22.1二次函数的图象和性质3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

75 22.1　二次函数的图象和性质3 1. 二次函数的解析式有三种常见形式: (1) 一般式: ;(2) 顶点式: ;(3) 交点式: . 2. 用待定系数法求二次函数的解析式的步骤: (1) 设:根据题中已知条件,合理设出 ; (2) 代:把已知点的坐标代入所设的二次函 数解析式中,得到关于解析式中待定系数的 方程(组); (3) 解此方程(组),求出 ; (4) 还原:将求出的待定系数还原到解析式 中,求得解析式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例 分别求出符合下列条件的二次函数解析式: (1) 二次函数图象经过点(-1,0),(1,2),(0,3); (2) 二次函数图象的顶点坐标为(-3,6),且经 过点(-2,10); (3) 二次函数图象与x 轴的交点坐标为(-1, 0),(3,0),与y轴交点的纵坐标为9. (1) 设一般式y=ax2+bx+c,把三个点 的坐标代入得到关于a,b,c的方程组,解方程 组求出a,b,c的值即可;(2) 由于已知顶点坐 标,则可设顶点式y=a(x+3)2+6,然后把 (-2,10)代入求出a 的值即可;(3) 由于已知 抛物线与x 轴的两个交点坐标,则可设交点式 y=a(x+1)(x-3),然后把(0,9)代入求出a 的值即可. 解答: 解有所悟:在利用待定系数法求二次函数解析式 时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出 解析式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线 上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一 次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴 时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线 与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式 来求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 一条抛物线和抛物线y=-2x2 的形状、开 口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该 抛物线对应的函数解析式为 ( ) A. y=-2x2+4x+1 B. y=-2x2-4x+1 C. y=-4x2-4x+2 D. y=-4x2+4x+2 2. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过(1,-1), (2,-4),(0,4)三点,则a,b,c的值分别是 ( ) A. -1,-6,4 B. 1,-6,-4 C. -1,-6,-4 D. 1,-6,4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 3. 二次函数的图象如图所示,则这个二次函数 的解析式为 ( ) 第3题 A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x-3 D. y=x2+2x+3 4. 小聪在画一个二次函数的图象时,列出了y 与x的部分对应值如下表: x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … 该二次函数的解析式为 . 5. 对称轴为直线x=-2,顶点在x 轴上并与 y轴交于点(0,3)的抛物线对应的函数解析 式为 . 答案讲解 6. 如图,抛物线y=ax2+bx+4经过 点A(-3,0),与y 轴交于点C, 点B 在抛物线上,CB∥x轴,且AB 平分∠CAO,则此抛物线对应的函数解析式 为 . 第6题 7. 如图,△AOB 是等边三角形,且点O,A 的 坐标分别为(0,0),(2,0).若抛物线经过 △AOB 的三个顶点,且B 为抛物线的顶点, 求该抛物线对应的函数解析式. 第7题 [综合提升] 8. 设抛物线l:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点 为D,与y 轴的交点为C,我们称以C 为顶 点,且过点D 的抛物线为抛物线l的“伴随 抛物线”,则抛物线y=x2-4x+1的“伴随 抛物线”对应的函数解析式为 . 答案讲解 9. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形,经过A(-2, 0),B0,83 ,C 三点的抛物线y= ax2+bx+83 (a<0)与x轴的另一个交点 为D. (1) 求这条抛物线对应的函数解析式; (2) 若R 是抛物线上的点,△ADR 的面积 是▱OABC 面积的34 ,求点R 的坐标. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 35 (2) ∵ 抛物线C的开口向下,对称轴为直线x=1,∴ 当 x>1时,y随x的增大而减小,当x<1时,y随x的增大 而增大.当x=1时,y=2;当x=3时,y=-2.∴ 当0≤ x≤3时,该二次函数的函数值y的取值范围是-2≤y≤ 2.(3) 将抛物线C先向左平移2个单位长度,再向上平移 1个单位长度后,所得抛物线C'对应的函数解析式为 y=-(x-1+2)2+2+1,即y=-(x+1)2+3. 7. D 解析:抛物线y=a(x-1)2-a 的对称轴为直线 x=1,顶点坐标为(1,-a).当a>0时,在-1≤x≤4中, 函数有最小值-a,∵ y 的最小值为-4,∴ -a=-4. ∴ a=4.当a<0时,在-1≤x≤4中,当x=4时,函数有 最小值,∴ 9a-a=-4,解得a=-12. 综上所述,a的值 为4或-12. 8. 2 解析:① 由题图,知当x=2时,函数值大于0,即 y=4a+2b+c>0,故①正确.② 由题图,可知a<0,b> 0,c>0,∴ abc<0,故②正确.③ 当x=-1时,y=a- b+c=0,即b=a+c>a-c,故③错误.④ ∵ 图象的对称 轴是直线x=1,∴ -b2a=1 ,即a=-b2. 又∵ a-b+ c=0,∴ 3b=2c,故④错误.⑤ 当x=1时,y的值最大,此 时,y=a+b+c;而当x=m 时,y=am2+bm+c,∴ a+ b+c≥am2+bm+c.∴ a+b≥am2+bm,即a+b≥ m(am+b),故⑤错误.综上所述,正确的个数为2. 22.1 二次函数的图象和性质3 知识梳理 1. (1) y=ax2+bx+c(a≠0) (2) y=a(x-h)2+k (a≠0) (3) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2. (1) 二 次函数的解析式 (3) 待定系数的值 典例演练 典例 (1) 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.根据题 意,得 a-b+c=0, a+b+c=2, c=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-2, b=1, c=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 二次函数解析式为 y=-2x2+x+3.(2) 设二次函数解析式为y=a(x+ 3)2+6.把(-2,10)代入,得a×(-2+3)2+6=10,解得 a=4.∴ 二次函数解析式为y=4(x+3)2+6.(3) 设二 次函数解析式为y=a(x+1)(x-3).易得二次函数图象 与y轴交于点(0,9).把(0,9)代入,得a×1×(-3)=9, 解得a=-3.∴ 二次函数解析式为y=-3(x+1)(x- 3)=-3x2+6x+9. 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. y=x2-6x+5 5. y= 3 4x 2+3x+3 解析:设抛物线对应的函数解析 式为y=a(x+2)2.把(0,3)代入,得4a=3,解得a= 3 4.∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 3 4 (x+2)2= 3 4x 2+3x+3. 6. y=- 1 6x 2+56x+4 解析:∵ 抛物线y=ax2+ bx+4与y轴交于点C,∴ C(0,4).∴ OC=4.∵ A(-3, 0),∴ OA=3.∴ 易得 AC=5.∵ AB 平分∠CAO, ∴ ∠BAC= ∠BAO.∵ BC ∥x 轴,∴ ∠CBA = ∠BAO.∴ ∠BAC=∠CBA.∴ CB=CA=5.∴ B(5, 4).把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx+4,得 9a-3b+4=0, 25a+5b+4=4, 解得 a=-16 , b=56. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此抛物线对应的函 数解析式为y=- 1 6x 2+56x+4. 7. ∵ 点O,A 的坐标分别为(0,0),(2,0),∴ OA=2.如 图,过点B 作BC⊥OA 于点C.∵ △AOB 是等边三角形, ∴ ∠AOB=60°,OB=OA=2.∴ OC=AC=1.∴ 易得 BC=3.∴ 点B 的坐标为(1,3).设该抛物线对应的函 数解析式为y=a(x-1)2+3.把O(0,0)代入,得a(0- 1)2+3=0,解得a=-3.∴ 该抛物线对应的函数解析 式为y=-3(x-1)2+3. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 8. y=-x2+1 解析:∵ 抛物线y=x2-4x+1=(x- 2)2-3,∴ 顶点D 的坐标为(2,-3),与y轴的交点C 的 坐标为(0,1).∴ 可设“伴随抛物线”对应的函数解析式为 y=ax2+1.把D(2,-3)代入,得-3=a×22+1,解得 a=-1.∴ 该“伴随抛物线”对应的函数解析式为y= -x2+1. 9. (1) 由题意,知OA=2=BC,∴ 易得该抛物线的对称 轴为直线x=1,则x=-b2a=1①. 将点A 的坐标代入, 得0=4a-2b+83②. 联立①②并解得 a=-13 , b=23. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 该 抛物线对应的函数解析式为y=- 1 3x 2+23x+ 8 3. (2) ∵ y=- 1 3x 2+23x+ 8 3=- 1 3 (x-1)2+3,∴ 该 抛物线的顶点坐标为(1,3).令y=0,易得x=-2或x= 4.∴ 点D 的坐标为(4,0).∵ △ADR 的面积是▱OABC 面积的3 4 ,∴ 1 2AD ·|yR|= 3 4OA ·OB,则12× [4- (-2)]×|yR|= 3 4×2× 8 3 ,解得yR=± 4 3. 把y= 4 3 代入y=- 1 3x 2+23x+ 8 3 ,解得x=1± 5;把 y=- 4 3 代入y=- 1 3x 2+23x+ 8 3 ,解得x=1± 13.综上所述,点R 的坐标为 1+ 13,-43 或 1- 13,-43 或 1+5,43 或 1-5,43 . 22.2 二次函数与一元二次方程 知识梳理 1. ax2+bx+c=0(a≠0) x 横 2. (1) > 两 不相等 (2) = 两 相等 (3) < 没有 3. 根 横 典例演练 典例1 B 解析:∵ 二次函数y=-x2-2x+m= -(x+1)2+m+1,∴ 该函数图象的对称轴为直线 x=-1.由题图,可知二次函数y=-x2-2x+m 的图象 与x轴的一个交点坐标为(-3,0),∴ 该函数的图象与 x轴的另一个交点坐标为(1,0).∴ -x2-2x+m=0的 解为x1=-3,x2=1. 典例2 将原方程变形为2x2-2x-3=0,一元二次方程 2x2-2x-3=0的根是二次函数y=2x2-2x-3的图象 与x轴交点的横坐标.如图,作出二次函数y=2x2- 2x-3的图象,观察图象,可知方程有两个实数根,两个实 数根分别介于-1与0、1与2之间,先求1与2之间的实 数根.当x=1.8时,y=-0.12<0;当x=1.9时,y= 0.42>0;取1.8和1.9的平均数1.85,当x=1.85时, y=0.145>0,与x=1.8时的函数值异号.∴ 方程的这个 根在1.8和1.85之间.∴ 我们可以把1.8作为根的近似 值.用同样的方法,可得到原方程的另一个根的近似值为 -0.8,∴ 2x2-2x+4=7的根的近似值为-0.8或1.8. 典例2图 典例3 x≤-2或x≥4 解析:函数图象的对称轴为直 线x=1,与x轴的一个交点坐标是(4,0),∴ 另一个交点 坐标是(-2,0).观察题图,知不等式ax2+bx+c≥0的 解集为x≤-2或x≥4. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. x>4或x<0 5. x=-12 6. D 7. (1) x1=3,x2=1.(2) 由题图,知顶点B 的坐标为(2, 2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+2.把A(1, 0)代入,得a(1-2)2+2=0,解得a=-2.∴ 该二次函数 的解析式为y=-2x2+8x-6.(3) ∵ 直线AB 与抛物 线y=ax2+bx+c相交于A,B 两点,∴ 由题图,得mx+ n≥ax2+bx+c的解集为x≥2或x≤1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈