专项巩固训练卷(5)整式运算的几种常考题型-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

全程时习测试卷·八年级数学·上册 ②x-1=1,解得x=2; ③x-1=-1且2x+2与x+6的差为偶数， 解得x=0. 综上，x的值为4或2或0. 第十七章 因式分解 基础过关检测卷 1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.B 10.A [解析]∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)=3x2- x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=(x-2)2≥0,∴M≥N.故 选A. 11.4a(x+y)(x-y) 12.-3 13.x2+3x 14.2024 15.6或-10 16.25 17.65 63 18.15 57 [解析]∵m-n>1,m,n均为正整数，∴m-n≥ 2,∴m≥n+2.当m=n+2时，由(n+2)2-n2=4+4n产 生的智慧优数为8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52, 56,60,64,68,72,76,80,⋯;当m=n+3时，由(n+3)2- n2=9+6n产生的智慧优数为15,21,27,33,39,45,51,57, 63,69,75,81,⋯;当m=n+4时，由(n+4)2-n2=16+ 8n产生的智慧优数为24,32,40,48,56,64,72,80,⋯;当m =n+5时，由(n+5)2-n2=25+10n产生的智慧优数为 35,45,55,65,75,85,⋯;当m=n+6时，由(n+6)2-n2= 36+12n产生的智慧优数为48,60,72,84,⋯;当m=n+7 时，由(n+7)2-n2=49+14n产生的智慧优数为63,77, 91.综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8, 12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45, 48,51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,⋯故第3个智慧 优数是15,第23个智慧优数是57.故答案为15;57. 19.解：(1)原式=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y). (2)原式=(m2-4m+4)2=(m-2)?. 20.解：∵a2+b2-4a-10b+29=0, ∴(a2-4a+4)+(b2-10b+25)=0, ∴(a-2)2+(b-5)2=0, ∴a-2=0,b-5=0,∴a=2,b=5. 当腰长为5时，等腰三角形的周长为5+5+2=12; 当腰长为2时，2+2<5,构不成三角形， ∴等腰三角形的周长为12. 21.解：设另一个因式是(3x+n). 根据题意，得3x2+10x+m=(x+4)(3x+n). 整理，得3x2+10x+m=3x2+(n+12)x+4n, ±=42=10解得m=2, ∴另一个因式是(3x-2),m的值是-8. 22.解：(1)(n+2)(4n-8)+17=4(n+2)(n-2)+17= 4(n2-4)+17=4n2-16+17=4n2+1, ∴(n+2)(4n-8)+17=4n2+1. (2)4n2+4n+1=(2n+1)2, 4n2-4n+1=(2n-1)2, 4n4+4n2+1=(2n2+1)2, 所以新增单项式为4n或-4n或4n?. 23.(1)解：令a2-4a=B, 则原式=B(B+8)+16=B2+8B+16=(B+4)2, 将“B”还原，原式=(a2-4a+4)2=(a-2)?. (2)证明：原式=(2n2+5n+2)(2n2+5n)+1. 令2n2+5n=C, 则原式=(C+2)C+1=C2+2C+1=(C+1)2. 将“C”还原，原式=(2n2+5n+1)2. ∵n为正整数， ∴2n2+5n+1为正整数， ∴(2n+1)(n+2)(2n2+5n)+1的值一定是某个整数的 平方. 24.解：(1)2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b). (2)a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). 如答图.(所画图形不唯一) a b b b b a 24题答图 25.解：(1)③ (2)不彻底，最后结果为(x+2)?. (3)设x2-6x=a, 原式=(a+8)(a+10)+1=a2+18a+81=(a+9)2= (x2-6x+9)2=(x-3)?. 26.解：(1)52+22 (2)-12 (3)-1 (4)S=x2+4y2+4x-12y+k=x2+4x+4+4y2-12y+9- 13+k=(x+2)2+(2y-3)2+k-13. 因为S为“完美数”, 所以k-13=0,解得k=13. 专项巩固训练卷(五) 整式运算的几种常考题型 1.解：(1)原式=2a-ab+2-b-a+ab-2=a-b. (2)原式=[(x3y2-x2y)-(x2y-x3y2)]÷x2y=(x3y2- x2y-x2y+x3y2)÷x2y=(2x3y2-2x2y)÷x2y=2xy-2. 2.解：存在. 因为(x+m)(2x2-kx-3)=2x3-3x2-5x+6, 所以2x3-kx2-3x+2mx2-kmx-3m=2x3-3x2-5x+6, 所以2x3+(-k+2m)x2+(-3-km)x-3m=2x3-3x2- 5x+6, 所以-3m=6,-k+2m=-3, 所以m=-2,k=-1. 3.解：(1)原式=[(3x-2y)-1]2=(3x-2y)2-2(3x-2y)+ 1=9x2-12xy+4y2-6x+4y+1. (2)原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]-[(a-c)-b]2 =(a-c)2-4b2-[(a-c)2-2b(a-c)+b2] =(a-c)2-4b2-(a-c)2+2b(a-c)-b2 =-5b2+2ab-2bc. 4.解：20252-4 050×2024+20242=20252-2×2025× 2024+20242=(2025-2024)2=1. 5.解：∵(x+y)2=18,(x-y)2=6, ∴x2+y2+2xy=18,x2+y2-2xy=6, ∴x2+y2=12,xy=3. (1)x2+y2=12. (2)x2+3xy+y2=12+3×3=21. 6.解：原式=2(a2-1)+(a2-4a+3a-12)=2a2-2+a2- a-12=3a2-a-14. 当a=2时，原式=3×(2)2-2-14=-55 ·18· 参考答案及解析 7.解：原式=m2-4m+4+(8m3+3m3)÷m=m2-4m+4+ 11m2=12m2-4m+4. 由3-5m<-7,解得m>2. ∵m为满足3-5m<-7的最小整数， ∴m=3, 当m=3时，原式=12×32-4×3+4=100. 8.解：原式=x2-2xy+y2-x2+9y2=10y2-2xy. 解方程组2.)=2.解得{=4 ∴原式=10×42-2×3×4=160-24=136. 9.解：原式=[(a+b)-(a-b)]2=(a+b-a+b)2=(2b)2 =4b2. la-11+(6一-)=0 a=1,B原式=4×(3)2= 10.解：(1)原式=3ab(3c-2ab+4c2). (2)原式=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)(5x-y)=(x- 2y)[2x+3y+2(5x-y)]=(x-2y)(2x+3y+10x-2y) =(x-2y)(12x+y). 11.解：(1)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. (2)原式=(x-1)-b2(x-1)=(x-1)(1-b2)=(x- 1)(1+b)(1-b). 12.解：(1)原式=(m3+2m2)-3(m+2)=m2(m+2)-3(m+ 2)=(m2-3)(m+2). (2)原式=(9a2-6a+1)-4b2=(3a-1)2-4b2=(3a- 1+2b)(3a-1-2b). 13.解：(1)原式=m2-4mn+4n2-n2=(m-2n)2-n2=(m- 2n+n)(m-2n-n)=(m-n)(m-3n). (2)原式=x2-8x+16-y2-4y-4=(x-4)2-(y+2)2 =(x+y-2)(x-y-6). 14.解：(1)如答图①. 1、 ,2 1 3 3+2=5 14题答图① 由答图①可知x2+5x+6=(x+2)(x+3). (2)如答图②. 2、 -1 1 -3 -1-6=-7 14题答图② 由答图②可知2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). 15.解：(1)∵x-y=4,x2+y2=40, ∴(x-y)2=42, ∴x2+y2-2xy=16, ∴40-2xy=16, 解得xy=12. (2)①(x-1)?[解析]设x2-2x=y,原式=(y-1)(y+ 3)+4=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=[(x- 1)2]2=(x-1)?,故答案为(x-1)?. ②(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2. (3)设2024-x=a,x-2025=b, ∴a+b=2024-x+x-2025=-1. ∵实数x满足(2024-x)2+(x-2025)2=50, ∴a2+b2=50. ∵(a+b)2=(-1)2,.a2+b2+2ab=1, 即50+2ab=1,2ab=-49,ab=-42, (2024-x)(x-2025)=-42 第十八章 分式 基础过关检测卷 1.A 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C [解析]:f(1)=2+1=1.f(2)=3()=3f(3) 八与)÷n- r)--()一(2)- ()=3+3=2.f(3)+(3)=3+2=2,f(4)+ (4)=5+号=2,f(101)+(o)=531+5一=2, (o)+(10)+()++(3)+(2)+f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1 =201. 11.1 12.0或2 13.n<2且1n≠214.6 15.1013 16.④ 17.5 18.4 [解析]∵+3,=3,,即x+y=3xy, 3x+y+3 3(x+y)-2y-3y-y=4 19.解(1)原式=-(x+2)2 (2)原式= 20.解:(1)214=1,,方程两边乘(x+2)(x-2), 得x(x+2)-1=x2-4. 去括号，得x2+2x-1=x2-4. 移项、合并同类项，得2x=-3,解得x=-2 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)≠0, x=-2是原分式方程的解. (2)、-1=x+1 方程两边乘(x-1)(x+1), 得x(x+1)-(x+1)(x-1)=2(x-1), 即x2+x-x2+1=2x-2. 移项、合并同类项，得x=3. 检验：当x=3时，(x+1)(x-1)≠0, ∴x=3是原分式方程的解. ·19· 见此图标眼即刻扫码 分层训练 助力学习进阶 新 专项巩固训练卷(五) 整式运算的几种常考题型 ?类型一 整式的混合运算 1.计算下列各题： (1)(a+1)(2-b)-a(1-b)-2; (2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y. 2.是否存在m,k,使(x+m)(2x2-kx-3)=2x3-3x2-5x+6成立? 若存在，求出m,k的值；若不存在，请说明理由. ?类型二 乘法公式的运用 ?类型三 整式的化简求值 3.计算： (1)(3x-2y-1)2; 6.先化简，再求值：2(a+1)(a-1)+(a+3)(a-4),其中a=2 (2)(a+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2. 7.先化简，再求值：(m-2)2+[(2m)3+3m3]÷m,其中m为满足 3-5m<-7的最小整数. 4.计算：20252-4050×2024+20242. 8.先化简，再求值：(x-y)2-(x+3y)(x-3y),其中x,y满足 2.+)=2 5.已知(x+y)2=18,(x-y)2=6,分别求下列式子的值： (1)x2+y2; (2)x2+3xy+y2. 9.先化简，再求值：(a+b)2+(a-b)2-2(a+b)(a-b),其中la-11+ 6一)=0 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 八年级数学 上册 第 29 页 即刻扫码 ?类型四 因式分解 见此图标眼即刻扫码分层训练 助力学习进阶 方法一 提公因式法 10.把下列各式分解因式： (1)9abc-6a2b2+12abc2; (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y). 方法二 公式法 11.把下列各式分解因式： (1)(x2+y2)2-4x2y2; (2)(x-1)+b2(1-x). 方法三 分组分解法 12.把下列各式分解因式： (1)m3+2m2-3m-6; (2)9a2-4b2-6a+1. 方法四 拆、添项法 13.把下列各式分解因式： (1)m2-4mn+3n2; (2)x2-y2-8x-4y+12. 方法五 十字相乘法 14.新考向某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分 解因式.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线 的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 如：将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式，如图，x2+3x+2= (x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3). 父23-1×2+1×3=1 14题图 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6; (2)2x2-7x+3. 八年级数学 上册 第 30 页 方法六 换元法 15.阅读材料A:利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,可以解 决很多的数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,ab=1, 所以(a+b)2=9, 所以a2+b2+2ab=9, 所以a2+b2+2×1=9,得a2+b2=7. 材料B:在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一 个新的字母代替(即换元法),不仅可以简化要分解的多项式的 结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分 解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小明同学 用换元法对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解 的过程. 解：设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+1)2.(第四步) (1)请根据材料A,解答问题：若x-y=4,x2+y2=40,求xy 的值； (2)请根据材料B,解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请 你写出该因式分解的最后结果____; ②因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1; (3)综合运用： 若实数x满足(2024-x)2+(x-2025)2=50,求(2024- x)(x-2025)的值.