1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （第1课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言描述空间中的点、直线和平面 会求点的位置向量、直线的方向向量与平面的法向量 培养直观想象、数学抽象的核心素养 新知导入 1. 空间向量可以解决立体几何中哪些问题？ 可以解决立体几何中：//，⊥，d，θ 2. 利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？ 空间向量 几何要素 对应关系 本节（1.4）我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. 新知探究 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 新知探究 问题1 如何用向量表示空间中的一个点？ （提示：向量的坐标表示） O P 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示。 点→点+位置向量 点P 的位置向量 新知探究 问题2 我们知道，空间中给定一个点 A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线 l ? （用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点） A B 追问1 点A与向量 能否确定直线AB上的任意一点P的位置？ P 过点A作 ，则A、B两点即可确定一条直线 点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 追问2 假设O是空间任意一点，又可以怎样表示 ？ 将 带入①式，得 O 空间直线的向量表示式 线→点+方向向量 新知探究 回忆 在立体几何中，如何确定一个平面？ 基本事实 不共线的三点确定一个平面. （1）直线和直线外一点确定一个平面. （2）两条相交直线确定一个平面. （3）两条平行直线确定一个平面. ⟹ 推论 问题3.1 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? 两条相交直线的方向向量 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的有序实数对(x, y)，使得 α • O • P 这样，点O与向量 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用. 新知探究 问题3.1 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? 进一步地, 如右图示, 取定空间任意一点O, 可以得到, 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x, y, 使 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. α P C O A B 空间平面ABC的向量表示式 面→点+两个不共线向量 新知探究 问题3.2 空间中一点与一个向量是否可以表示一个平面? 如果可以，如何表示？ （给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.） 如图示. 直线l⊥α. 取直线l的方向向量 , 我们称向量 为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量 , 那么过点A, 且以向量 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合 α A l • 追问 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系? m P • 一个平面的法向量不唯一，与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. 面→点+一个平面法向量 注意：1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 归纳小结 空间中的点、直线和平面的向量表达式 向量表达式 备注 点 点+位置向量 直线 平面 点+直线方向向量 点+两个不共线向量 点+一个平面法向量 典例分析 问题4 如何求直线的方向向量与求平面的法向量？ 例1 如图示,在长方体ABCD –A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,以D为原点, DA,DC,DD1、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线A1M的方向向量 (2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M 分析：（1）求直线的方向向量，就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线是平行或重合的； （3）平面MCA1 可以看成由 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量. （2）平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出； 典例分析 A C D B C1 D1 B1 A1 M 例1 (1)求直线A1M的方向向量;(2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. 解: (1)∵AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, ∴ =(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. ∴M(3,2,0), A1(3,0,2). ∴ =(0,-2,2) ∴直线A1M的方向向量为 =(0,-2,2) (2)∵y轴垂直于平面BCC1B1， (3)∵AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, ∴M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 设 =（x, y, z）是平面MCA1 的法向量，则 于是 =（2, 3, 3）是平面MCA1 的一个法向量. 取z =3, 则x=2, y=3. 定义法 待定系数法 方法归纳 直线的方向向量和平面的法向量的求法 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 课后练习 课本练习 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”. (1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量; （ ） (2) 若 是直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是直线l的方向向量; （ ） (3) 在空间直角坐标系中， 是坐标平面Oxy的一个法向量. （ ） 2. 在平行六面体ABCD –A1B1C1D1中， O是BD1与B1D的交点.以 为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量. A C D B C1 D1 B1 A1 N O √ × √ 课后练习 课本练习 3. 在长方体ABCD –A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 以D为原点, 以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 空间中点、直线的向量表示 题型一 题型探究 【例1】(1)若,在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为( @12@ ) A. B. C. D. A [解析] <m></m> ,故选A. 【例1】(2)从点 沿向量 的方向取线段长 ，则 点的坐标为( @14@ ) A. B. C. D. A [解析] 设 <m></m> 点坐标为 <m></m> ，则 <m></m> , 由题意知 <m></m> ，即 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 解得 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ，<m></m>，，，即点<m</m>的坐标为 <m></m> . 空间中点、直线的向量表示 题型一 题型探究 【例1】(3)在如图所示的空间直角坐标系中， 为正方体， 棱长为1，则直线 的一个方向向量为_________，直线 的一个方向 向量为________________________. [解析] <m></m> ， <m></m> ， ∴直线 <m></m> 的一个方向向量为 <m></m> . <m></m> ， <m></m> ， ∴直线 <m></m> 的一个方向向量为 <m></m> . <m></m> <m></m> （答案不唯一） 空间中点、直线的向量表示 题型一 题型探究 提分笔记 1.求空间中点的坐标时，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程（组），把向量运算转化为代数运算，解方程（组）可得点的坐标. 2.求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量，其关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量.注意直线的方向向量有无数个. 空间平面的向量表示 题型二 题型探究 【例2】 在正方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 分别为棱 <m></m> ， <m></m> 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面 <m></m> 的一个法向量； (2)平面 <m></m> 的一个法向量. [解析](1) 设正方体 <m></m> 的棱长为2，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 连接 <m></m> ，易知 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 为平面 <m></m> 的一个法向量. (2)易知 <m></m> ， <m></m> . 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， ∴ <m></m> ∴ <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> ， <m></m> ， 即 <m></m> 为平面 <m></m> 的一个法向量. 空间平面的向量表示 题型二 题型探究 解题感悟 求平面的法向量的步骤 （1）设平面的法向量为 （2）在平面内选取两个不共线的向量, ; （3）由两个不共线的向量与法向量 垂直的关系列出方程组 （4）解方程组; （5）赋非零值:取法向量中一个坐标为非零值; （6）得到平面的一个法向量. 课堂达标 1.已知平面 上的三点 ， ， ，则平面 的一个法向量为( @24@ ) A. B. C. D. B [解析] 由已知得 <m></m> ， <m></m> ， 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 即 <m></m> 取 <m></m> ，可得 <m></m> ， <m></m> ，所以平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> . 课堂达标 2. 给出下列说法： ①一个平面的法向量是唯一的； ②一个平面的所有法向量都是同向的； ③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的； ④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量. 其中正确的序号是_______. ③④ [解析] 一个平面的法向量有无数个，故①中说法错误；一个平面的所有法向量不一定同向,故②中说法错误;易知③④中说法正确. 课堂达标 3. 已知点 ， ， 为线段 上一点，且 ，则点 的坐标为_ ___________. <m></m> [解析] 设 <m></m> ， <m></m> 为线段 <m></m> 上一点，且 <m></m> ， <m></m> ，即 <m></m> ， ∴ <m></m> ， <m></m> .因此点 <m></m> 的坐标为 <m></m> . 课堂达标 4. 在棱长为1的正方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，求平面 <m></m> 的一个法向量. [解析] 如图，以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴建立空间直角坐标系. 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <</m> ， <m></m> . 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> . 由 <m></m> ， <m></m> ，得 <m></m> ∴ <m></m> 取 <m></m> ，可得 <m></m> , <m></m> ,∴平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> . 课堂小结 1.空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 2.求直线的方向向量 3.求平面的法向量 知识要点 感谢聆听! $