10.1.2 离散程度（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

10.1 集中趋势与离散程度 10.1.2 离散程度 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第10章 统计 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课程标准 素养解读 1.了解用样本数据估计总体的集中趋势参数． 2．了解用样本数据估计总体的离散程度参数. 通过方差和标准差的计算，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 我国拥有世界上规模最大的高速铁路系统，无论是里程、速度还是技术，都居于世界领先水平．我国自主研发的高铁“复兴号”动车组列车(如图)，是目前世界上运营时速最高的高铁列车． 在对列车上某种标准规格为25.64 cm的零件进行招标时，从A厂与B厂提供的样本中分别随机抽取6个零件，测得零件的规格(单位：cm)数据如下． A厂：25.637,25.640,25.641,25.640,25.641,25.641； B厂：25.641,25.640,25.639,25.637,25.641,25.642. 可以发现，所测的两个厂家提供的零件的规格数据的算术平均数都是25.64 cm.因此，单从这一数据无法判断哪个厂家生产的零件更接近标准规格．那么，如何判断哪个厂家生产的零件更接近标准规格呢？ [知识点一]　离散程度 是指数据远离其　中心值　的程度，也称离中趋势． [知识点二]　极差 一组数据的　最大值　和　最小值　之差称为极差，也称全距．用极差来评价数据的离散程度时，极差值越小，说明数据的离散程度　越小　，数据越　集中　，算术平均数的代表性　越好　；反之，极差值越大，数据的离散程度　越大　，数据越　分散　，算术平均数的代表性　越差　. [知识点三]　方差和标准差 设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的方差为 　s2＝eq \f(x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2,n－1)　；这组数据的标准差为 　s＝eq \r(\f(x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2,n－1))　.方差和标准差反映一组数据的平均离散程度．在平均数相同的情况下，方差和标准差越大，数据的离散程度　越大　；方差和标准差越小，数据的离散程度　越小　. [知识点四]　离散系数 一组数据的　标准差　与其　算术平均数　的比称为这组数据的离散系数，也称为标准差系数．计算公式为　Vs＝eq \f(s,\o(x,\s\up6(－)))　.离散系数反映了每单位平均数的离散程度，是数据离散程度的相对性指标．离散系数越大，说明该组数据的离散程度　越大　；离散系数越小，说明该组数据的离散程度　越小　. 1．能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．众数　　B．平均数　　C．标准差　　D．极差 解析：C　[方差和标准差反映一组数据的平均离散程度．] 2．一个样本为：78,80,81,81,72,77,89,90,92,85，则这个样本的极差是(　　) A．72 B．92 C．7 D．20 解析：D　[样本数据的最大值为92，最小值为72，所以极差为92－72＝20.] 3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是 seq \o\al(2,甲)＝1.2，seq \o\al(2,乙)＝1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是(　　) A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比 解析：A　[因为eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙＝9.1，seq \o\al(2,甲)＜seq \o\al(2,乙)，所以甲比乙稳定．] 方差、标准差和离散系数的计算 　在某一次歌唱比赛中，7位评委为某位选手打出以下分数：9.4,9.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数、方差、标准差和离散系数分别是多少？ [思路点拨]　直接利用各统计量的公式计算即可． [解]　平均数：eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.7,5)＝9.5.方差：s2＝eq \f(1,4)×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.02.标准差：s＝eq \r(0.02)≈0.141.离散系数： Vs＝eq \f(s,\o(x,\s\up6(－)))＝eq \f(0.141,9.5)≈0.014 8. 方差、标准差、离散系数的求解关键是正确运用公用，考查计算能力，一定要认真，仔细，防止计算失误． [变式训练] 1．某车床生产一种型号的滚珠，现从这台车床生产的产品中抽取20件，测得滚珠的直径如下(单位：mm)： 15．0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 15.2 15.0 14．8 15.2 15.0 15.0 14.8 14.8 15.1 14.9 15.3 14.8 试求这批零件的平均直径及样本方差(精确到0.001)． 解：平均直径：eq \f(1,20)×(15.0＋14.5＋15.2＋15.5＋14.8＋15.1＋15.2＋14.8＋15.2＋15.0＋14.8＋15.2＋15.0＋15.0＋14.8＋14.8＋15.1＋14.9＋15.3＋14.8)＝15.0. 样本方差：eq \f(1,19)×[(14.5－15.0)2＋4×(15.2－15.0)2＋(15.5－15.0)2＋6×(14.8－15.0)2＋2×(15.1－15.0)2＋(14.9－15.0)2＋(15.3－15.0)2]≈0.054. 标准差、方差的应用 　要从甲、乙两名同学中选拔一名同学参加数学竞赛，让他们做测试．两位选手的5次成绩为：甲：72,71,69,68,70，乙：75,65,78,62,70.你觉得选哪位选手参加比赛更合适？ [思路点拨]　正确运用公式计算甲、乙两名同学的算术平均数和方差，再做出决定． [解]　eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,5)×(72＋71＋69＋68＋70)＝70， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,5)×(75＋65＋78＋62＋70)＝70. seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,4)×[(72－70)2＋(71－70)2＋(69－70)2＋(68－70)2＋(70－70)2]＝2.5； seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,4)×[(75－70)2＋(65－70)2＋(78－70)2＋(62－70)2＋(70－70)2]＝44.5.由于eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，seq \o\al(2,甲)＜seq \o\al(2,乙)，所以甲选手较乙选手成绩更稳定． 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． [变式训练] 2．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔50 cm抽一包产品，称其质量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102,101,99,98；乙：110,90,85,115. 计算两个车间质量的方差、标准差和离散系数，说明哪个车间的产品较稳定． 解：eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,4)×(102＋101＋99＋98)＝100， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,4)×(110＋90＋85＋115)＝100， seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,3)×(22＋12＋12＋22)＝eq \f(10,3)， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,3)×(102＋102＋152＋152)＝eq \f(650,3). s甲≈1.83，s乙≈14.72.Vs甲＝eq \f(1.83,100)＝0.018 3， Vs乙＝eq \f(14.72,100)＝0.147 2. 由于eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，seq \o\al(2,甲)＜seq \o\al(2,乙)，所以甲车间的产品较稳定． 1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是(　　) A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 解析：B　[极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．] 2．数据：5,5,5,5,5的方差是(　　) A．0　　　　B．5　　　　C．25　　　　D．2.5 解析：A　[平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝5，方差为s2＝eq \f(1,4)[(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2]＝0.] 3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　) A.eq \r(\f(6,5)) B.eq \f(5,2) C.eq \r(2) D．2 解析：B　[由样本平均值为1，知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，故a＝－1.所以样本方差s2＝eq \f(1,n－1)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2，s2＝eq \f(1,4)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.5.] 4．7名学生的鞋号(单位：厘米)由小到大是19,21,22,22,22,23,25，则这组数据的极差是　________　. 解析：该组数据最大值是25，最小值是19，所以该组数据极差是25－19＝6. 答案：6 $$ 10．1.2　离散程度 课程标准 素养解读 1.了解用样本数据估计总体的集中趋势参数． 2．了解用样本数据估计总体的离散程度参数. 通过方差和标准差的计算，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　 我国拥有世界上规模最大的高速铁路系统，无论是里程、速度还是技术，都居于世界领先水平．我国自主研发的高铁“复兴号”动车组列车(如图)，是目前世界上运营时速最高的高铁列车． 在对列车上某种标准规格为25.64 cm的零件进行招标时，从A厂与B厂提供的样本中分别随机抽取6个零件，测得零件的规格(单位：cm)数据如下． A厂：25.637,25.640,25.641,25.640,25.641,25.641； B厂：25.641,25.640,25.639,25.637,25.641,25.642. 可以发现，所测的两个厂家提供的零件的规格数据的算术平均数都是25.64 cm.因此，单从这一数据无法判断哪个厂家生产的零件更接近标准规格．那么，如何判断哪个厂家生产的零件更接近标准规格呢？ [知识点一]　离散程度 是指数据远离其　中心值　的程度，也称离中趋势． [知识点二]　极差 一组数据的　最大值　和　最小值　之差称为极差，也称全距．用极差来评价数据的离散程度时，极差值越小，说明数据的离散程度　越小　，数据越　集中　，算术平均数的代表性　越好　；反之，极差值越大，数据的离散程度　越大　，数据越　分散　，算术平均数的代表性　越差　. [知识点三]　方差和标准差 设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的方差为 　s2＝　；这组数据的标准差为 　s＝　.方差和标准差反映一组数据的平均离散程度．在平均数相同的情况下，方差和标准差越大，数据的离散程度　越大　；方差和标准差越小，数据的离散程度　越小　. [知识点四]　离散系数 一组数据的　标准差　与其　算术平均数　的比称为这组数据的离散系数，也称为标准差系数．计算公式为　Vs＝　.离散系数反映了每单位平均数的离散程度，是数据离散程度的相对性指标．离散系数越大，说明该组数据的离散程度　越大　；离散系数越小，说明该组数据的离散程度　越小　. 1．能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．众数　　B．平均数　　C．标准差　　D．极差 解析：C　[方差和标准差反映一组数据的平均离散程度．] 2．一个样本为：78,80,81,81,72,77,89,90,92,85，则这个样本的极差是(　　) A．72 B．92 C．7 D．20 解析：D　[样本数据的最大值为92，最小值为72，所以极差为92－72＝20.] 3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是 s＝1.2，s＝1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是(　　) A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定 C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比 解析：A　[因为甲＝乙＝9.1，s＜s，所以甲比乙稳定．] 　方差、标准差和离散系数的计算 　在某一次歌唱比赛中，7位评委为某位选手打出以下分数：9.4,9.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数、方差、标准差和离散系数分别是多少？ [思路点拨]　直接利用各统计量的公式计算即可． [解]　平均数：＝＝9.5.方差：s2＝×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.02.标准差：s＝≈0.141.离散系数： Vs＝＝≈0.014 8. 方差、标准差、离散系数的求解关键是正确运用公用，考查计算能力，一定要认真，仔细，防止计算失误． [变式训练] 1．某车床生产一种型号的滚珠，现从这台车床生产的产品中抽取20件，测得滚珠的直径如下(单位：mm)： 15．0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 15.2 15.0 14．8 15.2 15.0 15.0 14.8 14.8 15.1 14.9 15.3 14.8 试求这批零件的平均直径及样本方差(精确到0.001)． 解：平均直径：×(15.0＋14.5＋15.2＋15.5＋14.8＋15.1＋15.2＋14.8＋15.2＋15.0＋14.8＋15.2＋15.0＋15.0＋14.8＋14.8＋15.1＋14.9＋15.3＋14.8)＝15.0. 样本方差：×[(14.5－15.0)2＋4×(15.2－15.0)2＋(15.5－15.0)2＋6×(14.8－15.0)2＋2×(15.1－15.0)2＋(14.9－15.0)2＋(15.3－15.0)2]≈0.054. 　标准差、方差的应用 　要从甲、乙两名同学中选拔一名同学参加数学竞赛，让他们做测试．两位选手的5次成绩为：甲：72,71,69,68,70，乙：75,65,78,62,70.你觉得选哪位选手参加比赛更合适？ [思路点拨]　正确运用公式计算甲、乙两名同学的算术平均数和方差，再做出决定． [解]　甲＝×(72＋71＋69＋68＋70)＝70， 乙＝×(75＋65＋78＋62＋70)＝70. s＝×[(72－70)2＋(71－70)2＋(69－70)2＋(68－70)2＋(70－70)2]＝2.5； s＝×[(75－70)2＋(65－70)2＋(78－70)2＋(62－70)2＋(70－70)2]＝44.5.由于甲＝乙， s＜s，所以甲选手较乙选手成绩更稳定． 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． [变式训练] 2．某工厂甲、乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔50 cm抽一包产品，称其质量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据如下： 甲：102,101,99,98；乙：110,90,85,115. 计算两个车间质量的方差、标准差和离散系数，说明哪个车间的产品较稳定． 解：甲＝×(102＋101＋99＋98)＝100， 乙＝×(110＋90＋85＋115)＝100， s＝×(22＋12＋12＋22)＝， s＝×(102＋102＋152＋152)＝. s甲≈1.83，s乙≈14.72.Vs甲＝＝0.018 3， Vs乙＝＝0.147 2. 由于甲＝乙，s＜s，所以甲车间的产品较稳定． 1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是(　　) A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 解析：B　[极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．] 2．数据：5,5,5,5,5的方差是(　　) A．0　　　　B．5　　　　C．25　　　　D．2.5 解析：A　[平均数＝5，方差为s2＝[(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2]＝0.] 3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　) A. B. C. D．2 解析：B　[由样本平均值为1，知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，故a＝－1.所以样本方差s2＝(xi－)2，s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.5.] 4．7名学生的鞋号(单位：厘米)由小到大是19,21,22,22,22,23,25，则这组数据的极差是　________　. 解析：该组数据最大值是25，最小值是19，所以该组数据极差是25－19＝6. 答案：6 [基础过关] 1．样本甲和乙，其中甲＝10，乙＝10，s＝0.55， s＝0.015，那么样本甲与样本乙的波动情况为(　　) A．样本甲波动较大　　　　 B．相等 C．样本甲波动较小 D．无法确定 解析：A　[由于甲＝乙，s＞s，∴样本甲的波动比样本乙大．] 2．数据50,51,52,53,54的样本标准差为(　　) A.　　　　B．2　　　　C.　　　 D. 解析：D　[＝(50＋51＋52＋53＋54)＝52，所以，标准差s＝ ＝＝.] 3．在某项体育比赛中7位裁判为一选手打出的分数为：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　) A．92,2 B．92,3.5 C．93,2 D．93,3.5 解析：B　[去掉95和89后，剩下5个数据的平均值＝＝92.方差s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝3.5.] 4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　) A．57.2,3.6 B．57.2,56.4 C．62.8,63.6 D．62.8,3.6 解析：D　[每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．] 5．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　) A．6 B. C．66 D．6.6 解析：D　[因为＝×(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝6，所以x＝5.方差为：s2＝×[(2－6)2＋(4－6)2×2＋(5－6)2×3＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(9－6)2＋(11－6)2]＝6.6.] 6．一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是　________　. 解析：∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得x＝3，∴此组数据的方差s2＝×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝10，∴此组数据的标准差 s＝. 答案： 7．已知一组数据1，，x,2－，－1的平均数为1，则这组数据的极差是　________　. 解析：根据题意得出：1＋＋x＋(2－)－1＝5×1，解得x＝3，则这组数据的极差为3－(－1)＝4. 答案：4 8．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是　________　. 解析：根据平均数和方差的公式可知， 由于一个样本a,3,5,7的平均数是b，那么可知a＋3＋5＋7＝4b， 同时a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则可知a＋b＝5，ab＝4，那么解方程可知a＝1，b＝4，那么可知样本的方差为s2＝[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5. 答案：5 9．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 分别计算两个样本的平均数和方差s2. 解：甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74. 乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73. s＝×(142＋62＋42＋162＋42)＝130. s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝70. [能力提升] 10．一组数据的方差为s2，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差和平均数为(　　) A.s2， B．2s2,2 C．4s2,2 D．s2， 解析：C　[将一组数据的每一个数都乘a，则新数据组的方差为原来数据组方差的a2倍，平均数为原来数据组的a倍．] 11．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2.5，则|x－y|的值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：D　[因为＝10，[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.5，化简得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解得x＝12，y＝8或x＝8，y＝12，所以|x－y|＝4.] 12．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解析：B　[设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.] 13．5名学生每周运动的天数分别为4,5,5,5,6，则这组数据的标准差系数为　________　. 解析：＝＝5.s＝ ＝＝.Vs＝＝. 答案： 14．抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是　________　，得分的方差是　________　. 解析：总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是 44÷20＝2.2，方差s2＝×[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]≈1.01. 答案：2.2　1.01 15．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解：(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：D　[①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．] 2．若随机变量X～B，则P(X＝2)＝(　　) A.2×3 B.2×3 C．C2×3 D．C2×3 解析：D　[∵随机变量X～B，∴P(X＝2)＝C2×3.] 3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4,1] B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1] 解析：A　[由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.] 4．甲、乙两队进行排球比赛，采用“3局2胜”制，即先赢2局的队伍获胜．根据经验，每局比赛中甲队获胜的概率为0.6，则本次比赛甲队获胜的概率是(　　) A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 解析：D　[甲获胜有两种情况：一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时P2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.] 5．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则D(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由题意得，从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为.因为是有放回地取球，所以X～B，所以D(X)＝5××＝.] 6．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为　________　. 解析：P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6. 答案：0.048 6 7．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为80%，则他在5次罚球中罚失2球的概率是　________　. 解析：用X表示这名运动员在5次罚球中罚失的次数，则X～B(5,0.2)．他在5次罚球中罚失2次的概率为P(X＝2)＝C×(0.2)2×(0.8)3＝0.204 8. 答案：0.204 8 8．在种子发芽的试验中，每颗种子发芽的概率都是0.8，则5颗种子恰有4颗发芽的概率是　________　. 解析：该随机变量服从二项分布X～B(5,0.8)，则P(ξ＝4)＝C×(0.8)4×(0.2)1＝0.409 6. 答案：0.409 6 9．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列． 解：由题意知，用X表示成功的人数，则X服从n＝3，p＝的二项分布， 于是有P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 即P(X＝0)＝C×0×3＝； P(X＝1)＝C××2＝； P(X＝2)＝C×2×＝； P(X＝3)＝C×3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [能力提升] 10．某批量较大的产品的次品率为10%，从中任意连续取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是(　　) A．0.000 1 B．0.003 6 C．0.048 6 D．0.291 6 解析：B　[n＝4，p＝0.1，P(ξ＝3)＝C×(0.1)3×0.9＝0.003 6.] 11．在珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“ ”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为数字1、2、6这一种情况的全排列，用6根小木棍为数字1、2、3,1、2、7,1、6、3,1、6、7这四种情况的全排列，用7根小木棍为数字1、2、4,1、2、8,1、6、4,1、6、8,1、3、7,2、6、7,2、6、3这七种情况的全排列，故至少要用8根小木棍的概率为1－＝.] 12．某次抽奖活动中，参与者每次抽到中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为P＝C×2＝.] 13．袋子里装有5张卡片，用1,2,3,4,5编号，从中抽取3次，每次抽出一张且抽后放回，则3次中恰有2次抽得奇数编号的卡片的概率为　________　. 解析：奇数卡片被抽取的概率为， ∴所示概率P＝C0.62(1－0.6)＝0.432. 答案：0.432 14．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的均值是　________　. 解析：在1轮投篮中，甲通过的概率为p＝2××＋×＝，未通过的概率为，甲3个轮次通过的次数X服从二项分布X～B，由二项分布的均值公式，得E(X)＝3×＝. 答案： 15．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道 题便可通过．已知6道备选题中，应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数Y的分布列及其均值． 解：(1)设甲正确完成面试的题数为X，则X的取值范围是{1,2,3}，P(X＝2)＝＝. (2)设乙正确完成面试的题数为Y，则Y的取值范围是{0,1,2,3}． P(Y＝0)＝C×3＝； P(Y＝1)＝C×1×2＝＝； P(Y＝2)＝C×2×1＝＝； P(Y＝3)＝C×3＝. 应聘者乙正确完成题数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P Y～B，E(Y)＝3×＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$