第19章一次函数 暑期巩固提升训练题 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第19章一次函数 一、单选题 1．记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．甲、乙两人驾驶汽车沿同一线路从A市出发去B市景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开A市的距离与时间之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．甲车行驶的速度是 B．甲车用了4小时到达B市景区 C．对乙车关于的函数关系为 D．乙车追上甲车时，他们和B市的距离是140km 3．一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一个底角为度，顶角为度，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图1，在面积为4的正方形中，E为边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线的表达式为交x轴于点A，y轴上一点，点C在直线的左侧，，且，则点C的坐标为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ． 14．如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为 ． 15．如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为 ． 三、解答题 16．如图，已知一次函数（）与正比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求k的值及点A的坐标； (2)当时，求x的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 17．如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式并直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 18．如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 19．已知A，B两地在一条笔直的道路上．甲、乙两人同时出发，甲从A地出发匀速前往B地，乙从B 地出发匀速前往A地，乙到达A地后立即原速返回B地（甲、乙两人到达B地后均停止运动）．甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)AB两地相距 米，甲的速度为 米／分钟，乙的速度为 米／分钟； (2) ， ； (3)在运动过程中，当两人相距100米时，请直接写出x的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点在此平面直角坐标系中，在轴上是否存在点，使以为边，点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据题意设，得出，根据为正比例函数，得出为正比例函数，从而得出，求出，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵为正比例函数， ∴为正比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了从图象中获取信息，求一次函数关系式，根据图象可知甲行驶到达B市，可判断A，B；再将点代入关系式，求出解即可判断C；然后将代入关系式计算判断D． 【详解】解：根据图象可知甲行驶到达B市， ∴甲车用了5小时到达B市，且速度为， 所以A，B不正确； 设乙离开A市的距离与时间之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴乙车y与t的关系式为． 所以C正确； 将代入，得， 所以他们和B市的距离是． 则D不正确． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式等内容，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想，利用图象得出不等式的解集． 根据图象的性质，结合图象直接得出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，且直线与轴交点坐标为， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了函数关系式．根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和为可得到y与x的关系式． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，均为x度，顶角为y度，由三角形内角和定理得： ， 则， 因此，则与的函数关系式为． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，先根据点M及其对应点坐标得出平移方向和距离，据此得出点N的对应点坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由点的对应点，知线段向右平移2个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以直线的表达式为， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 当点F在边上时，y的值先减小后增大，当点F在边上时，y的值逐渐减小，可得点P的横坐标为的长，纵坐标为的长，先根据正方形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得，从而可得点P的坐标． 【详解】解：连接． 当点F在边上时，y的值先减小后增大， 当点F在边上时，y的值逐渐减小， 点P的横坐标为的长，纵坐标为的长． 正方形的面积为4， ， 是的中点， ． 在中，由勾股定理得， 点P的坐标为， 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示． 过点E作垂直y轴，垂足为M． 很显然，， ∵， ∴， ∴．故结论①错误． ②如图2所示，、、互相平行， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形，，都是平行四边形， ∴， ∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形． 故结论③正确． 故选：B 10．D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和二次根式有意义的条件，根据的正负一一判断即可； 【详解】解：根据二次根式有意义的条件确定的取值范围 ，被开方数， ∴， ∴直线的图象与轴交于负半轴或原点；故选项A错误； 选项B和D中 ∵直线的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大， ∴， ∴直线的图象与轴交于正半轴， 而当时，， ∴可为正也可为负； 若为正时，的绝对值大于的绝对值， 故选项D正确； 若为负时，的绝对值小于的绝对值， ∴选项B错误； 选项C中， ∵直线的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小， ∴， 而当时，， ∴， ∴直线经过一、三、四象限，故选项C错误； 故选项为： D. 11． 【分析】本题涉及到一次函数、等腰三角形的性质．结合图形，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 首先通过直线表达式求出点A的坐标，再利用等腰三角形和角度相等的条件构造全等三角形，从而求出点C的坐标． 【详解】解：当时，，解得，所以点A的坐标为． 过点C作轴于点D．设直线与轴交于点， 当时， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 则，． 又，， ，即， ， ． 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查坐标与平移，正比例函数的图象，根据平移得到的纵坐标为，代入，求出的值，进而求出A点与对应点点的距离，即为B与其对应点间的距离． 【详解】解：由平移，可知：轴，A点与对应点点的距离等于B与其对应点间的距离， ∵， ∴的纵坐标为， ∴当时，则：， ∴， ∴点B与其对应点间的距离为； 故答案为：4． 13．13或24或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，难度不大，掌握平移性质是解题关键．根据直线解析式求出点，，，再根据为等腰三角形，分三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：， 将代入，则，, ∴点，， ∴， 由平移可知：，， ∵为等腰三角形， 当时，如图1： 设，则， ∵， ∴， 解得：，即； 当时，如图2： 当时，如图3： 则， ∴， 综上所述平移的距离为或或． 故答案为：或或． 14． 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，如图1，过A点作于E，连接，由图2可得，当点P与点B重合时，，当P与E重合时，，当点P到达点C时，，据此先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1，过A点作于E，连接， 根据图2知：当点P与点B重合时，， 当P与E重合时，， ∴， ∴， 当点P到达点C时，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．2或7 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，根据函数图象可得当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6，，由矩形的性质可得，则；求出，再分点Q在上，点Q在上和点Q在上，根据的面积是3分别建立方程求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵点P是中点， ∴； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 综上所述，x的值为2或7， 故答案为：2或7． 16．(1)；点A的坐标为； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入求出a的值，再将所得点A的坐标代入即可解决问题； （2）结合（1）中求出的k值进行计算即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， 所以点A的坐标为． 将点代入得， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ∴，即， 解得； （3）解：由（1）可知，点A的坐标为，根据函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 所以当时，x的取值范围是． 17．(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得． 18．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， (2) (3)或 【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案； （2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可； （3）根据（2）列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积是6 ∴ 解得 ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， （2）作于点， 如图，当时， 如图，当时， 如图，当时， 综上可知， （3）当时， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或 19．(1)，， (2)， (3)两人相距米时，的值为或或 【分析】本题考查函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用． （1）由知，，两地相距米，利用速度路程时间结合图象即可得到甲的速度和乙的速度； （2）根据图象数据即可解答； （3）分三种情况：当两人相遇前，当两人相遇后，当甲到地，乙返回距地米时，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：由知，，两地相距米， 由图象可得，甲用分钟到达地， 甲的速度为（米/分钟）， 乙用分钟回到地， 乙的速度为（米/分钟）， 故答案为：，，； （2）解：如图， 点表示乙到达地， ， 此时甲所走路程是（米）， 故答案为：，； （3）解：当两人相遇前，， 解得； 当两人相遇后，， 解得：， 当甲到地，乙返回距地米时，， 解得； 综上所述，当两人相距米时，的值为或或． 20．(1)， (2)存在，． 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；利用构造方程组法求交点的坐标； （2）过点作轴的垂线，垂足为，根据菱形的性质，利用平移的思想，分类解答即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为． 由题意，得， 解得 一次函数的解析式为． 由， 解得 即． （2）解：过点作轴的垂线，垂足为． 则， 在中，由勾股定理得， 在轴上存在点，使以为边，点为顶点的四边形为菱形． ①将向左平移5个单位长度，得，此时菱形为． ②将向右平移5个单位长度，得，此时菱形为． ③将沿轴对称，得，此时菱形为． 满足题意得点有． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理求边长，菱形的判定和性质，平移求坐标，轴对称，交轨法求交点坐标，熟练掌握待定系数法，平移，菱形的判定是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$