第18章 平行四边形-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

8 第十八章　平行四边形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题2分,共20分) 1. (河池中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC, BD 相交于点O,下列结论错误的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 第1题 第3题 2. (聊城中考)要检验一个四边形的桌面是否 为矩形,可行的测量方案是 ( ) A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否为90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距 离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 3. (朝阳中考)将一把三角尺按如图所示的方式 放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG= 90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC 的度数为 ( ) A. 100° B. 80° C. 70° D. 60° 4. (眉山中考)在△ABC 中,AB=4,BC=6, AC=8,D,E,F 分别为边AB,AC,BC 的中 点,则△DEF 的周长为 ( ) A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 5. (舟山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=8,点 E,F,G 分别在边AB,BC,AC 上,EF∥AC, GF∥AB,则四边形AEFG 的周长是 ( ) 第5题 A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 6. 如图,在正方形ABCD 中,AE 平分∠BAC, 交BC于点E,F 是边AB 上一点,连接DF. 若BE=AF,则∠CDF 的度数为 ( ) A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5° 第6题 第7题 7. (湘西中考)如图,菱形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于 点H,连接OH,OH=4.若菱形ABCD 的 面积为323,则CD 的长为 ( ) A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 8. ★如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 交于 点O,AB=6,BC=8,过点O 作OE⊥AC, 交AD 于点E,过点E 作EF⊥BD,垂足为 F,则OE+EF 的值为 ( ) 第8题 A. 48 5 B. 32 5 C. 24 5 D. 12 5 答案讲解 9. (泰州中考)如图,正方形ABCD 的 边长为2,E 为与点D 不重合的动 点,以DE 为一边作正方形DEFG. 设DE=d1,点F,G 与点C 的距离分别为 d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为 ( ) 第9题 A. 2 B. 2 C. 22 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 9 答案讲解 10. (恩施中考)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,AD=10cm, BC=8cm,点P 从点D 出发,以 1cm/s的速度向点A 运动,点M 从点B 同 时出发,以相同的速度向点C 运动,当其中 一个动点到达终点时,两个动点同时停止运 动.设点P 的运动时间为ts,下列结论正确 的是 ( ) 第10题 A. 当t=4时,四边形ABMP 为矩形 B. 当t=5时,四边形CDPM 为平行四 边形 C. 当CD=PM 时,t=4 D. 当CD=PM 时,t=4或6 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. (泰安中考)如图,四边形ABCD 为平行四 边形,则点B 的坐标为 . 第11题 12. (营口中考)如图,将△ABC 沿着BC 方向 平移得到△DEF,只需添加一个条件即可 证明四边形ABED 是菱形,这个条件可以 是 . 第12题 第13题 13. (广州中考)如图,在▱ABCD 中,AD=10, 对角线AC 与BD 相交于点O,AC+BD= 22,则△BOC 的周长为 . 14. (荆州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,通过尺规作图得到的直线MN 分别交 AB,AC 于点D,E,连接CD.若 CE= 1 3AE=1 ,则CD= . 第14题 第15题 15. 如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8, △DCE 的面积为6,则四边形ABCD 的面 积为 . 16. ★在▱ABCD 中,∠A=30°,AD=4 3, 连接BD.若BD=4,则线段CD 的长为 . 17. (临沂中考)如图,在正六边形ABCDEF 中,M,N 是对角线BE 上的两点.有下列 条件:① BM=EN;② ∠FAN=∠CDM; ③ AM=DN;④ ∠AMB=∠DNE.其中, 添加一个就能使四边形AMDN 是平行四 边形的为 (填序号). 第17题 答案讲解 18. 如图,正方形ABCD 的边长为16, P 是边AD 上的一个动点,连接 BP,将△ABP 沿BP 折叠,使点 A 落在点A'处,延长PA'交CD 于点E,当 点E 与CD 的中点F 的距离为2时,AP 的长为 . 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 10 三、 解答题(共56分) 19. (6分)(邵阳中考)如图,在菱形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 在对 角线BD 上,且BE=DF,OE=OA.求证: 四边形AECF 是正方形. 第19题 20. (8分)(广西北部湾经济区中考)如图,在 ▱ABCD 中,BD 是它的一条对角线. (1) 求证:△ABD≌△CDB; (2) 尺规作图:作BD 的垂直平分线EF,分 别交AD,BC 于点E,F(不写作法,保留作 图痕迹); (3) 连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB 的度数. 第20题 21. (8分)(广元中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AC 平分∠DAB,AB=2CD, E 为AB 的中点,连接CE. (1) 求证:四边形AECD 是菱形; (2) 若∠D=120°,CD=2,求△ABC 的 面积. 第21题 22. (8分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, AD 是边BC 上的中线,E 为AD 的中点, 过点A 作AF∥BC,交BE 的延长线于 点F,连接CF. (1) 求证:AD=AF. (2) ① 当∠ACB= 时,四边形 ADCF 为正方形; ② 连接DF,当∠ACB= 时,四边 形ABDF 为菱形. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 11 23. (8分)(十堰中考)如图,在▱ABCD 中, AC,BD 相交于点O,E,F 分别是OA,OC 的中点. (1) 求证:BE=DF. (2) 设AC BD=k ,当k 为何值时,四边形 DEBF 是矩形? 请说明理由. 第23题 24. (8分)如图,在正方形 ABCD 中,AB= 32,E 是对角线AC 上的一点,连接DE. 过点E 作EF⊥ED,交AB 于点F,以DE, EF 为邻边作矩形DEFG,连接AG. (1) 求证:矩形DEFG 是正方形; (2) 求AG+AE 的值; (3) 若 F 恰 为 AB 的 中 点,求 正 方 形 DEFG 的面积. 第24题 答案讲解 25. ★(10分)在△ABC 中,AB=AC, BC=6,S△ABC=6.以BC 为边作 周长为18的矩形BCDE,M,N 分别为AC,CD 的中点,连接MN.请你画 出图形,并求出线段MN 的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 3 AB=15m.∴ DC=6m.∴ AD= AC2+DC2 = 65m.∴ △ABD 的周长为AB+BD+AD=15+15+ 65=(30+65)m.② 如图②,以点A 为圆心,AB 长为 半径画弧,交BC 的延长线于点D,连接AD.∴ AD= AB.∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BD.∵ AD=AB,∴ DC= BC=9m.∴ △ABD 的周长为AB+AD+BD=15+ 15+9×2=48(m).③ 如图③,作线段AB 的垂直平分线, 交BC的延长线于点D,连接AD.∴ AD=BD.设CD= xm,则AD=BD=(9+x)m.在Rt△ACD 中,∵ AD2= CD2+AC2,∴ (9+x)2=x2+122,解 得 x= 72. ∴ △ABD 的 周 长 为 AB +BD +AD =15+2× 9+72 =40(m).综上所述,扩充后等腰三角形绿地的 周长为(30+65)m或48m或40m. 第22题 利用分类讨论思想解决等腰三角形问题 构造等腰三角形(设为△ABD)时要注意分三种情 况:① AB=BD;② AD=AB;③ AD=BD. 第十八章　平行四边形 一、 1. C 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. C 解析:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC= 90°.∵ AB=6,BC=8,∴ 矩形ABCD 的面积为6×8= 48,AC= AB2+BC2 =10.∵ 对角线 AC,BD 交于 点O,∴ AO=DO=12AC=5 ,△AOD 的面积为48× 1 4=12.∵ OE⊥AO,EF⊥DO,∴ S△AOD =S△AOE+ S△DOE,即12= 1 2AO ·OE+12DO ·EF.∴ 12=12× 5OE+12×5EF.∴ 5(OE+EF)=24.∴ OE+EF=245. 利用等面积法解决线段长度和的问题 等面积法是利用面积相等来解决有关数学问题的 方法.本题借助一个三角形面积的两种不同的表示方 法建立等量关系,进而求出线段长度的和. 9. C 解析:如图,连接 AE,AC,CF,CG.∵ 四边形 DEFG 是正方形,∴ ∠EDG=90°,EF=DE=DG.∵ 四 边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AD=CD,∠ADC=90°. ∴ ∠ADE=∠CDG.∴ △ADE≌△CDG.∴ AE= CG.∴ d1+d2+d3=EF+CF+AE.∴ 当点A,E,F,C 在同一条直线上时,EF+CF+AE 最小,即d1+d2+ d3 最小.∴ d1+d2+d3 的最 小 值 为 AC 的 长.在 Rt△ABC 中,AC=2AB=22,∴ d1+d2+d3 的最小 值=AC=22. 第9题 10. D 解析:根据题意,可得DP=tcm,BM=tcm. ∵ AD=10cm,BC=8cm,∴ AP=(10-t)cm,CM= (8-t)cm.当四边形ABMP 为矩形时,AP=BM,即10- t=t,解得t=5,∴ 选项A不符合题意.当四边形CDPM 为平行四边形时,DP=CM,即t=8-t,解得t=4,∴ 选 项B不符合题意.当CD=PM 时,分两种情况:① 四边形 CDPM 是平行四边形,此时CM=PD,即8-t=t,解得 t=4.② 四边形CDPM 是等腰梯形,如图,过点 M 作 MG⊥AD 于点G,过点C 作CH⊥AD 于点H,则易得四 边形ABMG 为矩形,且∠MGP=∠CHD=90°.∵ 易得 PM=CD,GM=HC,∴ △MGP≌△CHD.∴ GP= HD.∵ AG =AP +GP = 10-t+t- (8-t) 2 cm, 又∵ BM=tcm,AG=BM,∴ 10-t+t- (8-t) 2 =t ,解 得t=6.综上所述,当CD=PM 时,t=4或6.∴ 选项C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 不符合题意,选项D符合题意. 第10题 二、 11. (-2,-1) 12. 答案不唯一,如AB=AD 13. 21 14. 6 15. 20 16. 4或8 解析:过点 D 作DE⊥直线 AB 于点E. ∵ ∠A=30°,∴ DE=12AD=23.∴ AE= 3DE=6, BE= BD2-DE2= 42-(23)2=2.∴ AB=AE- BE=4或AB=AE+BE=8.∵ 四边形ABCD 是平行四 边形,∴ CD=AB=4或8. 因忽略高的位置而丢解 在解几何问题时,未配图的题目通常要分类讨 论.在▱ABCD 中,已知∠A=30°,我们很自然联想到 “在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”, 因此我们需要构造含有30°角的直角三角形.过点D 作 DE⊥AB 于点E,高DE 可以在平行四边形的内部,也 可以在平行四边形的外部,而我们经常容易忽略高在 外部这种情况,从而丢解. 17. ①②④ 解析:① 如图,连接AD,交BE 于点O.在 正 六 边 形 ABCDEF 中,易 得 ∠BAO = ∠ABO = ∠OED=∠ODE=60°,∴ △AOB 和△DOE 是等边三角 形.∴ OA=OD,OB=OE.又∵ BM=EN,∴ OM= ON.∴ 四边形AMDN 是平行四边形.故①符合题意. ② ∵ ∠FAN = ∠CDM,且 易 得 ∠CDA = ∠DAF, ∴ ∠OAN=∠ODM.∴ AN∥DM.又∵ ∠AON = ∠DOM,OA=OD,∴ △AON ≌△DOM.∴ AN = DM.∴ 四边形AMDN 是平行四边形.故②符合题意. ③ ∵ AM = DN,AB = DE,∠ABM = ∠DEN, ∴ △ABM 与△DEN 不一定全等,不能得出四边形 AMDN 是平行四边形.故③不符合题意.④ ∵ ∠AMB= ∠DNE,∠ABM =∠DEN,AB=DE,∴ △ABM ≌ △DEN.∴ AM =DN.∵ ∠AMB+∠AMN=180°, ∠DNM + ∠DNE =180°,∴ ∠AMN = ∠DNM. ∴ AM∥DN.∴ 四边形AMDN 是平行四边形.故④符合 题意. 第17题 18. 48 13 或80 11 解析:如图,连接BE.在正方形ABCD 中, ∠A=90°,AB=BC.∵ 将△ABP 沿BP 折叠,∴ AB= A'B,∠A=∠BA'P=90°,AP=A'P.∴ A'B=BC.在 Rt△BCE 和Rt△BA'E 中, BC=BA', BE=BE, ∴ Rt△BCE≌ Rt△BA'E.∴ CE=A'E.∵ F 是CD 的中点,∴ DF= CF=8.当点E 在点F 的下方时,∵ EF=2,∴ DE=10, CE=6=A'E.∵ DE2+DP2=PE2,∴ 102+(16- AP)2=(AP+6)2.∴ AP=8011. 当点E 在点F 的上方 时,∵ EF=2,∴ DE=6,CE=10=A'E.∵ DE2+ DP2=PE2,∴ 62+(16-AP)2=(AP+10)2.∴ AP= 48 13. 综上所述,AP 的长为4813 或80 11. 第18题 三、 19. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA= OC,OB=OD.∵ BE=DF,∴ OE=OF.∴ 四边形 AECF 是菱形.∵ OE=OA,∴ OE=OF=OA=OC,即 EF=AC.∴ 四边形AECF 是正方形. 20. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, AD=BC.∵ BD=BD,∴ △ABD≌△CDB.(2) 如图① 所示.(3) 如图②.∵ EF 垂直平分BD,∠DBE=25°, ∴ EB=ED.∴ ∠DBE=∠BDE=25°.∵ ∠AEB 是 △BED 的外角,∴ ∠AEB=∠DBE+∠BDE=25°+ 25°=50°. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 21. (1) ∵ E 为AB 的中点,∴ AB=2AE=2BE. ∵ AB=2CD,∴ CD=AE.又∵ AE∥CD,∴ 四边形 AECD 是平行四边形.∵ AC 平分∠DAB,∴ ∠DAC= ∠EAC.∵ AB∥CD,∴ ∠DCA=∠CAB.∴ ∠DCA= ∠DAC.∴ AD =CD.∴ 四 边 形 AECD 是 菱 形. (2) ∵ 四边形AECD 是菱形,∠D=120°,∴ AD=CD= CE=AE=2,∠AEC=∠D=120°.∴ AE=CE=BE, ∠CEB=60°.∴ ∠CAE=∠ACE=30°,△CEB 是等边 三角形.∴ BE=BC=CE=2,∠B=60°.∴ ∠ACB= 90°.∴ 易得AC=3BC=23.∴ S△ABC= 1 2AC ·BC= 1 2×23×2=23. 22. (1) ∵ ∠BAC=90°,AD 是 边 BC 上 的 中 线, ∴ AD=CD=BD=12BC.∵ E 为AD 的中点,∴ AE= DE.∵ AF∥BC,∴ ∠AFE=∠DBE.又∵ ∠AEF= ∠DEB,∴ △AEF≌△DEB.∴ AF=BD.∴ AD= AF.(2) ① 45°.② 30°. 23. (1) 如图,连接DE,BF.∵ 四边形ABCD 是平行四 边形,∴ BO=OD,AO=OC.∵ E,F 分别为AO,OC 的 中点,∴ EO=12OA ,OF=12OC.∴ EO=FO.∵ BO= OD,EO=FO,∴ 四边形DEBF 是平行四边形.∴ BE= DF.(2) 当k=2时,四边形 DEBF 是矩形.理由: ∵ AC BD=k=2 ,∴ AC=2BD.∴ AO=2BO.∵ EO= 1 2OA ,∴ EO=BO,即EF=BD.又∵ 四边形DEBF 是 平行四边形,∴ 四边形DEBF 是矩形. 第23题 24. (1) 如图①,过点E 分别作EM⊥AD 于点M,EN⊥ AB 于点N.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠EAD= ∠EAB.∵ EM ⊥AD,EN ⊥AB,∴ EM =EN. ∵ ∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,∴ 四边形ANEM 是矩 形.∵ EF ⊥DE,∴ ∠MEN = ∠DEF =90°. ∴ ∠DEM=∠FEN.∵ ∠EMD=∠ENF=90°,EM= EN,∴ △EMD≌△ENF.∴ ED=EF.∵ 四 边 形 DEFG 是矩形,∴ 四边形DEFG 是正方形.(2) ∵ 四边 形DEFG 是正方形,四边形ABCD 是正方形,∴ DG= DE,DC=DA=AB=3 2,∠GDE=∠ADC=90°. ∴ ∠ADG=∠CDE.∴ △ADG≌△CDE.∴ AG= CE.∴ AE+AG=AE+EC=AC= 2AD=6.(3) 如图 ②,连接DF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB=AD= 32,AB∥CD.∵ F 恰为AB 的中点,∴ AF=FB= 32 2 .∴ 在 Rt△ADF 中,DF = AD2+AF2 = (32)2+ 32 2 2 =3 102 .∴ 易得正方形DEFG 的 面积=12DF 2=12× 3 10 2 2 =454. 第24题 25. ∵ BC=6,S△ABC=6,∴ △ABC 中边BC 上的高为 6×2÷6=2.∵ 矩形 BCDE 的周长为18,BC=6, ∴ BE=CD=18÷2-6=3.当矩形BCDE 和△ABC 在 BC同侧时,如图①,过点A 作AF⊥BC,垂足为F,延长 FA,交ED 于点G,连接AD.∵ AF⊥BC,AB=AC, ∴ BF=CF=3.∵ AF⊥BC,四边形BCDE 是矩形, ∴ ∠GFC=∠FCD=∠CDG=90°.∴ 四边形CFGD 是 矩形.∴ ∠DGA=90°,GF=CD=3,DG=CF=3. ∵ AF=2,∴ AG=GF-AF=3-2=1.∴ 在Rt△DGA 中,AD= DG2+AG2= 32+12= 10.∵ M,N 分 别为AC,CD 的中点,∴ MN=12AD= 10 2 . 当矩形 BCDE 和△ABC在BC异侧时,如图②,过点A 作AF⊥ ED,垂足为F,与BC 交于点G,连接AD.∵ 四边形 BCDE 是矩形,∴ BC=ED=6,BC∥ED.∴ AG⊥ BC.∴ AG=2.∵ AB=AC,∴ BG=CG.∵ AG⊥BC, ∴ ∠CGF=90°.∵ 四边形BCDE 是矩形,∴ ∠GCD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 ∠CDF=90°.∴ 四边形CDFG 是矩形.同理,四边形 BEFG 是矩形.∴ GF=CD=3,CG=DF,BG=EF.又 ∵ BG=CG,∴ EF=DF,即F 为ED 的中点.∴ DF= 3.∵ AF = AG +GF =2+3=5,∴ AD = AF2+DF2= 52+32= 34.∵ M,N 分别为AC, CD 的中点,∴ MN=12AD= 34 2 . 综上所述,MN 的长 为 10 2 或 34 2 . 第25题 因对图形的位置考虑不全面而丢解 与图形有关的问题,而题目中又没有给出图形,一 定要注意考虑题目中涉及的图形是否唯一.如果图形 不唯一,那么题目就有多个解.本题以三角形的一边为 边作矩形,则新作的矩形与原三角形可以是在这条边 的同侧,也可以在这条边的两侧.我们在解题时常常因 忽略新作的矩形与原三角形在这条边的同侧而丢解. 第十九章　一次函数 一、 1. C 2. B 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. D 9. A 解析:∵ CD∥x轴,∴ 从第50天开始植物的高度 不变.故①正确.设直线AC 对应的函数解析式为y= kx+b,则 30k+b=12, b=6, 解得 k= 1 5 , b=6. ∴ 直线AC 对应的 函数解析式为y= 1 5x+6. 故②正确.当x=40时,y= 1 5×40+6=14 ,即第40天,该植物的高度为14厘米.故 ③正确.当x=50时,y= 1 5×50+6=16 ,即第50天,该 植物的高度为16厘米.16>15,故④错误.综上所述,正确 的是①②③. 10. C 解析:如图,作点C(-2,0)关于y轴的对称点G(2, 0),作点C(-2,0)关于直线y=x+4的对称点D,连接 AD,连接DG 交AB 于点E,交y轴于点F.∴ DE=CE, CF=GF.∴ CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,此时 △CEF 的周长最小.由y=x+4,得A(-4,0),B(0,4), ∴ OA=OB=4,△AOB 是等腰直角三角形.∴ ∠BAC= 45°.∵ 点 C,D 关 于 直 线 AB 对 称,∴ ∠DAB = ∠BAC=45°.∴ ∠DAC=90°.∵ C(-2,0),∴ OC= 2.∴ AC=OA-OC=2=AD.∴ D(-4,2).由D(-4, 2),G(2,0)可得直线 DG 对应的函数解析式为y= -13x+ 2 3. 在y=- 1 3x+ 2 3 中,令x=0,得y= 2 3 , ∴ F 0,23 .由 y=x+4, y=- 1 3x+ 2 3 , 得 x=-52 , y= 3 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ E -52 ,3 2 .∴ 点E 的坐标为 -52 ,3 2 ,点F 的 坐标为 0,23 . 第10题 二、 11. 答案不唯一,如y=-x+2 12. 0.5 13. x≤1 14. y=3x-4 解析:根据平移,得y=3(x-2)+5-3, 化简,得y=3x-4. 一次函数图象平移时,利用函数解析式的 变化规律求函数解析式 一次函数图象平移时,函数解析式的变化规律: “上加下减(只改变b),左加右减(只改变x)”.利用平 移规律解题,非常简便快捷.注意:(1) 直线在平移过程 中,其函数解析式所对应的k值不变;(2) 不要把它与 点的坐标的平移规律相混淆,点的坐标的平移规律是 “上加下减,左减右加”. 15. 2 16. ①③④ 17. y= 5 8x 18. 29 3 解析:设出水管每分钟排水x 升.由题意,得进 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈