21.3 实际问题与一元二次方程3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

31 能达到50000元.理由:当每件的售价降低x元时,每件的 销售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根 据题意,得(10-x)(3000+1000x)=50000,整理得x2- 7x+20=0.∵ Δ=(-7)2-4×1×20=-31<0,∴ 该方 程没有实数根.∴ 该批发商场每天卖出该款商品的利润 不能达到50000元. 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. D 5. 190 6. 30% 7. 设每千克应涨价x 元.依题意,得(500-20x)(10+ x)=6000.整理,得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2= 10.∵ 要使顾客得到实惠,∴ x=5.∴ 每千克应涨价5元. 8. (1) 设该市改造老旧小区投入资金的年增长率为x.依 题意,得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=-2.2(不合题意,舍去).∴ 该市改造老旧小区投入 资金的年增长率为20%.(2) 设该市在2022年可以改造 y个老旧小区.依题意,得80×(1+15%)y≤1440×(1+ 20%),解得y≤ 432 23. 又∵ y 为整数,∴ y 的最大值为 18.∴ 该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 9. (1) 设购进A款钥匙扣x 件,B款钥匙扣y 件.依题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解得 x=20, y=10. ∴ 购进A款钥匙 扣20件,B款钥匙扣10件.(2) 设购进m 件A款钥匙扣, 则购进(80-m)件B款钥匙扣.依题意,得30m+25(80- m)≤2200,解得m≤40.设再次购进的A,B两款冰墩墩 钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元.由题意,得w= (45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960.∵ 3>0, ∴ w 随m 的增大而增大.∴ 当m=40时,w 取得最大 值,最大值为3×40+960=1080,此时80-m=80-40= 40.∴ 当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才 能获得最大销售利润,最大销售利润是1080元.(3) 设 B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a- 25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件.依题 意,得(a-25)(78-2a)=90,整理得a2-64a+1020= 0,解得a1=30,a2=34.∴ 将销售价定为每件30元或 34元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为 90元. 21.3 实际问题与一元二次方程3 知识梳理 已知量 面积 典例演练 典例1 2 解析:设道路的宽为xm,则剩余部分可合成 长为(60-x)m、宽为(40-x)m的矩形.根据题意,得 (60-x)(40-x)=2204,整理,得x2-100x+196=0,解 得x1=2,x2=98(不合题意,舍去).∴ 道路的宽为2m. 典例2 (1) 设AB 的长为xm,则BC 的长为(22+2- 3x)m.依题意,得x(22+2-3x)=45,整理,得x2-8x+ 15=0,解得x1=3,x2=5.当x=3时,22+2-3x=22+ 2-3×3=15>14,不符合题意,舍去;当x=5时,22+ 2-3x=22+2-3×5=9<14,符合题意.∴ AB 的长为 5m.(2) 不能围成面积刚好为54m2 的矩形花圃.理由: 设AB 的长为ym,则BC的长为(22+2-3y)m.依题意, 得y(22+2-3y)=54,整理得y2-8y+18=0.∵ Δ= (-8)2-4×1×18=-8<0,∴ 该方程没有实数根.∴ 不 能围成面积刚好为54m2的矩形花圃. 典例3 (1) 根据题意,得AP=tcm,CQ=2tcm,则 CP=(6-t)cm.由题意,得12×2t (6-t)=5,解得t1=1, t2=5.∵ 2t≤8,∴ 0<t≤4.∴ t=1.∴ 当t的值为1时, △PCQ 的面积为5cm2.(2) ∵ ∠ACB=90°,CP=(6- t)cm,CQ=2tcm,∴ CP2+CQ2=PQ2.∴ (6-t)2+ (2t)2=62,解得t=125 或t=0(不合题意,舍去).∴ 当 t的值为125 时,△PCQ 中PQ=6cm.(3) △PCQ 的面积 不能等于10cm2.理由:若△PCQ 的面积等于10cm2,则 1 2× (6-t)×2t=10,化简得t2-6t+10=0.∵ Δ=36- 40=-4<0,∴ 方程无实数根.∴ △PCQ 的面积不能等 于10cm2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 预学训练 1. C 2. B 3. 1.5 4. 5 解析:设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为(27+3-3x)m.根据题意,得x(27+3- 3x)=75,解得x1=x2=5.∴ 垂直于现有墙的墙长是5m. 利用补形法解题 解“借助一面墙,用am长的篱笆围成一个门宽为 bm的矩形,求矩形的长与宽”这类题的最好方法是首 先假设用bm长的篱笆将门的位置补上,然后设与墙 垂直的边长为xm,则与墙平行的边长为(a+b- 2x)m,最后根据矩形的面积公式列出方程计算,要注 意与墙平行的边长不大于墙长. 5. 6 6. 设道路的宽应为xm.由题意,得(50-2x)(38-2x)= 1260,解得x1=4,x2=40(不合题意,舍去).∴ 道路的宽 应为4m. 7. C 解析:如图,过点E 作EM⊥CD 于点M.设运动时 间为ts,则易得AE=3tcm,CF=2tcm,EM=8cm, ∴ MF=|AB-AE-CF|=|21-5t|cm.根据题意,得 82+(21-5t)2=102,整理,得5t2-42t+81=0,解得 t1=3,t2= 27 5.∴ 当EF 的长为10cm时,点E 的运动时 间是3s或275s. 第7题 8. 设DG 的长是xm,则CG=2xm,AD=13 (42- 3x)=(14-x)m.根据题意,得3x·(14-x)-2x×1= 132,整理,得3x2-40x+132=0,解得x1= 22 3 ,x2=6.当 x=223 时,CD=22m>19m,∴ x=223 不合题意,舍去.当 x=6时,CD=18m<19m,符合题意.∴ DG 的长是 6m. 第二十一章预学检测 一、 1. D 2. A 3. B 4. D 5. A 6. B 7. A 8. B 9. A 10. A 二、 11. 2 12. 3 13. 1 4 14. 5 4 15. -2 16. x2-6x+6=0 解析:根据题意,得2×3=c,1+ 5=-b,解得b=-6,c=6,∴ 正确的一元二次方程为 x2-6x+6=0. 17. 729 解析:设每轮传染中1只鸡传染x只鸡,则第一 轮传染中有x 只鸡被传染,第二轮传染中有x(1+x)只 鸡被传染.依题意,得1+x+x(1+x)=81,整理,得(1+ x)2=81,解得x1=8,x2=-10(不合题意,舍去). ∴ 81+81x=81+81×8=729.∴ 经过三轮传染后共有 729只鸡患上该种传染病. 18. 2022 解析:∵ 一元二次方程x2+2x-2024=0的 两根分别为m,n,∴ m+n=-2,m2+2m-2024=0,即 m2+2m=2024.∴ m2+3m+n=m2+2m+m+n= 2024-2=2022. 三、 19. (1) x=32 或x=-12. (2) x=1+322 或x= 1-322 . (3) x=-1+52 或x=-1-52 . (4) x=10或 x=-3. 20. (1) ∵ Δ=(k-5)2-4×(1-k)=k2-10k+25- 4+4k=k2-6k+21=(k-3)2+12>0,∴ 无论k为何 值,方程总有两个不相等的实数根.(2) 根据根与系数的 关系,得x1+x2=-(k-5),x1x2=1-k,∵ (x1- 3)(x2-3)<0,即x1x2-3(x1+x2)+9<0,∴ 1-k+ 3(k-5)+9<0,解得k<52.∴ k的最大整数值为2. 21. (1) 设全天包车次数的月平均增长率为x.根据题意, 得25(1+x)2=64,解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(不 合题意,舍去).∴ 全天包车次数的月平均增长率为 60%.(2) 设租金降低a 元.由题意,得(120-a)(64+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 21.3　实际问题与一元二次方程3 面积问题属于几何图形的应用题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图 形,找出未知量与 的内在联系,根据 公式列出一元二次方程. 典例1 如图,在一个长为60m、宽为40m的矩 形场地内修筑两条等宽的道路,剩余部分为绿 化用地.如果绿化用地的面积为2204m2,那么 道路的宽为 m. 典例1图 设道路的宽为xm,则剩余部分可合成长 为(60-x)m、宽为(40-x)m的矩形,根据绿 化用地的面积为2204m2,可得出关于x 的一 元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出 结论. 解答: 解有所悟:对于部分不规则图形,可以通过平移、旋 转等变换,转化为规则图形来解决问题. 典例2 如图,有长为22m的篱笆,一面利用墙 (墙的最大可用长度为14m),围成中间隔有一 道篱笆的矩形花圃ABCD,为了方便出入,在建 造篱笆花圃时,在BC 上用其他材料造了两个 宽为1m的小门. (1) 若此时矩形花圃的面积刚好为45m2,求 AB 的长. (2) 能围成面积刚好为54m2 的矩形花圃吗? 若能,请求出AB 的长;若不能,请说明理由. 典例2图 (1) 设AB 的长为xm,则BC 的长为 (22+2-3x)m,根据矩形花圃的面积为45m2, 即可得出关于x 的一元二次方程,解之即可得 出x的值,再结合墙的最大可用长度为14m, 即可得出AB 的长;(2) 设AB 的长为ym,则 BC 的长为(22+2-3y)m,根据矩形花圃的面 积为54m2,即可得出关于y 的一元二次方程, 根据根的判别式判断该方程是否有解,从而判断 是否能够围成面积刚好为54m2的矩形花圃. 解答: 解有所悟:一面靠墙围矩形,其本质是另外各边边 长之和等于篱笆长+门的宽度. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 典例3 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=6cm,BC=8cm,点P 从点A 出发,以每 秒1cm的速度沿AC 运动;同时点Q 从点C 出 发,以每秒2cm的速度沿CB 运动,当点Q 到 达点B 时,点P 同时停止运动.设运动的时间 为ts. (1) 当t为何值时,△PCQ 的面积为5cm2? (2) 当t为何值时,△PCQ 中PQ=6cm? (3) △PCQ 的面积能否等于10cm2? 若能,求 出运动时间;若不能,请说明理由. 典例3图 (1) 分别用含t的式子表示出线段CP 和 线段CQ 的长,再利用三角形的面积公式列出 方程求解即可;(2) 根据题意列方程即可得到 结论;(3) 先由题意列出关于t的一元二次方 程,再由根的判别式可得出答案. 解答: 解有所悟:对于此类几何图形中的动点问题,常用 含运动时间t的代数式表示其中线段的长度,一般 通过三角形的面积、勾股定理列一元二次方程,从 而找出符合题意的时间点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行 绿化,绿化后一边减少了3m,另一边减少了 2m,剩余面积为30m2 的矩形空地,则原正 方形空地的边长为 ( ) 第1题 A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m 2. 直角三角形两条直角边长的和为7,面积是 6,则斜边长是 ( ) A. 37 B. 5 C. 38 D. 7 3. 在高度为2.8m的一面墙上,准备开凿一个 矩形窗户,现用9.5m长的铝合金条制成 如图所示的窗框.当矩形窗户的宽AB 为 m时,其透光面积为3m2(铝合金 条的宽度忽略不计). 第3题 4. ★某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有 墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如 图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中 的材料可建墙(不包括门)的总长为27m,则 当建成的饲养室总占地面积是75m2 时,垂 直于现有墙的墙长是 m. 第4题 5. 将一根长为56cm的铁丝剪成两段并把每一 段铁丝做成一个正方形,使这两个正方形的 面积之和等于100cm2,则较小的一个正方 形的边长为 cm. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 65 6. (泰州中考)如图,在长为50m、宽为38m的 矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下 的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2,道 路的宽应为多少? 第6题 [综合提升] 答案讲解 7. 如 图,在 矩 形 ABCD 中,AB= 21cm,BC=8cm,动点E 从点A 出发,以3cm/s的速度沿AB 向点 B 运动,动点F 从点C 出发,以2cm/s的 速度沿CD 向点D 运动,当点E 到达点B 时,两点同时停止运动.当EF 的长为10cm 时,点E 的运动时间是 ( ) 第7题 A. 3s B. 27 5s C. 3s或275s D. 2.5s 答案讲解 8. 光明中学准备在校园里利用围墙 (墙长19m)和42m长的篱笆围建 劳动实践基地.该校某数学兴趣小 组设计了如下的围建方案(除围墙外,实线 部分均为篱笆,且不浪费篱笆):利用围墙和 篱笆围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地,且 在Ⅱ区中留一个宽度EH=1m的花池.已 知CG=2DG,劳动基地的总面积(不包含花 池)为132m2,则DG 的长是多少? 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备