 原式=4x2+4x+1-1-3=(4x2+4x+1)-4= (2x+1)2-4=(2x+1+2)(2x+1-2)=(2x+3)(2x-1). 24. (1) 是;不是.(2) 由这两个连续奇数构造的“奇特数” 是8的倍数.理由:因为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+ 2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,n为正整数,所以 由这两 个 连 续 奇 数 构 造 的“奇 特 数”是8的 倍 数. (3) S涂色=992-972+952-932+912-892+…+72- 52+32-12=(99+97)×(99-97)+(95+93)×(95- 93)+(91+89)×(91-89)+…+(7+5)×(7-5)+(3+ 1)×(3-1)=(99+97+95+93+91+89+…+3+1)× 2= (1+99)×50 2 ×2=5000. 二　分　式 1 分式的概念及基本性质 知识梳理 1. 分子 分母 2. 等于0 不等于0 分子 分母 3. 不为0 4. 公因式 公因式 典例演练 典例1 (1) ①②③⑤⑥⑧;①⑤⑥⑧.(2) 分式x+3 x2-9 的 值不能等于0.若分式x+3x2-9 的值等于0,则x+3=0, x=-3.当x=-3时,分母x2-9=0,分式无意义,所以 分式x+3 x2-9 的值不能等于0.(3) 将x=1代入分式得 1+3 1-3=-2. 典例2 (1) 21a3b4c 56a2b5d= 7a2b4·3ac 7a2b4·8bd= 3ac 8bd. (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 =a (x+2y)(x-2y) (x-2y)2 =ax+2ayx-2y . 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 分式符号的变化规律 一个分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其 中任意两 个,分 式 的 值 不 变,可 用 字 母 表 示:A B = --AB =- A -B= -A -B. 切记不能三个同时变号,也不 能单变一个,否则分式的值会发生变化. 6. x≠1 7. 16a+20b a+b 17.5 解析:根据题意,得甲、乙两种糖果 混合后共有(a+b)千克,甲、乙两种糖果共售(16a+ 20b)元.所以将甲、乙两种糖果混合后平均每千克的售价 应为16a+20b a+b 元.当a=25,b=15时,16a+20ba+b = 16×25+20×15 25+15 =17.5. 所以混合后的糖果平均每千克 的售价为17.5元. 8. (1) 根据题意,得6x+18≠0,解得x≠-3.所以当 x≠-3时,分式3x-196x+18 有意义.(2) 根据题意,得3x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 7=0,解得x=-73. 所以当x=-73 时,分式5x-4 3x+7 没有 意义.(3) 根据题意,得① x-2<0, 3-4x>0 或② x-2>0 , 3-4x<0. 解 不等式组①,得x<34 ;解不等式组②,得x>2.所以当 x<34 或x>2时,分式x-23-4x 的值是负数. 根据分式的值为负数确定字母的取值范围时, 因考虑不全面而出错 若分式的值为负数,则分子、分母异号.具体有两 种情况:① 分子的值大于0,分母的值小于0;② 分子 的值小于0,分母的值大于0. 9. (1) mn+n2 m2-n2= n(m+n) (m+n)(m-n)= n m-n. 当m=3,n= 4 时,原 式 = 43-4 = - 4. (2) x2-4 x2+4x+4 = (x+2)(x-2) (x+2)2 = x-2 x+2. 当x=3时,原式=3-23+2= 1 5. 10. D 11. C 12. A 解析:因为x2+1>0,所以当分式x 2+1 2x-5 的值为 负数时,2x-5<0,解得x<52. 所以x 可以取比52 小 的数. 13. C 解析:因为当x=2时,分式的值为0,所以2-b= 0,解得b=2.因为当x=-2时,分式没有意义,所以 -4+a=0,解得a=4.所以a+b=6. 14. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 15. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:因为分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,所以可用分式的基本性 质,将分式的分子和分母同时约去a+b.因为a-b不是 分式的分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,所以 不能用分式的基本性质,将分式的分子、分母都乘a-b, 再约去a2-b2. 分式的基本性质应用的常见错误 运用分式的基本性质时,一定要注意分式的分子、 分母同乘或除以一个不等于0的整式. 2 分式的加法和减法 知识梳理 1. 不变 加减 f±hg 2. (1) 最简分式 (2) 结合律 3. 通分 4. 最高 最小公倍数 最高 5. 通分 6. f 1 典例演练 典例1 (1) 原式=a- (3a+2b) a2-b2 = -2(a+b) (a+b)(a-b)= - 2a-b. (2) 原 式 = m+2nn-m - n n-m - 2m n-m = m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原 式= 1 x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式 = m (m+n) (m-n)(m+n) - n(m-n) (m-n)(m+n) + 2mn (m-n)(m+n) = m2+2mn+n2 (m-n)(m+n) = (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 预学训练 1. A 2. A 3. B 解析:原式= 2xx+2- (x+2)(x-2) (x+2)2 = 2x x+2- x-2 x+2= 2x-(x-2) x+2 = 2x-x+2 x+2 = x+2 x+2 =1.所以表示 2x x+2- x2-4 (x+2)2 的值的对应点落在如题图所示的数轴上 的范围是②. 4. (1) 1 (2) m (3) 2 5. (1) 原 式 = 32x - 2 2x = 12x. (2) 原 式 = (a-1)2 (a-1)(a+1)+ 4a (a-1)(a+1) =a 2-2a+1+4a (a-1)(a+1)= (a+1)2 (a-1)(a+1) =a+1a-1. (3) 原 式 = 3m-n(m-n)2 - m+n (m-n)2 = (3m-n)-(m+n) (m-n)2 = 2m-2n (m-n)2 = 2m-n. 6. A 7. D 8. A 解 析:因 为 Ma-1+ N a+1= M(a+1) (a+1)(a-1)+ N(a-1) (a+1)(a-1) = Ma+M+Na-N a2-1 = (M+N)a+(M-N) a2-1 ,所以 M+N=3①, M-N=-1②. ①+②,得 M=1,把M=1代入①,得N=2,所以M2-N2=12- 22=1-4=-3. 9. 1 x+3 10. -174 11. 1 3 12. 3000 a 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 二　分　式 1　分式的概念及基本性质 1. 设f和g都是多项式,其中g不为0,我们把 f除以g的结果记作fg ,称f g 是分式,其中f 称为 ,g称为 . 2. 当分式的分母 时,分式的值不存在 (没有意义);当分式的分母 时,分 式的值存在(有意义);当分式的 等 于0, 不等于0时,分式的值为0. 3. 分式的基本性质:分式的分子与分母都乘同 一个 的多项式(或除以它们的一个 不为0的公因式),所得分式与原分式相等. 4. 把一个分式的分子与分母的 约去 (即分子与分母都除以它们的公因式),叫作 分式的约分.如果分式的分子与分母没有 ,那么称这个分式是最简分式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 仔细观察下列各式,回答问题. ① 1 2ab ;② 10a3bc -5a2b3c2 ;③ x+3 x2-9 ;④ x-3; ⑤ 1 x-3 ;⑥ 6x x2-6x+9 ;⑦ x-3 3 ;⑧ x+3 x-3. (1) 以上式子中,属于分式的有 ; 属于最简分式的有 .(填序号) (2) (教材P24例1(2)变式)分式x+3x2-9 的值能 等于0吗? 为什么? (3) 当x=1时,求分式x+3x-3 的值. 本题考查分式的概念及相关特征,特别需 要注意:若分式的值为0,则分式首先要有意义, 即分子等于0而分母不等于0. 解答: 解有所悟:(1) 识别分式时要抓住两点:一是含分数 线,二是分母中含字母.(2) 分式的值为0必须同时 满足两个条件:分子等于0和分母不等于0,两者缺 一不可. 典例2(教材P27例3变式)把下面的分式化成 最简分式: (1) 21a3b4c 56a2b5d ;(2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 . (1) 分子、分母的公因式为7a2b4;(2) 分 子、分母的公因式为x-2y. 解答: 解有所悟:分式约分的基本步骤:(1) 确定分子与分 母的公因式(若分子或分母中的多项式能进行因式 分解,则应先对分子或分母进行因式分解,再确定 公因式);(2) 约去分子与分母的公因式;(3) 分子 与分母不再含有公因式(1除外),即为约分后的最 简分式或整式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 66 [基础过关] 1. 有下列式子:x+y 2 ,-3ba ,1 x+y ,x-y+1 10 . 其中,分式的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列分式从左到右的变形一定成立的是 ( ) A. a b= a2 b2 B. a b= ac bc C. ac bc= a b D. -a -b=- a b 3. 若分式x 2-y2 △ 是最简分式,则“△”可能表示 ( ) A. 2x+2y B. (x-y)2 C. x2+2xy+y2 D. x2+y2 4. 已知分式x(x-1)(x-2) x2-4 的值为0,则x 的 值为 ( ) A. 0或1或2 B. 0或-2或2 C. 0或1 D. 0或-2 5. ★(教材P26思考变式)根据分式的基本性 质,分式-a a-b 可变形为 ( ) A. a a-b B. - aa+b C. a a+b D. - aa-b 6. 若2 (x-1) 3(x-1)= 2 3 成立,则x 的取值范围是 . 7. (教材P25练习第1题变式)已知甲种糖果 每千克的售价为16元,乙种糖果每千克的 售价为20元,取甲种糖果a 千克和乙种糖 果b千克,则混合后的糖果平均每千克的售 价为 元.当a=25,b=15时,混合 后的糖果平均每千克的售价为 元. 8. (教材P25练习第2题变式)(1) 当x取何值 时,分式3x-19 6x+18 有意义? (2) 当x取何值时,分式5x-43x+7 没有意义? 答案讲解 (3) ★当x 满足什么条件时,分式 x-2 3-4x 的值是负数? 9. 先化简,再求值: (1) mn+n2 m2-n2 ,其中m=3,n=4; (2) x2-4 x2+4x+4 ,其中x=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 67 [综合提升] 10. 如果把分式 x x+y 中的x和y都扩大为原来 的2倍,那么分式的值 ( ) A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的1 2 D. 不变 11. 根据表格中的信息,y可能为 ( ) x … -2 -1 0 1 2 … y … * 无意义 * -1 * … A. x+3 x-1B. x-3 x-1 C. x-3 x+1 D. x+3 x+1 12. 要使分式x 2+1 2x-5 的值为负数,则x可以取的 值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 13. 已知分式x-b 2x+a ,当x=2时,分式 的值为0;当x=-2时,分式没有 意义,则分式有意义时,a+b的值为( ) A. -2 B. 2 C. 6 D. -6 14. 不改变分式的值,将下面各分式的分子、分 母中的系数化为整数,并使其成为最简 分式. (1) 0.2x+y 0.2x-12y ; (2) 1 3x+ 1 4y 1 2x- 1 3y . 答案讲解 15. ★对分式a 2-b2 a+b 进行变形.甲同学的 解法是a 2-b2 a+b = (a+b)(a-b) a+b = a -b;乙 同 学 的 解 法 是 a 2-b2 a+b = (a2-b2)(a-b) (a+b)(a-b) = (a2-b2)(a-b) a2-b2 = a-b. 根据分式的基本性质,判断甲、乙两名同学 的解法是否正确,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备