22.1 二次函数的图象和性质2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

34 2×1=3.设D(t,t2)(t>0).∵ S△AOD=S△OBC,∴ 1 2× 2t2=3,解得t=3或t=-3(不合题意,舍去).∴ 点D 的坐标为(3,3).(3) 存在.由题意,得OC= 22+42= 25.① 当OC=OP=25时,P1(-25,0),P2(25, 0).② 当OP=PC时,P 是线段OC的垂直平分线与x轴 的交点.设OC 的中点为D.∵ C(-2,4),∴ D(-1, 2).∴ 易得直线PD 对应的函数解析式为y= 1 2x+ 5 2 , 则易得P3(-5,0).③ 当OC=PC=25时,易得此时 点P 在x轴上,且xP=2xC=-4,则P4(-4,0).综上所 述,符合条件的点P 的坐标为(-25,0)或(25,0)或 (-5,0)或(-4,0). 22.1 二次函数的图象和性质2 知识梳理 1. y轴 (0,k) 上(或下) |k| 2. x=h (h,0) 形 状、开口方向 不同 右(或左) |h| 右 左 3. x= h (h,k) 右(或左) |h| 上(或下) |k| 4. 上 减小 增大 低 小 小 k 下 增大 减小 高 大 大 k 5. b 2a 4ac-b2 4a x=- b 2a -b2a, 4ac-b2 4a 6. (1) 上 <-b2a 减小 >-b2a 增大 =-b2a 小 4ac-b 2 4a (2) 下 <-b2a 增大 >-b2a 减小 =-b2a 大 4ac-b 2 4a 典例演练 典例1 (1) ∵ 抛物线y=x2先向上平移2个单位长度, 再向右平移1个单位长度得到抛物线y=(x-1)2+2, ∴ a=1,h=1,k=2.(2) 抛物线y=(x-1)2+2与抛物 线y=x2 如图所示.(3) >1;=1;小;小;2.(4) ∵ 二次函 数的解析式为y=(x-1)2+2,∴ 这个二次函数图象的 开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2).(5) 由 图象,可知对于一切x 的值,y的取值范围是y≥2. 典例1图 典例2 (1) 当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1, x2=3.∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).当 x=0时,y=x2-2x-3=-3.∴ 抛物线与y轴的交点 坐标为(0,-3).∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴ 抛物 线的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.(2) 二次 函数的图象如图所示.(3) 由图,知当-1≤x≤2时, -4≤y≤0. 典例2图 典例3 B 解析:∵ 图象开口向上,∴ a>0.∵ 对称轴 在y轴的右侧,∴ a与b异号.∴ b<0.∵ 图象与y轴交 于负半轴,∴ c<0.∴ abc>0.故①正确.∵ 对称轴为直 线x=-b2a=1 ,∴ b=-2a.∴ 2a+b=0.故②正确.当 x=-1时,由题图,可得y=a-b+c<0.故③错误.当 x=-1时,y=a-b+c=a+2a+c=3a+c<0.故④正 确.当x=1时,y取得最小值为a+b+c,当x=m 时,易 得am2+bm+c≥a+b+c,即am2+bm≥a+b.故⑤错 误.综上所述,正确的是①②④. 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. 1 5. y3<y1<y2 6. (1) ∵ y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,∴ 抛物线C 的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 (2) ∵ 抛物线C的开口向下,对称轴为直线x=1,∴ 当 x>1时,y随x的增大而减小,当x<1时,y随x的增大 而增大.当x=1时,y=2;当x=3时,y=-2.∴ 当0≤ x≤3时,该二次函数的函数值y的取值范围是-2≤y≤ 2.(3) 将抛物线C先向左平移2个单位长度,再向上平移 1个单位长度后,所得抛物线C'对应的函数解析式为 y=-(x-1+2)2+2+1,即y=-(x+1)2+3. 7. D 解析:抛物线y=a(x-1)2-a 的对称轴为直线 x=1,顶点坐标为(1,-a).当a>0时,在-1≤x≤4中, 函数有最小值-a,∵ y 的最小值为-4,∴ -a=-4. ∴ a=4.当a<0时,在-1≤x≤4中,当x=4时,函数有 最小值,∴ 9a-a=-4,解得a=-12. 综上所述,a的值 为4或-12. 8. 2 解析:① 由题图,知当x=2时,函数值大于0,即 y=4a+2b+c>0,故①正确.② 由题图,可知a<0,b> 0,c>0,∴ abc<0,故②正确.③ 当x=-1时,y=a- b+c=0,即b=a+c>a-c,故③错误.④ ∵ 图象的对称 轴是直线x=1,∴ -b2a=1 ,即a=-b2. 又∵ a-b+ c=0,∴ 3b=2c,故④错误.⑤ 当x=1时,y的值最大,此 时,y=a+b+c;而当x=m 时,y=am2+bm+c,∴ a+ b+c≥am2+bm+c.∴ a+b≥am2+bm,即a+b≥ m(am+b),故⑤错误.综上所述,正确的个数为2. 22.1 二次函数的图象和性质3 知识梳理 1. (1) y=ax2+bx+c(a≠0) (2) y=a(x-h)2+k (a≠0) (3) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2. (1) 二 次函数的解析式 (3) 待定系数的值 典例演练 典例 (1) 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.根据题 意,得 a-b+c=0, a+b+c=2, c=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-2, b=1, c=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 二次函数解析式为 y=-2x2+x+3.(2) 设二次函数解析式为y=a(x+ 3)2+6.把(-2,10)代入,得a×(-2+3)2+6=10,解得 a=4.∴ 二次函数解析式为y=4(x+3)2+6.(3) 设二 次函数解析式为y=a(x+1)(x-3).易得二次函数图象 与y轴交于点(0,9).把(0,9)代入,得a×1×(-3)=9, 解得a=-3.∴ 二次函数解析式为y=-3(x+1)(x- 3)=-3x2+6x+9. 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. y=x2-6x+5 5. y= 3 4x 2+3x+3 解析:设抛物线对应的函数解析 式为y=a(x+2)2.把(0,3)代入,得4a=3,解得a= 3 4.∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 3 4 (x+2)2= 3 4x 2+3x+3. 6. y=- 1 6x 2+56x+4 解析:∵ 抛物线y=ax2+ bx+4与y轴交于点C,∴ C(0,4).∴ OC=4.∵ A(-3, 0),∴ OA=3.∴ 易得 AC=5.∵ AB 平分∠CAO, ∴ ∠BAC= ∠BAO.∵ BC ∥x 轴,∴ ∠CBA = ∠BAO.∴ ∠BAC=∠CBA.∴ CB=CA=5.∴ B(5, 4).把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx+4,得 9a-3b+4=0, 25a+5b+4=4, 解得 a=-16 , b=56. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此抛物线对应的函 数解析式为y=- 1 6x 2+56x+4. 7. ∵ 点O,A 的坐标分别为(0,0),(2,0),∴ OA=2.如 图,过点B 作BC⊥OA 于点C.∵ △AOB 是等边三角形, ∴ ∠AOB=60°,OB=OA=2.∴ OC=AC=1.∴ 易得 BC=3.∴ 点B 的坐标为(1,3).设该抛物线对应的函 数解析式为y=a(x-1)2+3.把O(0,0)代入,得a(0- 1)2+3=0,解得a=-3.∴ 该抛物线对应的函数解析 式为y=-3(x-1)2+3. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 22.1　二次函数的图象和性质2 1. 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象是一条 抛物线,它的对称轴是 ,顶点坐标 是 ,是 由 抛 物 线 y=ax2 向 平移 个单位长度得到的. 2. 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象是一 条抛物线,它的对称轴是直线 ,顶 点坐标是 ,它与二次函数y= ax2 (a≠0)图象的 相同,位置 .它是由抛物线y=ax2 (a≠0)向 平移 个单位长度得到的.当h>0 时,向 平移,当h<0时,向 平移. 3. 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是 一条抛物线,它的对称轴是直线 , 顶点坐标是 ,它是由抛物线y= ax2(a≠0)先向 平移 个单 位长度,再向 平移 个单位 长度得到的. 4. 当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开 口向 .在对称轴的左边,即当x<h 时,y 随x 的增大而 ;在对称轴的右 边,即当x>h时,y 随x 的增大而 . 顶点是抛物线的最 点,此时函数y 取 得最 值,即当x=h 时,y最 值= .当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+ k的开口向 .在对称轴的左边,即当 x<h时,y 随x 的增大而 ;在对称 轴的右边,即当x>h 时,y 随x 的增大而 .顶点是抛物线的最 点,此时 函数y 取得最 值,即当x=h 时, y最 值 = . 5. 利用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)的顶点坐标与对称轴,即y=ax2+bx+ c=a(x+ )2+ ,因此抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 , 顶点坐标是 . 6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象: (1) 当a>0时,抛物线开口向 .在 对称轴的左侧,即当x 时,y 随x 的 增大而 ;在对称轴的右侧,即当 x 时,y 随x的增大而 ;当 x 时,函数y 取得最 值,是 .(2) 当a<0时,抛物线开口向 .在对称轴的左侧,即当x 时,y 随x 的增大而 ;在对称轴的 右侧,即当x 时,y 随x 的增大而 ;当x 时,函数y 取得最 值,是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)是 由抛物线y=x2 先向上平移2个单位长度,再 向右平移1个单位长度得到的. (1) 求a,h,k的值. (2) 在同一平面直角坐标系中,画出抛物线y= a(x-h)2+k(a≠0)与抛物线y=x2 . (3) 观察抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0),当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,函数y 有最 值,最 值是 . (4) 写出这个抛物线y=a(x-h)2+k的开口 方向、对称轴和顶点坐标. (5) 观察抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0),你能 说出对于一切x的值,y的取值范围吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 73 根据抛物线y=x2 上点的平移规律得到 平移后抛物线的顶点坐标,从而得到平移后的 抛物线对应的函数解析式,从而得到a,h,k的 值,通过列表、描点、连线画出抛物线,从而得出 开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等. 解答: 解有所悟:解决抛物线的平移问题时,应先抓住抛 物线的顶点坐标,再看平移方向,也可根据“左加右 减,上加下减”解决问题. 典例2 已知二次函数y=x2-2x-3. (1) 求出抛物线与x 轴的交点坐标、与y 轴的 交点坐标、顶点坐标和对称轴; (2) 在如图所示的平面直角坐标系中,画出这 个二次函数的图象; (3) 当-1≤x≤2时,结合图象直接写出函数y 的取值范围. 典例2图 令y=0,求出x的值,得到二次函数图象 与x轴的交点坐标,令x=0,求得y的值,得到 二次函数图象与y 轴的交点坐标,然后将二次 函数解析式化成顶点式得到顶点坐标和对称 轴,画出二次函数图象,结合图象求出-1≤x≤ 2时y的最小值和最大值,得到y的取值范围. 解答: 解有所悟:在画二次函数的大致图象时,应注意以下 几点:(1) 开口方向;(2) 对称轴;(3) 顶点;(4) 与 x轴的交点;(5) 与y轴的交点;(6) 所画图象尽可 能左右对称. 典例3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,有下列结论:① abc>0;② 2a+b=0; ③ a-b+c>0;④ 3a+c<0;⑤ a+b≥am2+ bm(m 是任意实数).其中,正确的是 ( ) 典例3图 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ③⑤ 首先根据图象得到a,b,c的符号,再根据 对称轴可以得到a 与b之间的关系,利用特殊 值法代入求解当x=-1和x=1时函数的值, 最后利用函数的增减性进行求解. 解答: 解有所悟:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 的位置由a,b共同决定.当a,b同号时,对称轴位 于y轴的左侧;当a,b异号时,对称轴位于y 轴的 右侧.c决定抛物线与y轴的交点位置,当c>0时, 抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴上;当c<0 时,抛物线与y轴的交点位于y 轴的负半轴上.另 外,还要注意x=1,x=-1等特殊值时,二次函数 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 [基础过关] 1. (新疆生产建设兵团中考)已知抛物线y= (x-2)2+1,下列结论错误的是 ( ) A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=2 C. 顶点坐标为(2,1) D. 当x<2时,y随x的增大而增大 2. (株洲中考)已知二次函数y=ax2+bx-c (a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可 能为 ( ) A B C D 3. (泸州中考)抛物线y=- 1 2x 2+x+1经平 移后,不可能得到 ( ) A. 抛物线y=- 1 2x 2+x B. 抛物线y=- 1 2x 2-4 C. 抛物线y=- 1 2x 2+2021x-2022 D. 抛物线y=-x2+x+1 4. 二次函数y=(x-4)(x+2)图象的对称轴 为直线x= . 5. 已知二次函数y=-2ax2+ax-4(a>0)图 象上的三点A(-1,y1),B(1,y2),C(2, y3),则y1,y2,y3的大小关系为 (用“<”连接). 6. 已知二次函数y=-x2+2x+1的图象为抛 物线C. (1) 写出抛物线C 的开口方向、对称轴和顶 点坐标; (2) 当0≤x≤3时,求该二次函数的函数值 y的取值范围; (3) 将抛物线C 先向左平移2个单位长度, 再向上平移1个单位长度后,所得抛物线为 C',请直接写出抛物线C'对应的函数解 析式. [综合提升] 答案讲解 7. (衢 州 中 考)已知二次函数y= a(x-1)2-a(a≠0),当-1≤x≤4 时,y的最小值为-4,则a的值为 ( ) A. 1 2 或4 B. 4 3 或-12 C. -43 或4 D. 4或-12 答案讲解 8. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)图象的对称轴是直线x=1.有下列 结论:① 4a+2b+c>0;② abc<0; ③ b<a-c;④ 3b>2c;⑤ a+b≤m(am+ b)(m 为任意实数).其中,正确的个数为 . 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版)