22.1 二次函数的图象和性质1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

69 第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质1 1. 形如 ( 是常数, ) 的函数,叫做二次函数. 是二次项 系数, 是一次项系数, 是 常数项. 2. 二次函数的图象是 .抛物线与它对 称轴的交点叫做抛物线的 ,顶点是 抛物线的最 点或最 点. 3. 抛物线y=ax2 的对称轴是 ,顶点 是 .当a>0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,a 越大,抛物线的开口越 ;当a<0 时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物 线的最 点,a越大,抛物线的开口越 . 4. 二次函数y=ax2的图象:(1) 当a>0时,在 对称轴的左侧,即当 x<0时,y 随x 的增大 而 ;在对称轴的右侧,即当 x>0时, y 随x 的增大而 ;当 x=0时,函数 y 有最 值,这个值为 . (2) 当a<0时,在对称轴的左侧,即当 x<0 时,y 随x 的增大而 ;在对称轴的右 侧,即当 x>0时,y 随x 的增大而 ; 当 x=0时,函数y有最 值,这个值 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 函数y=(a+1)xa 2-2a-1+(a-4)x+a 是关于x的二次函数,则这个二次函数的解析 式为 . 根据二次函数的定义,可知a 必须满足 a2-2a-1=2且a+1≠0,写二次函数的解析 式时要注意按照字母x的指数进行降幂排列. 解答: 解有所悟:已知一个函数是二次函数,求字母系数 的值时,根据定义必须满足两个条件:① 自变量的 最高次数为2;② 二次项系数不为0.二者缺一不 可.要特别注意二次项系数不为0这个条件. 典例2 某商品每件的进价为30元,现在每件的 售价为40元,每星期可卖出150件.市场调查 反映,如果每件的售价每涨1元(每件的售价不 能高于45元),那么每星期少卖出10件.设每 件涨价x元(x 为非负整数),每星期的销量为 y件. (1) 求y关于x的函数解析式及自变量x的取 值范围; (2) 设每星期的利润为W 元,写出W 关于x的 函数解析式. (1) 由题意,可用x 表示出每星期的销 量,并得到x的取值范围.(2) 根据总利润=销 量×每件利润,可得出W 关于x的函数解析式. 解答: 解有所悟:实际问题中自变量的取值范围的确定: (1) 二次函数自变量的取值范围一般是全体实数, 但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问 题有意义;(2) 确定自变量的取值范围时,需正确列 出不等式或不等式组. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 典例3 填写下表,并在如图所示的同一平面直 角坐标系中,画出函数y=4x2,y= 1 4x 2,y= -4x2,y=- 1 4x 2的图象并回答下列问题: x … -1 0 1 … y=4x2 … … y= 1 4x 2 … … y=-4x2 … … y=- 1 4x 2 … … 典例3图 (1) 抛物线y=4x2的开口方向 ,对称 轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线 y=-4x2 的开口方向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . (2) 抛物线y=4x2 与抛物线y=-4x2 关于 轴对称. (3) 对于抛物线y= 1 4x 2,当x 0时,抛 物线上的点都在x 轴上方;当x 0时, 抛物线从左向右逐渐上升;它的顶点是最 点.对 于 抛 物 线 y= - 1 4x 2,当 x 0时,抛物线从左向右逐渐下降,它 的顶点是最 点. 根据表中提示先填好表格,再描点,根据 表中提供的对应数值作为点的坐标描点,最后 连线;观察图象进行解答. 解答: 解有所悟:抛物线y=ax2以对称轴为“界”,顶点为 “限”,在对称轴的左侧和右侧,它的增减性恰好相反. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列函数中,属于二次函数的是 ( ) A. y=x+2 B. y= 2 x2 C. y=(2x-1)2-4x2 D. y=2-3x2 2. 关于二次函数y=-5x2,下列说法中,正确 的是 ( ) A. 图象的开口向上 B. 当x<0时,y随x的增大而增大 C. 图象的顶点坐标是(-5,0) D. 当x=0时,y有最小值,是0 3. 若函数y=(a-3)x2+x+a是二次函数, 则a不可以取 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说 法不正确的是 ( ) A. y是关于x的二次函数 B. 二次项系数是-10 C. 一次项是100 D. 常数项是20000 5. 已知函数y=2x2 的图象过点(1,y1),(2, y2),(3,y3),则下列结论正确的是 ( ) A. y3>y1>y2 B. y3>y2>y1 C. y2>y1>y3 D. y2>y3>y1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 71 6. 下列不同的情境中,y与x 所满足的函数关 系属于二次函数的是 ( ) A. 正方形的周长y与边长x B. 速度一定时,路程y与时间x C. 正方形的面积y与边长x D. 三角形的高一定时,面积y与底边长x 7. 在二次函数y=-x2+1中,二次项系数、一 次项系数、常数项的和为 . 8. 如果函数y=(m-3)x|m-1|+3x-1是二次 函数,那么m 的值为 . 9. 有下列二次函数:① y=x2;② y=-2x2;③ y= 1 2x 2;④ y=3x2.其中,二次函数的图象开口 从大到小的排列顺序是 (填序号). 10. 已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3. (1) 当x=-2时,求y的值; (2) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标,并求当x为何值时,函数值y随 x的增大而增大. [综合提升] 答案讲解 11. 当ab>0时,函数y=ax2 与函数 y=bx+a的大致图象是 ( ) A B C D 答案讲解 12. 如图,直线l过x 轴上一点A(2, 0),且与抛物线y=ax2 相交于 B,C 两点,点B 的坐标为(1,1), 连接OB,OC. (1) 求直线l和抛物线对应的函数解析式. (2) 若在第一象限内抛物线上有一点D,使 得S△AOD=S△OBC,求点D 的坐标. (3) 在x 轴上是否存在一点P,使△POC 为等腰三角形? 若存在,请求出点P 的坐 标;若不存在,请说明理由(提示:若直线 l1:y1=k1x+b1 与直线l2:y2=k2x+b2 互相垂直,则k1k2=-1). 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 33 1.6a)=8800,化简得a2-80a+700=0,解得a1=10, a2=70.∵ 尽可能地让利顾客,∴ a=70.∴ 租金应降低 70元. 22. (1) 设该工程队原计划每天的绿化任务是x平方米, 则提高工作效率后每天的绿化面积是(1+80%)x 平方 米.依题意,得10x+5×(1+80%)x≥19000,解得x≥ 1000.∴ 该工程队原计划每天的绿化任务至少是 1000平方米.(2) 设 AB=y 米,则 BC=(43+5- 3y)米.依题意,得y(43+5-3y)=180,整理,得y2- 16y+60=0,解得y1=6,y2=10.当y=6时,43+5- 3y=43+5-3×6=30>18,不合题意,舍去;当y=10 时,43+5-3y=43+5-3×10=18.∴ 该花圃的长应设 计为18米,宽应设计为10米. 第二十二章　二次函数 22.1 二次函数的图象和性质1 知识梳理 1. y=ax2+bx+c a,b,c a≠0 a b c 2. 抛物 线 顶点 低 高 3. y轴 原点 上 低 小 下 高 大 4. (1) 减小 增大 小 0 (2) 增大 减小 大 0 典例演练 典例1 y=4x2-x+3 解析:由题意,可得a2-2a- 1=2且a+1≠0,∴ a=3.∴ 当a=3时,二次函数的解 析式为y=4x2-x+3. 典例2 (1) 由题意,得y=150-10x(0≤x≤5且x为整 数).(2) 由题意,得W=(x+40-30)(150-10x)= -10x2+50x+1500. 典例3 填表如下: x … -1 0 1 … y=4x2 … 4 0 4 … y= 1 4x 2 … 1 4 0 1 4 … y=-4x2 … -4 0 -4 … y=- 1 4x 2 … -14 0 - 1 4 … 函数图象如图所示. 典例3图 (1) 向上;y 轴;(0,0);向下;y 轴;(0,0).(2) x. (3) ≠;>;低;>;高. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. C 7. 0 8. -1 9. ③①②④ 10. (1) 把x=3,y=3代入y=ax2,得a= 1 3 ,∴ 二次函 数的解析式为y= 1 3x 2.当x=-2时,y= 1 3× (-2)2= 4 3. (2) ∵ a=13>0 ,∴ 函数图象开口向上,对称轴是 y轴,顶点坐标是(0,0),当x>0时,函数值y 随x 的增 大而增大. 11. C 12. (1) 设直线l对应的函数解析式为y=kx+b.把 A(2,0),B(1,1)代入,得 2k+b=0, k+b=1, 解得 k=-1, b=2. ∴ 直 线l对应的函数解析式为y=-x+2.把B(1,1)代入 y=ax2,得a=1,∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2.(2) ∵ 直 线 l 与 抛 物 线 交 于 B,C 两 点, ∴ y=-x+2, y=x2, 解得 x1=-2, y1=4, x2=1, y2=1. ∴ 点C 的坐标 为(-2,4).S△OBC=S△COA-S△AOB= 1 2×2×4- 1 2× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 2×1=3.设D(t,t2)(t>0).∵ S△AOD=S△OBC,∴ 1 2× 2t2=3,解得t=3或t=-3(不合题意,舍去).∴ 点D 的坐标为(3,3).(3) 存在.由题意,得OC= 22+42= 25.① 当OC=OP=25时,P1(-25,0),P2(25, 0).② 当OP=PC时,P 是线段OC的垂直平分线与x轴 的交点.设OC 的中点为D.∵ C(-2,4),∴ D(-1, 2).∴ 易得直线PD 对应的函数解析式为y= 1 2x+ 5 2 , 则易得P3(-5,0).③ 当OC=PC=25时,易得此时 点P 在x轴上,且xP=2xC=-4,则P4(-4,0).综上所 述,符合条件的点P 的坐标为(-25,0)或(25,0)或 (-5,0)或(-4,0). 22.1 二次函数的图象和性质2 知识梳理 1. y轴 (0,k) 上(或下) |k| 2. x=h (h,0) 形 状、开口方向 不同 右(或左) |h| 右 左 3. x= h (h,k) 右(或左) |h| 上(或下) |k| 4. 上 减小 增大 低 小 小 k 下 增大 减小 高 大 大 k 5. b 2a 4ac-b2 4a x=- b 2a -b2a, 4ac-b2 4a 6. (1) 上 <-b2a 减小 >-b2a 增大 =-b2a 小 4ac-b 2 4a (2) 下 <-b2a 增大 >-b2a 减小 =-b2a 大 4ac-b 2 4a 典例演练 典例1 (1) ∵ 抛物线y=x2先向上平移2个单位长度, 再向右平移1个单位长度得到抛物线y=(x-1)2+2, ∴ a=1,h=1,k=2.(2) 抛物线y=(x-1)2+2与抛物 线y=x2 如图所示.(3) >1;=1;小;小;2.(4) ∵ 二次函 数的解析式为y=(x-1)2+2,∴ 这个二次函数图象的 开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2).(5) 由 图象,可知对于一切x 的值,y的取值范围是y≥2. 典例1图 典例2 (1) 当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1, x2=3.∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).当 x=0时,y=x2-2x-3=-3.∴ 抛物线与y轴的交点 坐标为(0,-3).∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴ 抛物 线的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.(2) 二次 函数的图象如图所示.(3) 由图,知当-1≤x≤2时, -4≤y≤0. 典例2图 典例3 B 解析:∵ 图象开口向上,∴ a>0.∵ 对称轴 在y轴的右侧,∴ a与b异号.∴ b<0.∵ 图象与y轴交 于负半轴,∴ c<0.∴ abc>0.故①正确.∵ 对称轴为直 线x=-b2a=1 ,∴ b=-2a.∴ 2a+b=0.故②正确.当 x=-1时,由题图,可得y=a-b+c<0.故③错误.当 x=-1时,y=a-b+c=a+2a+c=3a+c<0.故④正 确.当x=1时,y取得最小值为a+b+c,当x=m 时,易 得am2+bm+c≥a+b+c,即am2+bm≥a+b.故⑤错 误.综上所述,正确的是①②④. 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. 1 5. y3<y1<y2 6. (1) ∵ y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,∴ 抛物线C 的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈