陕西高教版《一课一练》第107练-第四章 立体几何测验（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合陕西高考命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑。本专辑共150练，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》第107练，内容是拓展模块上册第四章立体几何。 高教版《数学》拓展模块上册 第107练 第四章 立体几何 单 元 测 验 1、 选择题 1．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】在直线上任取一点，过作直线，直线和直线确定一个平面，可得，同理，然后由线面垂直的性质可得结论． 【详解】如图所示，在直线上任取一点，过作直线，则， 直线和直线确定一个平面． ，，． 又，，，， ，同理可证， ． 故选：B． 2．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为点到平面的距离. 【详解】∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为5． 故选：A． 3．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由平面得，由勾股定理可得，所以当时，最小，此时也最小，由此求解即可． 【详解】如图所示，因为平面，平面，所以， 则是直角三角形，，故， 所以当时，最小，此时也最小． 由条件知，，，则， 当时，，故的最小值为， 则的最小值为． 故选：A. 4．直线直线，直线平面，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为与两种情况，结合线面垂直的判定与性质及线面平行的判定定理判断即可. 【详解】若，由直线平面，可得，符合题意； 若，过上一点作直线，则可确定一个平面，设， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴， 又，∴， ∵，，∴． 综上，或. 故选：D． 5．下列说法中，其中错误的是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【答案】A 【分析】结合棱柱和棱锥的定义逐一考查所给的说法是否正确即可． 【详解】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角； C正确，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； D正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形． 故选：A. 6．如图，，点，，点，且，，那么直线与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意结合线面垂直的性质及判定定理即可得解. 【详解】，，，， ，，， 又，平面，平面， 平面．平面，， 故选：. 7．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接，因为是菱形，所以． 又平面，则． 因为平面，所以平面． 又平面，所以． 显然直线与直线不共面，因此直线与直线不共面， 因此直线与直线的位置关系是垂直但不相交． 故选：C. 8．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由证得平面，依题意知平面，所以即为到底面的距离．在中求出，由求得结果. 【详解】连接，如图， ∵，∴为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面， 依题意知平面，所以即为到底面的距离． 依题意知平面，平面，∴． 在中，，，∴， ∴． 故选：D． 19．如图，三棱锥中，平面，，，，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，，从而平面，所以，．又，所以，即可判断A，C；利用棱锥的面积公式求可判断D；题中条件无法判断是否成立，可判断B. 【详解】因为，，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以，． 又，所以（线段垂直平分线的性质）． 因为平面，所以． 因为平面， 所以 ， 所以，即． 题中条件无法判断是否成立，综上知，A、C、D正确． 故选：B． 10．如图①在正方形中，，分别是边，的中点，是的中点，现沿，及把这个正方形折成一个几何体（图②），使，，三点重合于点，下面结论成立的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判断定理判断A；根据直线与平面垂直的定义判断B，C，D. 【详解】∵在图①中，，， ∴在图②中，，， 又，平面， ∴平面，故A正确； ∵平面，平面，∴， ∴在中，，从而， ∴与不垂直，又平面， ∴平面不成立，故B错误； ∵在图①中，，∴在图②中，， ∴在中，，从而， ∴与不垂直，又平面， ∴平面不成立，故C错误； ∵与不垂直，又平面， ∴平面不成立，故D错误. 故选：A． 2、 填空题 11．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【分析】分析可知，选择方法可能是：①④，②④，③④，结合线面的位置关系、线面垂直的判定及面面平行的性质求解即可. 【详解】显然①②③④中选一个，不能使. 而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个， 故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 故答案为：②④. 12．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为 ． 【答案】10 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为所求. 【详解】如图， ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为10． 故答案为：10． 13．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为 个． 【答案】4 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面平面，，，. ，且平面， 平面平面，． 综上知：，，，，都是直角三角形，共有4个． 故答案为：4. 14．在三棱柱中底面，，当底面满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）． 【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的判定及性质即可得解. 【详解】 如图所示，连接， 由可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由底面可知，，只要证即可， 因为，，故只要证即可， 故答案为：. 15．如图所示，已知矩形中，，，平面，若在边上只有一个点满足，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】设，由平面得，又，可得 平面，从而，由勾股定理得的一元二次方程，由题意，求解即可. 【详解】设， 又，，， 则，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即，整理得， 因为在边上只有一个点满足， 所以，又，解得. 当时，方程为，解得，符合题意. 故实数的值为2． 故答案为：2． 3、 解答题 16．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 【答案】(1)均为. (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）在直角三角形中应用勾股定理求解. 【详解】（1）因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为在平面内，所以， 所以直线和直线，直线和直线所成的角均为. （2）因为，，，所以在直角三角形中， 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．如图，在长方体中，棱长. (1)求直线到平面AC的距离. (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)2 (2). 【分析】（1）根据长方体的几何特征可知直线到平面AC的距离即为的长. （2）从向引垂线交于，根据线面垂直的判定定理得出平面，再由等面积法求出的长即可. 【详解】（1）因为为长方体， 所以到平面的距离就是点到平面的长度， 因为，所以直线到平面AC的距离为2. （2）如图，从向引垂线交于， 由长方体的垂直关系可知平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，即的长， 在中，由等面积法可得，， 所以，解得， 所以直线到平面的距离为. 19．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】1 【分析】根据题意，连接交于点，连接作于点，交于点，结合三角形中位线定理和线面垂直的判定定理及性质定理，易得为的中点，且平面，结合解直角三角形，即可求得的长度，即可求解. 【详解】如图，连接交于点，连接 在正四棱柱中，四边形为正方形， 因为，所以， 又，所以， 作于点，交于点， 由为的中位线知，，且为的中点， 因为平面，平面，所以, 因为在正方形中，，又， 所以平面， 因为平面，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 所以为直线到平面的距离， 又为等腰直角三角形， ， ， 即直线到平面的距离为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合陕西高考命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑。本专辑共150练，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》第107练，内容是拓展模块上册第四章立体几何。 高教版《数学》拓展模块上册 第107练 第四章 立体几何 单 元 测 验 1、 选择题 1．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 2．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 3．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 4．直线直线，直线平面，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 5．下列说法中，其中错误的是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 6．如图，，点，，点，且，，那么直线与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 7．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 8．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，三棱锥中，平面，，，，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图①在正方形中，，分别是边，的中点，是的中点，现沿，及把这个正方形折成一个几何体（图②），使，，三点重合于点，下面结论成立的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2、 填空题 11．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 12．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为 ． 13．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为 个． 14．在三棱柱中底面，，当底面满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）． 15．如图所示，已知矩形中，，，平面，若在边上只有一个点满足，则实数的值为 ． 3、 解答题 16．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 17．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，在长方体中，棱长. (1)求直线到平面AC的距离. (2)求直线到平面的距离. 19．如图，已知在正四棱柱中，，E为的中点，求直线到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$