21.3 实际问题与一元二次方程2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

30 9. 2 解析:∵ x1,x2 是关于x的方程x2-2x+k-1= 0的两个实数根,∴ x1+x2=2,x1x2=k-1,x21-2x1+ k-1=0.∴ x21=2x1-k+1.∵ x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = 2 (x1 + x2 ) - k. ∴ 22-2(k-1) k-1 =4-k ,解得k=2或k=5.当k=2时, 关于x的方程为x2-2x+1=0,Δ≥0,符合题意;当k= 5时,关于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数 根,不符合题意.∴ k=2. 10. (1) ∵ ▱ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∴ 方程x2- mx+m-1=0有两个相等的实数根.∴ (-m)2-4(m- 1)=0.∴ m1=m2=2.∴ 当m=2时,四边形ABCD 是 菱形.(2) ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程x2-mx+ m-1=0的两个实数根,AB 的长为3,∴ AB+AD=m, 3是方程的一个根.∴ 32-3m+m-1=0,解得m=4. ∴ AB+AD=4.∴ 2(AB+AD)=8,即▱ABCD 的周长 为8. 21.3 实际问题与一元二次方程1 知识梳理 1. x x (1+x) x(1+x) (1+x)2 (1+x)n 2. (x-1) 12x (x-1) 3. 10a+b 典例演练 典例1 (1) 设每位发病者平均每天传染x 人.依题意, 得2(1+x)2=50,解得x1=4,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 每位发病者平均每天传染4人.(2) 50×(1+4)= 50×5=250(人),∵ 250>200,∴ 再过一天发病人数会超 过200. 典例2 14 解析:设 A组共有x 个班.依题意,得 1 2x (x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 九年级共有7×2=14(个)班. 典例3 53或35 解析:设原两位数个位数字为x,则十 位数字为8-x.由题意,得[10×(8-x)+x](10x+8- x)=1855,解得x1=3,x2=5.∴ 原来十位数字为5或 3.∴ 原来这个两位数为53或35. 预学训练 1. B 2. C 3. 9 4. 6 5. 设共有x支队伍参加比赛,则在小组赛阶段,每个小组 有1 8x 支队伍.根据题意,得8×12× 1 8x 1 8x-1 = 48,整理,得x2-8x-768=0,解得x1=32,x2=-24(不 合题意,舍去).∴ 共有32支队伍参加比赛. 6. (1) 设每人一天传染了x 人.依题意,得1+x+(1+ x)×x=225,解得x1=-16(不合题意,舍去),x2= 14.∴ 每人一天传染了14人.(2) 225+225×(14-5)+ [225+225×(14-5)]×(14-5-5)=225+2025+ 2250×4=11250(人).∴ 再过两天共有11250人患有 此病. 21.3 实际问题与一元二次方程2 知识梳理 1. a(1+x)[或a(1-x)] a(1+x)(1+x)[或a(1- x)(1-x)] a(1+x)2[或a(1-x)2] 2. (b-a) (b-a)c 典例演练 典例1 (1) 设2020年到2022年该市数字阅读市场规模 的年平均增长率为x.根据题意,得400(1+x)2=576,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增 长率为20%.(2) 576×(1+20%)=691.2(万元), ∵ 691.2<700,∴ 预计2023年该市数字阅读市场规模不 能达到700万元. 典例2 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000,整理得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天卖出该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天卖出该款商品的利润不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 能达到50000元.理由:当每件的售价降低x元时,每件的 销售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根 据题意,得(10-x)(3000+1000x)=50000,整理得x2- 7x+20=0.∵ Δ=(-7)2-4×1×20=-31<0,∴ 该方 程没有实数根.∴ 该批发商场每天卖出该款商品的利润 不能达到50000元. 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. D 5. 190 6. 30% 7. 设每千克应涨价x 元.依题意,得(500-20x)(10+ x)=6000.整理,得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2= 10.∵ 要使顾客得到实惠,∴ x=5.∴ 每千克应涨价5元. 8. (1) 设该市改造老旧小区投入资金的年增长率为x.依 题意,得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=-2.2(不合题意,舍去).∴ 该市改造老旧小区投入 资金的年增长率为20%.(2) 设该市在2022年可以改造 y个老旧小区.依题意,得80×(1+15%)y≤1440×(1+ 20%),解得y≤ 432 23. 又∵ y 为整数,∴ y 的最大值为 18.∴ 该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 9. (1) 设购进A款钥匙扣x 件,B款钥匙扣y 件.依题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解得 x=20, y=10. ∴ 购进A款钥匙 扣20件,B款钥匙扣10件.(2) 设购进m 件A款钥匙扣, 则购进(80-m)件B款钥匙扣.依题意,得30m+25(80- m)≤2200,解得m≤40.设再次购进的A,B两款冰墩墩 钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元.由题意,得w= (45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960.∵ 3>0, ∴ w 随m 的增大而增大.∴ 当m=40时,w 取得最大 值,最大值为3×40+960=1080,此时80-m=80-40= 40.∴ 当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才 能获得最大销售利润,最大销售利润是1080元.(3) 设 B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a- 25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件.依题 意,得(a-25)(78-2a)=90,整理得a2-64a+1020= 0,解得a1=30,a2=34.∴ 将销售价定为每件30元或 34元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为 90元. 21.3 实际问题与一元二次方程3 知识梳理 已知量 面积 典例演练 典例1 2 解析:设道路的宽为xm,则剩余部分可合成 长为(60-x)m、宽为(40-x)m的矩形.根据题意,得 (60-x)(40-x)=2204,整理,得x2-100x+196=0,解 得x1=2,x2=98(不合题意,舍去).∴ 道路的宽为2m. 典例2 (1) 设AB 的长为xm,则BC 的长为(22+2- 3x)m.依题意,得x(22+2-3x)=45,整理,得x2-8x+ 15=0,解得x1=3,x2=5.当x=3时,22+2-3x=22+ 2-3×3=15>14,不符合题意,舍去;当x=5时,22+ 2-3x=22+2-3×5=9<14,符合题意.∴ AB 的长为 5m.(2) 不能围成面积刚好为54m2 的矩形花圃.理由: 设AB 的长为ym,则BC的长为(22+2-3y)m.依题意, 得y(22+2-3y)=54,整理得y2-8y+18=0.∵ Δ= (-8)2-4×1×18=-8<0,∴ 该方程没有实数根.∴ 不 能围成面积刚好为54m2的矩形花圃. 典例3 (1) 根据题意,得AP=tcm,CQ=2tcm,则 CP=(6-t)cm.由题意,得12×2t (6-t)=5,解得t1=1, t2=5.∵ 2t≤8,∴ 0<t≤4.∴ t=1.∴ 当t的值为1时, △PCQ 的面积为5cm2.(2) ∵ ∠ACB=90°,CP=(6- t)cm,CQ=2tcm,∴ CP2+CQ2=PQ2.∴ (6-t)2+ (2t)2=62,解得t=125 或t=0(不合题意,舍去).∴ 当 t的值为125 时,△PCQ 中PQ=6cm.(3) △PCQ 的面积 不能等于10cm2.理由:若△PCQ 的面积等于10cm2,则 1 2× (6-t)×2t=10,化简得t2-6t+10=0.∵ Δ=36- 40=-4<0,∴ 方程无实数根.∴ △PCQ 的面积不能等 于10cm2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 60 21.3　实际问题与一元二次方程2 1. 若设每次的平均增长(或降低)率为x,增长 (或降低)前的数量为a,则第一次增长(或降 低)后的数量为 ,第二次增长(或降 低)后的数量为 ,即 . 2. 某商品的进价为a 元,售价为b元,则利润 为 元,若一天的销售量为c件,则 总利润为 元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 随着我国数字化阅读方式的接触率和人 群持续增多,数字阅读凭借独有的便利性成为 了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年 数字阅读市场规模为400万元,2022年为 576万元. (1) 求2020年到2022年该市数字阅读市场规 模的年平均增长率; (2) 若年平均增长率不变,预计2023年该市数 字阅读市场规模是否可以达到700万元. (1) 设2020年到2022年该市数字阅读市 场规模的年平均增长率为x,利用2022年该市 数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场 规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市 场规模的年平均增长率)2,即可得出关于x 的 一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出 结论;(2) 利用2023年该市数字阅读市场规模= 2022年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到 2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长 率),可预计出2023年该市数字阅读市场规模, 将其与700万元比较后即可得出结论. 解答: 解有所悟:一般地,平均变化率问题中的一元二次 方程用直接开平方法求解比较简单. 典例2 某大型批发商场平均每天可售出某款商 品3000件,售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现,若该款商品的批发价每降低1元, 则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利 润更多,该批发商场决定降价x 元销售该款 商品. (1) 当x 为多少时,该批发商场在尽可能地让 利顾客的情况下,每天卖出该款商品的利润为 40000元? (2) 若按照这种降价促销的策略,该批发商场 每天卖出该款商品的利润能达到50000元吗? 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由. (1) 当每件的售价降低x 元时,每件的销 售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+ 1000x)件,利用总利润=每件的销售利润×日 销售量,可得出关于x 的一元二次方程,求解 后,还需考虑尽可能让利顾客,从而得出结论; (2) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件,利 用总利润=每件的销售利润×日销售量,可得 出关于x 的一元二次方程,根据根的判别式判 断方程解的情况,从而判断该批发商场每天卖 出该款商品的利润能否达到50000元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 61 解答: 解有所悟:根据题意,将题目中的各个量表示出来, 可以直观地理顺它们之间的关系,便于从中找出等 量关系,列出方程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (宁夏中考)受国际油价影响,2022年我国汽 油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格 3月底是6.2元/升,5月底是8.9元/升.设该 地92号汽油价格这几个月平均每月的增长 率为x,根据题意列出方程,正确的是 ( ) A. 6.2(1+x)2=8.9 B. 8.9(1+x)2=6.2 C. 6.2(1+x2)=8.9 D. 6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9 2. 某公司前年缴税40万元,今年缴税48.4万元, 则该公司缴税的年均增长率为 ( ) A. 9% B. 10% C. 11% D. 12% 3. 某批发商场经销一种玩具,如果每个盈利 5元,那么每天可售出200个.经市场调查发 现,在进价不变的情况下,若每个涨价1元, 则日销售量将减少10个.现该商场要保证 每天盈利1500元,同时又要让顾客得到实 惠,那么每个应涨价的金额为 ( ) A. 5元或10元 B. 5元 C. 10元 D. 6元 4. 某商场销售一批衬衣,平均每天售出30件,每 件衬衣盈利50元.为了增加盈利,尽快减少库 存,商场决定采取降价措施.经调查发现,如 果每件衬衣降价1元,那么商场平均每天可多 售出2件.若商场平均每天盈利2000元,则 每件衬衣应降价 ( ) A. 10元 B. 15元 C. 20元 D. 25元 5. 某商场以80元/个的价格购进1000个保温 杯,经市场调研,保温杯定价为100元/个时 可全部售完,定价每提高1元/个,销售量将 减少5个,未卖完的保温杯可以原价退回厂 家.要使商场利润达到60500元,保温杯的 定价应为 元/个. 6. (杭州中考)某网络学习平台2022年的新注册 用户数为100万,2024年的新注册用户数为 169万,设新注册用户数的年平均增长率为 x(x>0),则x= (用百分数表示). 答案讲解 7. 某水果批发商场经销一种高档水 果,如果每千克盈利10元,那么每 天可售出500千克.经市场调查发 现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1元,则日销售量将减少20千克.现该商场 要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得 到实惠,那么每千克应涨价多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 8. (眉山中考)建设美丽城市,改造老旧小区. 某市2019年投入资金1000万元,2021年投 入资金1440万元,现假定每年投入资金的 增长率相同. (1) 求该市改造老旧小区投入资金的年增 长率. (2) 2021年老旧小区改造的平均费用为 每个80万元.2022年为提高老旧小区品质, 每个小区改造费用增加15%.如果投入资金 的年增长率保持不变,那么该市在2022年 最多可以改造多少个老旧小区? [综合提升] 答案讲解 9. (毕节中考)2022北京冬奥会期间, 某网络特许店直接从工厂购进A,B 两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售 价如下表: 类 别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价/(元/件) 30 25 销售价/(元/件) 45 37 (1) 网店第一次用850元购进A,B两款钥 匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的 件数. (2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该 网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣 共80件(进货价和销售价都不变),且进货 总价不高于2200元.应如何设计进货方案, 才能获得最大销售利润? 最大销售利润是 多少元? (3) 冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥 匙扣调价销售,如果按照原价销售,那么平 均每天可售4件.经调查发现,每降价1元, 平均每天可多售2件,将销售价定为每件多 少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售 利润为90元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版)