第23章相似三角形知识清单 2025—2026学年华东师大版九年级上册

相似三角形 1.成比例线段的概念： 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：（或a：b=c：d） (1) 线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， (2) 线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 (3) 比例中项:若的比例中项. 2.成比例线段的结论： (1) 如果，那么 (2) 如果，那么 3.比例式的性质 (1) 比例的基本性质（比例式转化为乘积式）: (2) 变换性质（更比定理） 由, 1） 交换比例内项得： 2） 交换比例外项得： 3） 内外项同时交换得：等式两边加1或减1得 (3) (4) 4.黄金分割 一点将线段分为长短两段，若较长线段与整段线段的比等于较短线段与较长线段的比，则该点为线段的黄金分割点，该比例称为黄金分割比.（） A B C A B C BC:AB=AC:BC AB=BC:AC AC:AB=BC:AC AB=BC:AC 黄金分割比= 5.平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF时，都可得到 = . = ，= ， 语言描述如下： = ， = ， = . 上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A型 X型 由DE∥BC可得：. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ，= ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 6. 相似三角形 （1）定义： 1）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。用符号“∽”表示. 2）相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比. （2）相似三角形性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2） 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3）相似三角形周长的比等于相似比 4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （3）相似三角形的判定定理： 1）对应角相等，对应边成比例的三角形，是相似三角形; 2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似; 用数学语言表述如下： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 3）两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); 用数学语言表述如下： ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E∴△ABC∽△DEF 4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; 用数学语言表述如下： ∵ ,∠A＝∠D∴△ABD∽△DEF 5）三边对应成比例的两个三角形相似; 用数学语言表述如下： ∵ ＝ ∴△ABD∽△DEF 6）直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 用数学语言表述如下： ∵∠C＝∠F ＝90° ∴△ABD∽△DEF 7）直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似 （即：射影定理）.用数学语言表述如下： ∵∠BAC＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CBA∽△CAD （4）三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL 相似三角形 的判定[来源:Zxxk.Com] 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 （5）相似三角形常见模型 1）A型 2） X型 3） 反8型 4） 反A型（公共角模型） 5） 双垂直模型 6） 三垂直模型 7） 一线三等角相似模型 8） 手拉手相似模型 9） 倒数模型（三平行模型） （6） 相似三角形常见结论 若△ABC∽△DCB, 则＝AD.AC(此类型比例式最常用) C E D B A C A D B. 7. 相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质[来源:学&科&网] 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例 2）相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 3）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方 8. 位似图形 （1）定义： 1）定义1：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 2）定义2：由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小 （2）性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，到位似中心的距离之比都等于位似比。 学科网（北京）股份有限公司 $$