专题4 中点模型与角平分线模型-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

33 专题四　中点模型与角平分线模型 中点与角平分线分别是线段与角中具有特殊位置的点和线,与中点有关的重要知识点有三 角形的中位线、直角三角形斜边上的中线、线段的垂直平分线,还有一种重要的辅助线作法——— 倍长中线法;角平分线与利用角平分线为对称轴构造全等三角形、等腰三角形的三线合一有密切 联系,中点与角平分线为题目提供了很多隐性条件,通过借助现有的知识及恰当的辅助线可把隐 性条件转化为显性条件,从而顺利解决问题. 类型一 中点模型 (一) 中位线模型 ⦾ 两中点+连接第三边=中位线 1. 如图,在矩形ABCD 中,R,P 分别是DC, BC 上的点,E,F 分别是AP,RP 的中点.当 点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不 动时,下列结论成立的是 ( ) A. 线段EF 的长逐渐增大 B. 线段EF 的长逐渐减小 C. 线段EF 的长不改变 D. 线段EF 的长先增大后减小 第1题 第2题 2. 如图,在四边形ABCD 中,E,F 分别是边 AB,AD 的中点,BC=5,CD=3,EF=2, ∠AFE=45°,则∠ADC= . 答案讲解 3. 如图,菱形ABCD 的边长为10,对 角线BD 的长为16,E,F 分别是边 AD,CD 的中点,连接EF 并延长, 与BC 的延长线相交于点G,则EG 的长为 . 第3题 第4题 4. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, BC=8,N 是边BC 上一点,M 为边AB 上 的动点,D,E 分别为CN,MN 的中点,则 DE 长的最小值是 . ⦾ 已知一中点+再取一中点=中位线 5. 如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是 AE 的中点,CF 交BE 于点G.若BE=3,则 GE= . 第5题 第6题 6. 如图所示为一个对角线相等的四边形 ABCD,E,F 分别为AB,CD 的中点,EF 分 别交对角线BD,AC 于点M,N,∠OMN = 40°,则∠MON= . 7. 如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,E,F 分别是边DC,AB 的中点,FE 的延长线分 别与AD,BC 的延长线交于点H,G.求证: ∠AHF=∠BGF. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 ⦾ 两中点+连线=中位线 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC.M,N 分别是 AB,AC 的中点,D,E 为BC 上的点,连接 DN,EM.若AB=5,BC=6,DE=3,则涂 色部分的面积为 . 第8题 第9题 答案讲解 9. 将连接四边形对边中点的线段称为 “中对线”.如图,四边形ABCD 的 对角线AC=BD=8,∠1=60°,E, F,G,H 分别为AB,BC,CD,AD 的中点, 则该四边形“中对线”HF 的长为 . 10. 如图,AC,BD 是四边形ABCD 的对角线, E,F 分别是AD,BC 的中点,M,N 分别是 BD,CA 的中点.求证:EF,MN 互相平分. 第10题 (二) 斜边上的中线 11. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC=90°,∠DAC=45°,∠BAC=30°, E 是AC 的中点,连接BE,BD,则∠DBE 的度数为 ( ) 第11题 A. 10° B. 12° C. 15° D. 18° 12. 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在边 AB 上,连接CD,∠ADC=2∠A,AC=4, BC=5,则CD= . 13. 如图,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°, E,F 分别是AC,BD 的中点.若AC=2,则 EF 的长是 . 第13题 (三) 倍长中线法 答案讲解 14. (1) 课外兴趣小组活动时,老师提 出了如下问题:如图①,在△ABC 中,若AB=13,AC=9,求边BC 上的中线AD 长的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的 解决方法:延长AD 至点E,使DE=AD, 连接BE,容易证得△ADC≌△EDB,再由 “三角形的三边关系”可求得AD 长的取值 范围是 . 解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条 件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分 散的已知条件和所求证的结论集中到同一 个三角形之中. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 35 (2) 如图②,AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于点E,交 AD 于点F,且∠FAE= ∠AFE.若 AE=4,EC=3,求线段 BF 的长. (3) 如图③,在△ABC 中,D 为BC 的中 点,DE⊥DF 分别交AB,AC 于点E,F.求 证:BE+CF>EF. 第14题 (四) 线段的垂直平分线 答案讲解 15. 如图,在菱形ABCD 中,AB 的垂 直平分线交对角线AC 于点F,垂 足为 E,连接 DF.若∠BAD= 70°,则∠CFD= . 第15题 第16题 16. (安顺中考)如图,在△ABC 中,点E 在边 AC 上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD⊥ BE,交BE 的延长线于点D,BD=8,AC= 11,则边BC 的长为 . 类型二 角平分线模型 (一) 通过角平分线和平行线得到等腰三角形 17. 如图,DE 是△ABC 的中位线,∠ABC 的 平分线交DE 于点F,AB=1,BC=1.6,则 EF 的长为 ( ) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 第17题 第18题 18. 如图,E 是△ABC 的内角∠ABC 和外角 ∠ACF 的两条平分线的交点,过点E 作 ME∥BC,交AB 于点M,交AC 于点N. 若BM-CN =9,则 线 段 MN 的 长 为 . (二) 过角平分线一点向角的两边作垂线 第19题 19. 如图,在四边形ABCD 中, ∠A=90°,AD=2,连 接 BD,BD⊥CD,垂足为D, ∠ADB=∠C,P 是边BC 上的一动点,则DP 的长可能是 ( ) A. 3 4 B. 1 C. 5 3 D. 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 (三) 有角平分线,构造全等三角形 20. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平 分线相交于点P,且AB=PC,∠PBC= 2∠PCB,则∠A= . 第20题 21. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=100°, BD 平分∠ABC,AD=5,BC=12,求BD 的长. 第21题 (四) 有角平分线,构造等腰三角形 22. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC, BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于 点E.若 EC=4,则BD= . 第22题 23. ★如图,在△ABC 中,∠ABC=3∠C,∠1= ∠2,BE⊥AE.求证:AC-AB=2BE. 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 16 15. (1) AG=CE,AG⊥CE.∵ 四边形BEFG 和四边形 ABCD 为正方形,∴ GB=BE,∠ABG=90°,AB=BC, ∠ABC = 90°. 在 △ABG 和 △CBE 中, BG=BE, ∠ABG=∠CBE=90°, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△CBE.∴ AG= CE,∠BAG=∠BCE.如图①,延长 CE 交AG 于点 M.∴ ∠BEC=∠AEM.∴ ∠ABC=∠AME=90°. ∴ AG=CE,AG⊥CE.(2) ∠EMB 的度数不发生变 化.如图②,过点B 分别作BP⊥EC于点P,BH⊥AM 于 点H.∵ ∠ABC=∠EBG=90°,∴ ∠ABG=∠CBE.在 △ABG 和△CBE 中, AB=CB, ∠ABG=∠CBE, BG=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌ △CBE.∴ S△ABG =S△CBE,∠BAG = ∠BCE,AG = CE.∴ 1 2AG ·BH = 12CE ·BP,易 得∠ABC= ∠AMC.∴ BH=BP.又∵ BP⊥EC,BH⊥AM,∴ MB 为∠EMG 的 平 分 线.∵ ∠AMC = ∠ABC =90°, ∴ ∠EMB=12∠EMG= 1 2×90°=45°. (3) 如图③,在 NA 上截取NQ=NB,连接BQ.∴ △BNQ 为等腰直角 三角形.∴ 易得BQ= 2BN.∵ ∠AMN=45°,∠N= 90°,∴ △AMN 为等腰直角三角形.∴ AN =MN. ∴ MN-BN =AN -NQ,即 BM =AQ.∵ 易 得 ∠MBC+ ∠ABN =90°,∠BAN + ∠ABN =90°, ∴ ∠MBC = ∠BAN.在 △ABQ 和 △BCM 中, AQ=BM, ∠BAQ=∠CBM, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABQ ≌ △BCM.∴ BQ = CM.∴ CM=2BN. 第15题 专题四　中点模型与角平分线模型 1. C 2. 135° 3. 12 4. 12 5 解析:连接CM.∵ D,E 分别为CN,MN 的中 点,∴ DE=12CM. 易得当CM⊥AB 时,CM 长的值最 小,此时DE 长的值也最小.在Rt△ABC 中,由勾股定理 得AB= AC2+BC2 = 62+82 =10,∵ S△ABC = 1 2AB ·CM = 12AC ·BC,∴ CM =245.∴ DE= 1 2CM= 12 5. 5. 3 4 解析:取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是 AE 的中点,H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位 线.∴ FH∥AB,FH=12AB.∵ 四边形ABCD 是平行 四边形,∴ AB∥CD,AB=CD.∴ FH∥DC.∵ E 是CD 的中点,∴ EC=12CD.∴ FH=EC.∴ 四边形FHCE 是平行四边形.∴ GE=GH=12EH.∵ BE=3,H 是 BE 的中点,∴ EH=32.∴ GE=34. 6. 100° 解析:取AD 的中点Q,连接EQ,FQ.∵ E,F, Q 分别为AB,CD,AD 的中点,∴ EQ∥BD,EQ=12BD , FQ∥AC,FQ=12AC.∴ ∠QEF=∠OMN,∠QFE= ∠ONM.∵ AC =BD,∴ QE =QF.∴ ∠QEF = ∠QFE.∴ ∠OMN = ∠ONM.∵ ∠OMN =40°, ∴ ∠ONM=40°.∴ ∠MON=100°. 7. 如图,连接BD,取BD 的中点P,连接EP,FP.∵ E, F,P 分别是DC,AB,BD 的中点,∴ EP 是△BCD 的中 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 位线,PF 是△ABD 的中位线.∴ PF=12AD ,PF∥AD, EP=12BC ,EP∥BC.∴ ∠AHF=∠PFE,∠BGF= ∠PEF.∵ AD =BC,∴ PE =PF.∴ ∠PEF = ∠PFE.∴ ∠AHF=∠BGF. 第7题 8. 6 解析:如图,连接 MN,过点A 作AF⊥BC 于点 F.设DN 与EM 交于点G.∵ M,N 分别是AB,AC 的中 点,∴ MN=12BC=3 ,MN∥BC.∴ AF⊥MN.∵ AB= AC,AF⊥BC,∴ FC=12BC=3. 在Rt△AFC 中,AF= AC2-FC2=4.∴ △AMN,△GMN,△GDE 的底长 都是3,高的和为4.∴ 涂色部分的面积=12×3×4=6. 第8题 9. 4 10. 连接ME,MF,NE,NF.∵ E,M 分别是AD,BD 的 中点,∴ ME 是△ABD 的中位线.∴ ME∥AB.同理可得 MF∥CD,EN∥CD,FN∥AB.∴ ME∥FN,MF∥EN. ∴ 四边形EMFN 是平行四边形.∴ EF,MN 互相平分. 11. C 12. 41 2 解析:如图,取 AB 的中点E,连接 CE. ∵ ∠ACB=90°,AC=4,BC=5,∴ AB= AC2+BC2= 42+52= 41.∵ E 是AB 的中点,∴ CE=AE= 1 2AB= 41 2 .∴ ∠A=∠ACE.∵ ∠BEC=∠A+ ∠ACE=2∠A,∠ADC=2∠A.∴ ∠BEC=∠ADC. ∴ ∠CDE=∠CED.∴ CD=CE= 412 . 第12题 13. 2 2 解析:连接BE,DE.∵ ∠ABC=∠ADC=90°, E 是AC 的中点,∴ BE=AE=12AC ,DE=AE= 1 2AC.∵ AC=2,∴ BE=DE=1.∵ BE=AE, ∴ ∠ABE=∠BAE.∴ ∠BEC=2∠BAE.同理可得 ∠DEC=2∠DAC,∴ ∠BED=∠BEC+∠DEC= 2∠BAD=90°.∴ BD= BE2+ED2= 2.∵ F 是BD 的中点,∴ EF=12BD= 2 2. 14. (1) 2<AD<11.(2) 如图①,延长AD 到点M,使 AD=DM,连接BM.∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD= DC.在 △ADC 和 △MDB 中, DC=DB, ∠ADC=∠MDB, AD=MD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △MDB.∴ AC=MB,∠CAD = ∠M. ∵ ∠FAE=∠AFE,∴ ∠AFE=∠M.∵ AC=AE+ CE=7,∴ BM =AC =7.∵ ∠AFE = ∠BFD, ∴ ∠BFD=∠M.∴ BF=BM=AC=7.(3) 如图②,延 长ED 到点G,使GD=ED,连接CG,GF.∵ D 为BC 的 中 点,∴ CD = BD.在 △CDG 和 △BDE 中, GD=ED, ∠CDG=∠BDE, CD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDG≌△BDE.∴ CG=BE. ∵ CG+CF>GF,∴ BE+CF>GF.∵ DE⊥DF,GD= ED,∴ DF 垂 直 平 分 EG.∴ GF =EF.∴ BE + CF>EF. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 15. 70° 16. 45 解析:延长BD 到点F,使得DF=BD,连接 CF.∵ CD⊥BF,DF=BD,∴ BC=CF.∴ ∠CBD= ∠F.过点C 作CH∥AB,交BF 于点H.∴ ∠ABD= ∠CHD,∠A = ∠ECH.∵ EB =EA,∴ ∠A = ∠ABE.∴ ∠A = ∠CHD.∵ ∠A = 2∠CBE, ∴ ∠CHD=2∠CBD=2∠F.∵ ∠BHC=∠HCF+∠F, ∴ ∠HCF=∠F.∴ HF=HC.∵ ∠ABE=∠CHE, ∠A=∠ECH,∠A=∠ABE,∴ ∠EHC=∠ECH. ∴ EH=CE.∵ EA=EB,∴ AC=BH.∵ BD=8, AC=11,∴ DH=BH-BD=AC-BD=3.∵ DF= BD,∴ DF=8.∴ HC=HF=8-3=5.∵ CD⊥BF, ∴ ∠CDH=∠BDC=90°.∴ 在 Rt△CDH 中,CD= 52-32=4.∴ 在Rt△BCD 中,BC= 82+42=45. 17. B 18. 9 19. D 20. 60° 解析:如图,作△PBC 关于BC 的轴对称图形 △DBC,∴ △PBC ≌ △DBC.∴ ∠DBC = ∠PBC, ∠PCB=∠DCB,CD=PC.∵ CP 是∠ACB 的平分线, ∴ ∠BCA=2∠PCB.∵ ∠PBC=2∠PCB,∴ ∠DBC= ∠BCA.∴ BD∥AC.延长BD 到点E,使BE=AC,连接 CE.∴ 四边形ABEC 是平行四边形.∴ AB=CE.设 ∠PCB=α,∴ ∠BCD = ∠ACP =α.∴ ∠PBC= ∠DBC=∠BCA=2α,∠ACD=3α.∵ BP 平分∠ABC, ∴ ∠ABP=∠PBC=2α.∴ ∠ABD=6α.∵ 四边形 ABEC 是 平 行 四 边 形,∴ ∠ACE = ∠ABE =6α. ∴ ∠DCE=3α.∵ ∠CDE=∠DBC+∠DCB=3α, ∴ ∠DCE=∠CDE.∴ CE=ED.∵ AB=CE,AB= PC,∴ CE=PC.∴ PC=ED.∵ CD=PC,∴ CE= ED=CD.∴ △CDE 是等边三角形.∴ ∠E=60°.∵ 四 边形ABEC 是平行四边形,∴ ∠A=∠E=60°. 第20题 第21题 21. 如图,在BC 上截取BE=BA,延长BD 至点F,使 BF = BC,连 接 DE,CF.∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠EBD.在 △ABD 和 △EBD 中, AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EBD.∴ AD=ED, ∠DEB=∠A=100°.∴ ∠DEC=80°.∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=180°-100°2 =40°.∴ ∠ABD= ∠EBD=12∠ABC=20°.∵ BC=BF,∠CBF=20°, ∴ ∠F=∠FCB=12 (180°-∠CBF)=80°.∴ ∠FCD= 80°-40°=40°.∴ ∠FCD=∠ECD.∵ ∠DEC=80°, ∠F=80°,∴ ∠F=∠DEC.在△DCF 和△DCE 中, ∠FCD=∠ECD, ∠F=∠DEC, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCF≌△DCE.∴ DF=DE= AD.∴ BC=BF=BD+DF=BD+AD.∴ BD=BC- AD.∵ AD=5, BC=12,∴ BD=7. 22. 8 解析:如图,延长BA,CE,交于点F.∵ CE⊥BE, ∴ ∠CED=90°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠ABD+∠ADB= 90°.∵ ∠CED =90°,∴ ∠CDE + ∠ACF =90°. ∵ ∠ADB=∠EDC,∴ ∠ABD=∠ACF.在△ABD 和 △ACF 中, ∠BAD=∠CAF=90°, AB=AC, ∠ABD=∠ACF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACF.∴ BD=CF.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠FBE= ∠CBE.在△BEF 和△BEC 中, ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF≌△BEC.∴ EF=EC.∴ EC= 12CF. ∴ EC=12BD.∵ EC=4,∴ BD=8. 第22题 第23题 23. 如 图,延 长 BE 交 AC 于 点 M.∵ BE ⊥AE, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 ∴ ∠AEB=∠AEM=90°.在△ABE 中,∵ ∠1+∠3+ ∠AEB=180°,∴ ∠3=90°-∠1.同理,∠4=90°- ∠2.∵ ∠1=∠2,∴ ∠3=∠4.∴ AB=AM.∴ AC- AB=AC-AM =CM.∵ ∠4 是 △BCM 的 外 角, ∴ ∠4=∠5+∠C.∵ ∠3=∠4,∴ ∠ABC=∠3+ ∠5=∠4+∠5.∵ ∠ABC=3∠C,∴ 3∠C=∠4+ ∠5=2∠5+∠C.∴ ∠5=∠C.∴ CM=BM.∵ AB= AM,BE⊥AE,∴ BM=2BE.∴ AC-AB=BM=2BE. 利用图形归一法证明线段差问题 在同一条直线上的三条线段,我们很容易得出三 条线段之间的数量关系.如果三条线段不在同一条直 线上,那么需要构造等量关系把三条线段转移到同一 条直线上.本题出现了角平分线AE,并且BE⊥AE,这 个图形恰好是等腰三角形三线合一的一部分,故延长 BE 交AC 于点M,构造等腰三角形,从而解决问题. 专题五　轴对称变换 1. C 2. D 解析:如图,连接BQ,BD.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD,AC 平分BD.∵ Q 是AC 上一动点, ∴ BQ=DQ.∴ DQ+PQ=BQ+PQ.当P,Q,B 三点在 同一条直线上时,BQ+PQ 的值最小,为线段BP 的 长.∵ △PDQ 的周长=DP+DQ+PQ,∴ 此时DQ+ PQ 的值最小,即△PDQ 的周长最小.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∵ ∠BAD=60°,∴ △BAD 是等边 三角形.又∵ P 是AD 的中点,∴ BP⊥AD, AP=DP= 1.∴ ∠APB=90°.∴ BP= AB2-AP2= 22-12= 3.∴ DQ+PQ 的最小值为3.又∵ DP=1,∴ △PDQ 周长的最小值是1+3. 第2题 3. D 解析:如图,连接BD,BP.∵ 在正方形ABCD 中, AC⊥BD,AC 平分BD,∴ PD=PB.∴ PD+PE= PB+PE.由两点之间线段最短,可知当点P 在BE 和AC 的交点P'处时,PD+PE 有最小值,最小值为BE 的 长. ∵ 正方形 ABCD 的面积为12,∴ AB=2 3.又 ∵ △ABE 是等边三角形,∴ BE=AB=23.∴ PD+ PE 的最小值为23. 第3题 4. (1) 2 3 ,0 73 (2) (-10,0) 解析:(1) 如图, ∵ A(-2,1),∴ 点A 关于x 轴的对称点A'的坐标为 (-2,-1).设直线A'B 对应的函数解析式为y= kx+ b.将A'(-2,-1),B(6,2)代入,得 -2k+b=-1, 6k+b=2, 解得 k=38 , b=-14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线A'B 对应的函数解析式为y= 3 8x- 1 4. 当y=0时,x= 2 3.∴ P 23 ,0 .∵ A'(-2,-1), B(6,2),∴ 易 得 A'B= (-2-6)2+(-1-2)2 = 73,即PA+PB 的最小值为 73.(2) 如图,由题意,可 得当点P'到A,B 两点距离之差的绝对值最大时,点P' 在直线AB 上.设直线AB 对应的函数解析式为y=mx+ n.将A(-2,1),B(6,2)代入,得 -2m+n=1, 6m+n=2, 解得 m=18 , n=54. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ y= 1 8x+ 5 4. 令y=0,得x=-10.∴ 点P 的坐标为(-10,0). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈