10.2 一元线性回归（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

10．2　一元线性回归 课程标准 素养解读 1.了解样本相关关系． 2.了解求一元线性回归方程的方法． 3.初步掌握用一元线性回归模型进行预测的方法. 1.通过一元线性回归模型的分析，培养数学抽象，逻辑推理素养． 2.通过相关关系的判断，提升数学建模与直观想象素养. 青少年是国家的未来和民族的希望．近年来，我国学生体质与健康水平不断迈上新台阶．一般来说，身高比较高的人，体重也会比较重，这说明，身高和体重之间有一定的关系．数学上，如何描述这种关系呢？ [知识点一]　两个变量的相关关系 1．相关关系 当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为　不确定性相关关系　，简称　相关关系　. 2．散点图 以两个变量的取值为坐标画出的用来反映两个变量　相关关系　的图形称为散点图． 3．线性相关关系 一般地，若两个变量具有相关关系，且其散点图中的点大致分布在　一条直线　附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系． [知识点二]　回归直线方程 1．一元线性回归分析 对具有　线性相关关系　的两个变量进行统计、分析的方法称为一元线性回归． 2．回归直线方程 对于具有线性相关关系的两个变量x和y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为　回归直线　，其方程为＝＋x，其中＝，＝　－　，这个方程称为y对x的回归直线方程，称为回归系数． 3．回归直线方程的性质 (1)回归直线方程一定过点(，)． (2)一次函数＝x＋的单调性由b的符号决定，函数递增的充要条件是　b＞0　. (3)的实际意义：当x增大一个单位时，　增大　个单位． 　回归直线方程＝＋x中b的实际意义是什么？ 提示：b表示x每增加1个单位时，的变化量，即x每增加1个单位时，相应地平均增加b个单位． 1．下面变量之间是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 解析：C　[C是相关关系，A，B，D是函数关系．] 2．根据一组数据判断两个变量是否相关时，应选(　　) A．茎叶图 B．频率分布直方图 C．散点图 D．频率分布折线图 解析：C　[判断两个变量是否有相关关系时，应先画出散点图．若这些点大体分布在一条直线附近则具有线性相关关系．] 3．已知x与y之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线方程＝x＋必过点(　　) A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：D　[∵＝＝1.5， ＝＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．] 　变量间相关关系的判断 　下列关系中，属于相关关系的是　________　.(填序号) ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [思路点拨]　依据相关关系的概念判断 [解析]　在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 答案：②④ 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． [变式训练] 1．下列两个变量之间是相关关系的是(　　) A．圆的面积与半径之间的关系 B．球的体积与半径之间的关系 C．角度与它的正弦值之间的关系 D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析：D　[由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S＝πr2，B表示球的体积与半径之间的关系V＝，C表示角度与它的正弦值之间的关系y＝sin α，都是确定的函数关系，只有D是相关关系．] 　散点图的应用 　下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图． (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量具有什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ [思路点拨]　画出散点图进行判断． [解]　(1)散点图如图． (2)从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的散点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．结合实际可知，水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长． (1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图．变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关． (2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． [变式训练] 2．5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 　学生 成绩　 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系． 解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示． 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系． 　求回归直线方程 　在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表. x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图； (2)求y与x之间的回归直线方程； (3)利用回归直线方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少． [思路点拨]　根据求回归直线方程的方法求解． [解]　(1)散点图如图所示． (2)从散点图中，我们可以看出y与x的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义． ＝(5＋10＋15＋…＋120)＝， ＝(6＋10＋10＋…＋46)＝， iyi＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46 ＝13 910， ＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750， 所以＝＝ ≈0.304. ＝－＝－0.304×＝5.36. 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的回归直线方程为 ＝0.304x＋5.36. (3)根据(2)求得的回归直线方程，当腐蚀时间为100 s时，＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s时腐蚀深度为35.76 μm. 1．求回归直线方程前应注意的问题 对于性质不明确的两组数据，要先作散点图，从图中看它们有无线性相关关系，有相关关系的求出的回归直线方程才有实际意义． 2．求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算，，，iyi. (4)代入公式计算，，公式为 (5)写出回归直线方程＝x＋.[变式训练] 3．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出回归直线方程； (3)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入． 解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散点图如图． (2)＝＝4，＝＝9， iyi＝14＋24＋45＋72＝155， ＝4＋9＋25＋36＝74， ∴＝＝1.1，＝9－1.1×4＝4.6， ∴要求的回归直线方程为＝1.1x＋4.6. (3)当x＝9时，＝1.1×9＋4.6＝14.5. 故当销售为9吨时，估计销售收入为14.5万元． 1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的选项是(　　) A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B．圆半径与圆的面积 C．正n边形的边数与内角度数之和 D．人的年龄与身高 解析：D　[人的年龄与身高具有相关关系．] 2．两个变量负相关时，散点图的特征是(　　) A．点散布在从左下角到右上角的区域内 B．点散布在某带形区域内 C．点散布在某圆形区域内 D．点散布在从左上角到右下角的区域内 解析：D　[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该散布在从左上角到右下角的区域内．] 3．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y　________　个单位． 解析：＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝y－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位． 答案：减少2.5 4．若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的回归直线方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为　________　kg. 解析：把x＝80代入回归直线方程可得其预测值 ＝5×80＋250＝650(kg)． 答案：650 [基础过关] 1．下列命题中表示的事件不具有相关关系的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．瑞雪兆丰年 B．吸烟有害健康 C．名师出高徒 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 解析：D　[容易看出选项A、C是谚语，是我国古代人民经过长期观察总结出来的规律，其中的“瑞雪”与“丰年”，“名师”与“高徒”之间具有相关关系；“吸烟有害健康”也是现在医学和科研人员经过大量实践研究出来的，其中的“吸烟”与“健康”也有相关关系；但“喜鹊叫喜，乌鸦叫丧”却没有科学依据，故不具有相关关系．] 2．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　) A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 解析：A　[因为y与x负相关，所以排除B、D，又因为C项中x>0时y<0，不合题意，所以C错误．] 3．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归直线方程为＝650＋80x，下列说法中正确的个数是(　　) ①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[代入方程计算可判断①②④正确．] 4．回归直线方程表示的直线＝＋x必经过点(　　) A．(0,0) B．(，0) C．(，) D．(0，) 解析：C　[由＝－，得＝＋，即点(，)满足方程＝＋x.] 5．某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)统计如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为＝－6.4x＋151，则上表中的m的值为　________　. 解析：＝＝17.5， ＝＝， 所以＝－6.4×17.5＋15.1，解得m＝41. 答案：41 6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是　________　亿元． 解析：将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1. 答案：12.1 7．试验测得五组(x，y)的值：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,5)，(7,5)，则y与x之间的回归直线方程为＝x－2.8，则＝　________　. 解析：∵＝＝5，＝＝3.2.又回归直线＝x－2.8过点(，)知， 3．2＝×5－2.8，＝＝1.2. 答案：1.2 8．已知回归直线的回归系数的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则回归直线方程是　________　. 解析：回归直线的回归系数的估计值为1.23，即＝1.23，又回归直线过定点(4,5)，∴a＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08. 答案：＝1.23x＋0.08 9．2024年元旦前夕，某市统计局统计了该市2023年10户家庭的年收入和饮食支出的统计资料如下表： 年收入x(万元) 2 4 4 6 6 年饮食支出y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 年收入x(万元) 6 7 7 8 10 年饮食支出y(万元) 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)如果已知y与x是线性相关的，求回归直线方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：iyi＝117.7，＝406) 解：依题意可计算得，＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，又∵iyi＝117.7，＝406， ∴＝≈0.17，＝－＝0.81， ∴＝0.17x＋0.81， ∴所求的回归直线方程为＝0.17x＋0.81. (2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)可估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元． [能力提升] 10．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 解析：A　[∵x与y正相关，∴回归直线的回归系数为正，故C，D不正确，又回归直线过(，)，代入检验可知A正确．] 11．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间(单位：分钟)，进行了10次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间/分钟 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 如回归直线方程的回归系数是，则的值是(　　) A.＝11－22 B.＝22－11 C.＝11－22 D.＝22－11 解析：B　[由＝＝11，＝(4＋7＋12＋15＋21＋25＋27＋31＋37＋41)＝22，得＝－＝22－11.] 12．某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程＝0.56x＋，据此模型预测身高为172 cm的高三男生的体重为(　　) A．70.09 B．70.12 C．70.29 D．65.79 解析：B　[∵＝＝170，＝＝69.又回归直线过(，)，∴69＝0.56×170＋，＝－26.2.∴回归直线为＝0.56x－26.2，当x＝172时，＝70.12.] 13．已知算得某工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的回归直线方程为＝1.215x＋0.974，计算当x＝2时，总成本y的估计值为　________　. 解析：当x＝2时，总成本y的估计值＝1.215×2＋0.974＝3.404. 答案：3.404 14．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，回归直线方程为＝0.95x＋，则等于　________　. 解析：∵点(，)在回归直线上， 计算得＝＝2， ＝＝4.5， ∴4.5＝0.95×2＋，∴＝2.6. 答案：2.6 15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的回归直线方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：回归直线方程＝x＋中，＝，＝－. 解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2.又＝ ＝＝＝0.3. 又＝－＝2－0.3×8＝－0.4. 故所求回归直线方程为＝0.3x－0.4. (2)由回归直线方程＝0.3x－0.4中＝0.3>0， ∴x与y之间正相关． (3)当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7，∴该居民区某家庭月收入为7千元；预测该家庭的月储蓄为1.7千元． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)＝(　　) A．a B．1－a C．2a D．1－2a 解析：B　[对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c) ＝1－P(ξ>c)＝1－a.] 2．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X≤3)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[X服从正态分布N(3，σ2)，则正态曲线关于直线x＝3对称，所以P(X≤3)＝.] 3．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X>4)＝P(X<0)，则μ＝(　　) A．9 B．3 C．2 D．1 解析：C　[随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X>4)＝P(X<0)，所以由正态曲线的对称性可得曲线关于x＝2对称，故μ＝2.] 4．商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布N(20,0.22)，任选一袋大米，质量在19.6～20.4 kg的概率是(　　) A．0.682 6 B．0.954 4 C．0.977 4 D．以上都不是 解析：B　[由题意知μ＝20，标准差σ＝0.2， 所以P(19.6<ξ<20.4)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ) ＝0.954 4.] 5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)上的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝　________　时，达到最高点． 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 答案：0.2 6．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且它的均值为5，标准差为1，则μ＝　________　，σ＝　________　. 解析：根据正态密度函数的定义知μ＝5，σ＝1. 答案：5　1 7．若随机变量X～N(0,1)，则P(x<0)＝　________　. 解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x<0)＝. 答案： 8．在正态分布N中，数据落在(－2,2)内的概率为　________　. 解析：由题意得μ＝0，σ＝，P(－2<X<2) ＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%. 答案：99.7% 9．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，求P(－1<ξ<0)． 解：ξ服从标准正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p， 因为μ＝0，所以P(ξ<－1)＝p. 又因为P(ξ<0)＝， 所以P(－1<ξ<0)＝－p. [能力提升] 10．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 解析：B　[∵零件外直径服从正态分布N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在[10－3×0.2,10＋3×0.2]即[9.4,10.6]之外时为异常．∵9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．] 11．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>8－m)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关 解析：C　[∵随机变量X服从正态分布 N(4，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝4. ∵P(X>m)＝0.3，由正态曲线的对称性得， P(X<8－m)＝P(X>m)＝0.3， 故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.] 12．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：C　[∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.] 13．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)＝　________　. 解析：随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以正态曲线的对称轴为μ＝1，于是P(ξ>1)＝P(ξ<1)＝0.5，又P(ξ<2)＝0.8，所以P(1<ξ<2)＝0.3，根据对称性得P(0<ξ<1)＝0.3. 答案：0.3 14．某种零件的尺寸X(单位：cm) 服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的　________　. 解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%. 答案：4.6% 15．在某次语文考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90,100)． (1)求考生成绩ξ位于区间(80,100)内的概率； (2)若此次考试共有1 000名考生，试估计成绩在区间(70,110)内的考生人数． 解：根据题意，ξ～N(90,100)，μ＝90，σ＝10. (1)P(80<ξ<100)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，所以考生成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6. (2)P(70<ξ<110)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，即考生成绩在区间(100,140)内的概率为0.954 4.于是，成绩在区间(70,110)内的考生大约有1 000×0.954 4≈954人． 学科网（北京）股份有限公司 $$10.2 一元线性回归 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第10章 统计 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课程标准 素养解读 1.了解样本相关关系． 2.了解求一元线性回归方程的方法． 3.初步掌握用一元线性回归模型进行预测的方法. 1.通过一元线性回归模型的分析，培养数学抽象，逻辑推理素养． 2.通过相关关系的判断，提升数学建模与直观想象素养. 青少年是国家的未来和民族的希望．近年来，我国学生体质与健康水平不断迈上新台阶．一般来说，身高比较高的人，体重也会比较重，这说明，身高和体重之间有一定的关系．数学上，如何描述这种关系呢？ [知识点一]　两个变量的相关关系 1．相关关系 当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为　不确定性相关关系　，简称　相关关系　. 2．散点图 以两个变量的取值为坐标画出的用来反映两个变量　相关关系　的图形称为散点图． 3．线性相关关系 一般地，若两个变量具有相关关系，且其散点图中的点大致分布在　一条直线　附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系． [知识点二]　回归直线方程 1．一元线性回归分析 对具有　线性相关关系　的两个变量进行统计、分析的方法称为一元线性回归． 2．回归直线方程 对于具有线性相关关系的两个变量x和y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为　回归直线　，其方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x，其中eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq \o(a,\s\up6(^))＝　eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))　，这个方程称为y对x的回归直线方程，eq \o(b,\s\up6(^))称为回归系数． 3．回归直线方程的性质 (1)回归直线方程一定过点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))． (2)一次函数eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))的单调性由b的符号决定，函数递增的充要条件是　b＞0　. (3)eq \o(b,\s\up6(^))的实际意义：当x增大一个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))　增大eq \o(b,\s\up6(^))　个单位． 　回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x中b的实际意义是什么？ 提示：b表示x每增加1个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))的变化量，即x每增加1个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))相应地平均增加b个单位． 1．下面变量之间是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 解析：C　[C是相关关系，A，B，D是函数关系．] 2．根据一组数据判断两个变量是否相关时，应选(　　) A．茎叶图 B．频率分布直方图 C．散点图 D．频率分布折线图 解析：C　[判断两个变量是否有相关关系时，应先画出散点图．若这些点大体分布在一条直线附近则具有线性相关关系．] 3．已知x与y之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))必过点(　　) A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：D　[∵eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1＋3＋5＋7,4)＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．] 变量间相关关系的判断 　下列关系中，属于相关关系的是　________　.(填序号) ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [思路点拨]　依据相关关系的概念判断 [解析]　在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． [答案] ②④ 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． [变式训练] 1．下列两个变量之间是相关关系的是(　　) A．圆的面积与半径之间的关系 B．球的体积与半径之间的关系 C．角度与它的正弦值之间的关系 D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析：D　[由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S＝πr2，B表示球的体积与半径之间的关系V＝eq \f(4πr3,3)，C表示角度与它的正弦值之间的关系y＝sin α，都是确定的函数关系，只有D是相关关系．] 散点图的应用 　下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图． (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量具有什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ [思路点拨]　画出散点图进行判断． [解]　(1)散点图如图． (2)从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的散点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．结合实际可知，水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长． (1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图．变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关． (2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． [变式训练] 2．5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 　学生 成绩　 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系． 解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示． 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系． 求回归直线方程 　在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表. x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图； (2)求y与x之间的回归直线方程； (3)利用回归直线方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少． [思路点拨]　根据求回归直线方程的方法求解． [解]　(1)散点图如图所示． (2)从散点图中，我们可以看出y与x的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义． eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,11)(5＋10＋15＋…＋120)＝eq \f(510,11)， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,11)(6＋10＋10＋…＋46)＝eq \f(214,11)， eq \i\su(i＝1,11,x)iyi＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46 ＝13 910， eq \i\su(i＝1,11,x)eq \o\al(2,i)＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750， 所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,11,x)iyi－11\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,11,x)\o\al(2,i)－11\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(13 910－11×\f(510,11)×\f(214,11),36 750－11×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(510,11)))2) ≈0.304. eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(214,11)－0.304×eq \f(510,11)＝5.36. 故腐蚀深度与腐蚀时间之间的回归直线方程为 eq \o(y,\s\up6(^))＝0.304x＋5.36. (3)根据(2)求得的回归直线方程，当腐蚀时间为100 s时，eq \o(y,\s\up6(^))＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s时腐蚀深度为35.76 μm. 1．求回归直线方程前应注意的问题 对于性质不明确的两组数据，要先作散点图，从图中看它们有无线性相关关系，有相关关系的求出的回归直线方程才有实际意义． 2．求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)计算eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))，eq \i\su(i＝1,n,x)eq \o\al(2,i)，eq \i\su(i＝1,n,x)iyi. (4)代入公式计算eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^))，公式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).)) (5)写出回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^)). [变式训练] 3．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出回归直线方程； (3)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入． 解：(1)在坐标系中描出点(2,7)，(3,8)，(5,9)，(6,12)，散点图如图． (2)eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋9＋12,4)＝9， eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝14＋24＋45＋72＝155， eq \i\su(i＝1,4,x)eq \o\al(2,i)＝4＋9＋25＋36＝74， ∴eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(155－144,74－64)＝1.1，eq \o(a,\s\up6(^))＝9－1.1×4＝4.6， ∴要求的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.1x＋4.6. (3)当x＝9时，eq \o(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5. 故当销售为9吨时，估计销售收入为14.5万元． 1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的选项是(　　) A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B．圆半径与圆的面积 C．正n边形的边数与内角度数之和 D．人的年龄与身高 解析：D　[人的年龄与身高具有相关关系．] 2．两个变量负相关时，散点图的特征是(　　) A．点散布在从左下角到右上角的区域内 B．点散布在某带形区域内 C．点散布在某圆形区域内 D．点散布在从左上角到右下角的区域内 解析：D　[有负相关关系的各点整体呈递减趋势，因此点应该散布在从左上角到右下角的区域内．] 3．设有一个回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y　________　个单位． 解析：eq \o(y,\s\up6(^))＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝y－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位． 答案：减少2.5 4．若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为　________　kg. 解析：把x＝80代入回归直线方程可得其预测值 eq \o(y,\s\up6(^))＝5×80＋250＝650(kg)． 答案：650 PAGE 10 $$