2.2 一元二次方程的解法-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

69 2.2　一元二次方程的解法 1. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的 值叫作一元二次方程的 .一元二次 方程的解也叫作一元二次方程的 . 2. 根据平方根的意义直接 来求一元 二次方程的解的方法,叫作直接开平方法. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的步骤: (1) 将方程转化为x2=p(p≥0)或(nx+ m)2=p(p≥0)的形式;(2) 直接开平方得 到两个 ;(3) 解这两个 得到原方程的两个根. 4. 把一元二次方程整理后,使得含未知数的项 在一个完全平方式里,这种做法叫作 .配方、整理后就可以直接根据平方 根的意义来求解一元二次方程的方法叫作 . 5. 用配方法解一元二次方程的步骤:(1) 把原 方程化为 的形式;(2) 方程 两边同除以 ,使二次项系数为 ,并把常数项移到方程 ; (3) 方程两边同时加上 ; (4) 把左边配成一个 ,右边化 为一个常数;(5) 如果右边是 ,那么 可以进一步通过直接开平方法求出它的解, 如果右边是一个 ,那么判定此方程 无实数解. 6. 在b2-4ac≥0的条件下,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根为 .我们通常把这个式子叫作一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 .运 用 解一元二次方程 的方法叫作 . 7. 用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1) 把方程化成 ,进而确定a, b,c的值;(2) 求出 的值;(3) 在 的前提下,把a,b,c的值代入公式 进行计算,求出方程的根.注意:用公式法解 一元二次方程的前提条件有两个:① ;② . 8. 利用 来解一元二次方程的方法叫 作因式分解法. 9. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1) 移项,使方程的右边化为 ; (2) 将方程的左边分解为两个一次因式的 ;(3) 令每个因式分别为零,得到两 个一元一次方程;(4) 解这两个一元一次方 程得到原方程的两个根. 10. 解一元二次方程的基本思路都是将一元二 次方程转化为一元一次方程,即 , 其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)左 边的二次多项式分解成两个一次多项式的 乘积,即ax2+bx+c= ,其中x1 和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 选用适当的方法解下列方程: (1) 2(1-x)2-8=0;(2) x2-4x-3=0; (3) 2x2-6x-1=0; (4) 3x(x+2)=5(x+2). (1) 利用直接开平方法解方程并得出答 案;(2) 利用配方法求解即可;(3) 利用公式法 解方程并得出答案;(4) 直接利用提取公因式 法分解因式进而解方程即可. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 解有所悟:要根据一元二次方程的特点来选择解 法,优先选择直接开平方法和因式分解法,其次是 公式法和配方法. 典例2 阅读材料: 求多项式x2+4x+8的最小值时,小明的 解法如下:x2+4x+8=x2+4x+4+4=(x+ 2)2+4.∵ (x+2)2≥0,∴ (x+2)2+4≥4,即 x2+4x+8的最小值为4. 请解决下面的问题: (1) 求多项式2x2+16x+20的最小值; (2) 猜想多项式-x2+12x-25有最大值还是 最小值,并求出这个最值. (1) 利用配方法把原式化为完全平方式与 一个数的和的形式,根据偶次方的非负性解答; (2) 利用配方法把原式进行变形,根据偶次方 的非负性解答即可. 解答: 解有所悟:将一个二次三项式通过配方转化为完全 平方式加(或减)一个数的形式,当二次项系数为正 时,代数式有最小值;当二次项系数为负时,代数式 有最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列数中,能使一元二次方程x2-2x=0成 立的x的值为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若x=1是一元二次方程x2-3mx+5=0 的解,则m 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 用因式分解法解下列方程,正确的是 ( ) A. 若(x+3)(x-1)=1,则x+3=1或x- 1=1 B. 若(2x-2)(3x-4)=0,则2x-2=0或 3x-4=0 C. 若(x-2)(x-3)=2×3,则x-2=2或 x-3=3 D. 若x(x+2)=0,则x+2=0 4. 方程(x-1)2=5的解为 . 5. 用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则 方程可化为 . 6. (教材P42习题2.2第7题变式)用合适的方 法解下列方程: (1) (x+2)2=16; (2) x2+2x-3=0; (3) x2+4x-1=0; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 71 (4) x2-5x-4=0. [综合提升] 7. (凉山中考)若关于x 的一元二次方程(a+ 2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 1 2 8. 用求根公式x=-b± b 2-4ac 2a 求一元二次 方程的根时,小珺正确地代入了a,b,c的 值,得到x=3± (-3)2-4×2×(-1) 2×2 ,则 她求解的一元二次方程是 ( ) A. 2x2-3x-1=0 B. 2x2+4x-1=0 C. -x2-3x+2=0 D. 3x2-2x+1=0 9. 用配方法解一元二次方程x2+2x-2024= 0,将它转化为(x-m)2=n 的形式,则mn 的值为 ( ) A. 2025 B. 1 2025 C. 1 D. -1 10. (南充中考)已知m 是一元二次方程x2+ 4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的 值为 . 答案讲解 11. 对于两个不相等的实数a,b,我们 规定符号min{a,b}表示a,b中的 较小值,如min{2,5}=2.按照这 个规定,方程 min{x,1}=x2-2的解为 . 12. (教材P42习题2.2第6题变式)当x为何 值时,代数式x2-13x+12的值与代数式 4x2+18的值相等? 答案讲解 13. 在学习过程中,小丽发现:对于代 数式(a+2)2+3,无论a取何值, (a+2)2 都大于或等于0,再加上 3,则代数式(a+2)2+3大于或等于3.根 据小丽的思路解决下面的问题: (1) 求证:代数式a2-6a+4的最小值为 -5; (2) 请仿照小丽的思路求代数式-a2- 8a-8的最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 22 为±2或3或±1.(2) 由题意,得m2-1=2且m-3≠ 0,解得m=-3. 2.2 一元二次方程的解法 知识梳理 1. 解 根 2. 开平方 3. (2) 一元一次方程 (3) 一元 一次方程 4. 配方 配方法 5. (1) ax2+bx+c=0 (a≠0) (2) 二次项系数 1 右边 (3) 一次项系数一 半的平方 (4) 完全平方式 (5) 非负数 负数 6. x= -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) 求根公式 一元二次方 程的求根公式 公式法 7. (1) 一般形式 (2) b2-4ac (3) b2-4ac≥0 ① a≠0 ② b2-4ac≥0 8. 因式分 解 9. (1) 零 (2) 乘积 10. 降次 a(x-x1)(x-x2) 典例演练 典例1 (1) x1=3,x2=-1.(2) x1=2+ 7,x2=2- 7.(3) x1= 3+ 11 2 ,x2= 3- 11 2 . (4) x1=-2, x2= 5 3. 典例2 (1) 2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12= 2(x+4)2-12.∵ (x+4)2≥0,∴ 2(x+4)2-12≥ -12.∴ 多项式2x2+16x+20的最小值是-12. (2) -x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x- 6)2+11.∵ -(x-6)2≤0,∴ -(x-6)2+11≤11.∴ 多 项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. x1=1+5,x2=1-5 5. (x+ 4)2=9 6. (1) x1=2,x2=-6.(2) x1=-3,x2=1.(3) x1= 5-2,x2=-5-2.(4) x1= 5+ 41 2 ,x2= 5- 41 2 . 7. A 8. A 9. D 10. -4 11. x=3或x=-1 解析:当x>1时,min{x,1}= 1.∴ x2-2=1,即x2=3,解得x1= 3,x2=-3(舍 去).当x<1时,min{x,1}=x.∴ x2-2=x,即x2-x- 2=0,解得x1=-1,x2=2(舍去).∴ 方程的解为x= 3或x=-1. 12. 根据题意,得x2-13x+12=4x2+18.整理,得 3x2+13x+6=0.∵ 132-4×3×6=97>0,∴ x= -13± 97 2×3 ,即 x1= -13+ 97 6 ,x2= -13- 97 6 . ∴ 当x 为-13+ 976 或-13- 97 6 时,代数式x2- 13x+12的值与代数式4x2+18的值相等. 13. (1) a2-6a+4=a2-6a+9-9+4=(a-3)2-5. ∵ 无论a取何值,(a-3)2 都大于或等于0,∴ 代数式 (a-3)2-5大于或等于-5.∴ 代数式a2-6a+4的最 小值为-5.(2) -a2-8a-8=-(a2+8a+16-16)- 8=-(a+4)2+16-8=-(a+4)2+8.∵ 无论a取何 值,-(a+4)2 都小于或等于0,∴ 代数式-(a+4)2+ 8小于或等于8.∴ 代数式-a2-8a-8的最大值为8. 2.3 一元二次方程根的判别式 知识梳理 1. 判别 式 Δ Δ=b2-4ac 2. (1) 不 相 等 -b+ b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a (2) 相等 -b2a (3) Δ<0 典例演练 典例1 D 典例2 (1) ① 3 ② m<3且m≠2 ③ m>3 (2) ① m≤3 ② m≤3且m≠2 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 解析:∵ 关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+ k2+2=0有实数根,∴ Δ=[-2(k-1)]2-4×1×(k2+ 2)=4k2-8k+4-4k2-8=-8k-4≥0,解得k≤-12. 6. -1(答案不唯一) 7. k<94 8. (1) 原方程可变形为3x2-2x+5=0.∴ a=3,b= -2,c=5.∴ b2-4ac=(-2)2-4×3×5=-56<0. ∴ 原方程没有实数根.(2) 原方程可变形为x2+5x+7= 0.∴ a=1,b=5,c=7.∴ b2-4ac=52-4×1×7=-3< 0.∴ 原方程没有实数根.(3) 方程化成一般形式为4x2- 8x+3=0.∵ Δ=(-8)2-4×4×3=16>0,∴ 方程有两 个不相等的实数根.(4) 方程化成一般形式为3x2-4x+ 6=0.∵ Δ=(-4)2-4×3×6=-56<0,∴ 方程没有实 数根. 9. 根据题意,得m≠0且Δ=(-6)2-4m×92>0 ,解得 m<2且m≠0.∴ 自然数m 为1.当m=1时,原方程为 x2-6x+92=0.∵ Δ=(-6)2-4×1×92=18 ,∴ x= 6±32 2×1 =3± 32 2 .∴ x1=3+ 32 2 ,x2=3- 32 2 . 10. D 11. D 12. D 13. ③④ 14. (1) ∵ 关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k- 6=0有两个不相等的实数根,∴ Δ=[-(2k+4)]2- 4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-25 且k≠0.(2) 当k= 1时,原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6x- 5=0.移项,得x2-6x=5.配方,得x2-6x+9=5+9,即 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈