10.1.1 集中趋势（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

10．1　集中趋势与离散程度 10．1.1　集中趋势 课程标准 素养解读 了解用样本数据估计总体的集中趋势参数. 通过样本的数字特征的计算，提升逻辑思维和数学运算等核心素养. 为了备战2026年米兰—科尔蒂纳丹佩佐冬季奥运会，甲、乙两名短道速滑运动员按计划进行速滑训练．在某天的训练中，他们随机抽取的5次训练成绩(单位：s)如下： 甲：40.7,41.2,39.9,40.3,41.9； 乙：41.3,39.7,41.4,40.0,41.8. 分析上述数据，你能估计出谁的训练成绩更好吗？ [知识点一]　集中趋势 是指一组数据向某一　中心值　靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在． [知识点二]　平均数 1．算术平均数：一组数据中　所有数据之和　除以这组数据的　个数　称为这组数据的算术平均数．设这组数据为x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为 　＝　. 2．加权算术平均数：若一组数据为x1，x2，…，xn，它们出现的频数为f1，f2，…，fn，则＝，称为这组数据的加权算术平均数，其中fk(k＝1,2，…，n)也称为样本数据xk(k＝1,2，…，n)的　权重　. [知识点三]　中位数和众数 1．中位数：一组数据按　大小　顺序排列后，位于中间位置的　数　或者位于中间位置的　两个数的算术平均数　称为中位数． 2．众数：一组数据中出现次数　最多　的数值称为众数． 　平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 提示：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 1．一组数据3,5,7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数为(　　) A．6 B．7 C．7.5 D．15 解析：C　[由题意知3＋5＋7＋m＋n＝6×5，解得m＋n＝15，所以m，n的平均数为7.5.] 2．下列说法中错误的是(　　) A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个 B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个 C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个 D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个 解析：C　[众数可以有多个．] 3．小红连续5天的体温数据如下(单位：℃)：36.6,36.2,36.5,36.2,36.3.关于这组数据，下列说法中正确的是(　　) A．中位数是36.5 ℃ B．众数是36.2 ℃ C．平均数是36.2 ℃ D．极差是0.3 ℃ 解析：B　[对5个数据进行排列可得36.2,36.2,36.3,36.5,36.6，所以中位数为36.3 ℃，故A项错误；众数为36.2 ℃，故B项正确；平均数为(36.2＋36.2＋36.3＋36.5＋36.6)÷5＝36.36 ℃，故C项错误；极差为36.6－36.2＝0.4 ℃.故D项错误．] 　算术平均数和加权算术平均数 　为促进学生身心健康发展，某中职学校调研全体学生的日睡眠时间，随机抽取了100名学生进行调查，得到的日睡眠时间数据如下表. 日睡眠时间/h 7 7.5 8 8.5 9 9.5 学生数量/人 11 16 27 30 10 6 根据表中的数据，估算该校学生的日平均睡眠时间．[思路点拨]　根据加权算术平均数公式＝计算． [解]　由题意可知，样本数据为：7,7.5,8,8.5,9,9.5.它们的权重分别为：11,16,27,30,10,6.于是，样本数据的加权算术平均数为＝＝8.15(h)． 因此，该校学生的日平均睡眠时间约为8.15 h. 算术平均数和加权算术平均数一般是根据公式来计算，熟记公式是解题的关键． [变式训练] 1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 求这些运动员成绩的平均数． 解：这组数据的平均数为 ＝ ＝≈1.69(m)． 故这17名运动员成绩的平均数为1.69 m. 　众数、中位数、平均数的应用 　据报道，某公司的33名职工的月工资如下(单位：元)： 职务 董事长 副董事长 总经理 董事 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 230 2 730 2 200 1 500 (1)该公司职工的月工资的平均数为　________　元，中位数为　________　元，众数为　________　元； (2)假设副董事长的工资从5 000元涨到15 000元，董事长的工资从5 500元涨到28 500元，那么新的平均工资为　________　元，中位数为　________　元，众数为　________　元；(精确到1元) (3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？ [思路点拨]　根据平均数、众数、中位数的意义与求法，结合实际意义，易求得平均数、众数、中位数的数值． [解]　(1)平均数＝1 500＋ ≈1 500＋651＝2 151(元)；中位数是1 500元；众数是1 500元． (2)平均数＝1 500＋ ≈1 500＋1 651＝3 151(元)；中位数是1 500元；众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别极大，这样导致平均工资与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中． (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． [变式训练] 2．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下(单位：年)： 甲：3,4,5,6,8,8,8,10 乙：4,6,6,6,8,9,12,13 丙：3,3,4,7,9,10,11,12 三个厂家在广告中都称该产品使用寿命为8年，根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一个集中趋势的特征数． 解：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数：对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求数据的平均数可得，平均数为(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)÷8＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7与9，故其中位数是8，即运用了中位数． 1．数据1,2,4,2,5的平均数为(　　) A．2　　　　B．2.5　　　　C．2.8　　　　D．3 解析：C　[平均数＝＝＝2.8.] 2．2,3,14,16,7,8,10,11,13的中位数是(　　) A．3 B．7 C．10 D．13 解析：C　[把这组数据按从小到大排列为2,3,7,8,10,11,13,14,16共9个数，故中位数为第5个数10.] 3．下列数据85,88,73,88,79,86的众数是(　　) A．73 B．79 C．85 D．88 解析：D　[在这组数据中，只有88出现了两次，故众数为88.] 4．下表是某校随机抽查的20名八年级男生的身高统计表： 身高/cm 150 155 160 163 165 168 人数/人 1 3 4 4 5 3 这组数据的众数是　________　cm，中位数是　________　cm，平均数是　________　cm. 解析：在这20个数据中，只有165出现了5次，故众数是165 cm，中位数是第10个数据和第11个数的算术平均数，即163 cm，平均数为＝＝161.8(cm)． 答案：165　163　161.8 [基础过关] 1．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 解析：C　[判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数．] 2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x＝(　　) A．21 B．22 C．20 D．23 解析：A　[＝22，则x＝21.] 3．一组由小到大排列的数据为－1,0,4，x,6,15，这组数据的中位数为5，那么数据的众数为(　　) A．5 B．6 C．4 D．15 解析：B　[根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与x和的平均数，即＝5，所以求出x＝6，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6.] 4．为了了解某商场的营业情况，在一个月中随机抽查了4天的营业额(单位：万元)：64.5,80.6,69.1,58.2，则这个商店在该月日平均营业额约是(　　) A．68.1 B．75.8 C．62.0 D．65.1 解析：A　[平均营业额约为＝68.1.] 5．一组数据83,84,84,89,79,89,91,89,79,75,90,76的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．84,84,84 B．84,84,83 C．84,89,84 D．84,79,84 解析：C　[平均数为(83＋84＋84＋89＋79＋89＋91＋89＋79＋75＋90＋76)×＝84，众数为89，中位数为＝84.] 6．7名学生的鞋号(单位：厘米)由小到大是20,21,22,22,22,23,23，则这组数据的中位数是　________　. 解析：由中位数的定义可得这组数据的中位数是22. 答案：22 7．为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”5项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间(单位：小时)分别为8,8,8,8.5,7.5,9，则这组数据的众数为　________　. 解析：这组数据中“8”出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是8. 答案：8 8．某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计见下表： 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 3 1 2 5 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是　________　、　________　. 解析：众数和中位数分别是15岁、14.5岁． 答案：15岁　14.5岁 9．为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)： 轮胎A　96,112,97,108,100,103,86,98 轮胎B　108,101,94,105,96,93,97,106 分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数． 解：A轮胎行驶的最远里程的平均数为＝100(km)，中位数为＝99(km)；B轮胎行驶的最远里程的平均数为＝100(km)，中位数为＝99(km)． [能力提升] 10．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 解析：D　[由已知得a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b＝×(15＋15)＝15，c＝17，∴c>b>a.] 11．样本中共有5个个体，其值分别为a,3,4,5,6.若该样本的平均值为3，则a的值为(　　) A．－3 B．3 C．4 D．5 解析：A　[由题意＝3，解得a＝－3.] 12．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输成了15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是(　　) A．2 B．1 C．－3 D．－2 解析：C　[该数据相差105－15＝90，故平均数与实际平均数相差90÷30＝3.即求出的平均数与实际平均数的差是－3.] 13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为　________　；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　________　小时． 解析：由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时) 答案：50　1 015 14．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权算术平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是　________　分． 解析：因为笔试按60%、面试按40%，所以总成绩是(90×60%＋85×40%)＝88(分)． 答案：88 15．某公司的各层人员及工资数构成如下： 人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元． (1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数； (2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？ 解：(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为 ≈2 209. (2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(　　) A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间 C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数 解析：D　[A中，小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为它可能是任意一个非负实数，不能一一列举；B中，倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为所需时间可能是任意一个正实数；C中，三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，更不是离散型随机变量；D中，颜色的种数是一个离散型随机变量．] 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝5表示的随机试验的结果是(　　) A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 解析：D　[由随机变量的定义可知．] 3．袋中装有10个红球和5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A．X＝4　　 B．X＝5　　 C．X＝6　　 D．X≤4 解析：C　[第1次取到黑球，则放回1个红球，第2次取到黑球，则放回2个红球，依此类推，共放了5回，第6次取到了红球，试验终止，故X＝6.] 4．袋子中有大小相同且分别标有1,2,3,4,5五个号码的5个球，在有放回抽取的条件下依次取出2个球，设2个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能的取值有(　　) A．5个 B．25个 C．10个 D．9个 解析：D　[ξ的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．] 5．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0 B．－1 C．－ D．－ 解析：C　[E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.] 6．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下： X 0 1 2 P 0.5 0.4 0.1 则P(X<2)＝　________　. 解析：P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋0.4＝0.9. 答案：0.9 7．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中团员的人数，则P(X＝3)　________　. 解析：P＝＝. 答案： 8．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n＝　________　. 解析：已知该随机变量ξ是等可能取值，即取任意一个值的概率都是.由ξ<4可知，ξ＝1,2,3，所以P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10. 答案：10 9．袋子中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，取后不放回，直到取出白球为止． (1)求取球次数X的分布列； (2)求X的均值与方差． 解：(1)由题意得X的可能取值为1,2,3,4,5. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝×××＝，P(X＝5)＝.所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P (2)E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3； D(X)＝×[(3－1)2＋(3－2)2＋(3－3)2＋ (3－4)2＋(3－5)2]＝2. [能力提升] 10．设离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P a 则a的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a＝1－－－＝.] 11．设抛掷一颗骰子出现的点数为ξ，则E(ξ)＝(　　) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 解析：ξ的分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋ 6×＝3.5. 12．离散型随机变量ξ的概率分布见下表： ξ 1 2 3 P 0.3 m 0.5 则均值E(ξ)等于(　　) A．1 B．0.6 C．2.2 D．2.3 解析：C　[由p1＋p2＋p3＝1，得m＝0.2，所以E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.5＝2.2.] 13．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知E(X)＝8.9，则y＝　________　. 解析：由题意知 解得y＝0.4，x＝0.2. 答案：0.4 14．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差D(X)＝　________　. 解析：由题意知：X＝1,2,3， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＋××＝，所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以 D(X)＝2×＋2×＋×＝. 答案： 15．为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观浏览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享．已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点． (1)求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率； (2)设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和均值． 解：(1)设某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A，由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3个．则P(A)＝1－＝，所以某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为. (2)由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$10.1 集中趋势与离散程度 10.1.1 集中趋势 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第10章 统计 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第10章 统计 课程标准 素养解读 了解用样本数据估计总体的集中趋势参数. 通过样本的数字特征的计算，提升逻辑思维和数学运算等核心素养. 为了备战2026年米兰—科尔蒂纳丹佩佐冬季奥运会，甲、乙两名短道速滑运动员按计划进行速滑训练．在某天的训练中，他们随机抽取的5次训练成绩(单位：s)如下： 甲：40.7,41.2,39.9,40.3,41.9； 乙：41.3,39.7,41.4,40.0,41.8. 分析上述数据，你能估计出谁的训练成绩更好吗？ [知识点一]　集中趋势 是指一组数据向某一　中心值　靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在． [知识点二]　平均数 1．算术平均数：一组数据中　所有数据之和　除以这组数据的　个数　称为这组数据的算术平均数．设这组数据为x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为　eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)　. 2．加权算术平均数：若一组数据为x1，x2，…，xn，它们出现的频数为f1，f2，…，fn，则eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn,f1＋f2＋…＋fn)，称为这组数据的加权算术平均数，其中fk(k＝1,2，…，n)也称为样本数据xk(k＝1,2，…，n)的　权重　. [知识点三]　中位数和众数 1．中位数：一组数据按　大小　顺序排列后，位于中间位置的　数　或者位于中间位置的　两个数的算术平均数　称为中位数． 2．众数：一组数据中出现次数　最多　的数值称为众数． 　平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 提示：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 1．一组数据3,5,7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数为(　　) A．6 B．7 C．7.5 D．15 解析：C　[由题意知3＋5＋7＋m＋n＝6×5，解得m＋n＝15，所以m，n的平均数为7.5.] 2．下列说法中错误的是(　　) A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个 B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个 C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个 D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个 解析：C　[众数可以有多个．] 3．小红连续5天的体温数据如下(单位：℃)：36.6,36.2,36.5,36.2,36.3.关于这组数据，下列说法中正确的是(　　) A．中位数是36.5 ℃ B．众数是36.2 ℃ C．平均数是36.2 ℃ D．极差是0.3 ℃ 解析：B　[对5个数据进行排列可得36.2,36.2,36.3,36.5,36.6，所以中位数为36.3 ℃，故A项错误；众数为36.2 ℃，故B项正确；平均数为(36.2＋36.2＋36.3＋36.5＋36.6)÷5＝36.36 ℃，故C项错误；极差为36.6－36.2＝0.4 ℃.故D项错误．] 算术平均数和加权算术平均数 　为促进学生身心健康发展，某中职学校调研全体学生的日睡眠时间，随机抽取了100名学生进行调查，得到的日睡眠时间数据如下表. 日睡眠时间/h 7 7.5 8 8.5 9 9.5 学生数量/人 11 16 27 30 10 6 根据表中的数据，估算该校学生的日平均睡眠时间．[思路点拨]　根据加权算术平均数公式eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn,f1＋f2＋…＋fn)计算． [解]　由题意可知，样本数据为：7,7.5,8,8.5,9,9.5.它们的权重分别为：11,16,27,30,10,6.于是，样本数据的加权算术平均数为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(7×11＋7.5×16＋8×27＋8.5×30＋9×10＋9.5×6,11＋16＋27＋30＋10＋6)＝8.15(h)． 因此，该校学生的日平均睡眠时间约为8.15 h. 算术平均数和加权算术平均数一般是根据公式来计算，熟记公式是解题的关键． [变式训练] 1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 求这些运动员成绩的平均数． 解：这组数据的平均数为 eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1,2＋3＋2＋3＋4＋1＋1＋1) ＝eq \f(28.75,17)≈1.69(m)． 故这17名运动员成绩的平均数为1.69 m. 众数、中位数、平均数的应用 　据报道，某公司的33名职工的月工资如下(单位：元)： 职务 董事长 副董事长 总经理 董事 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 230 2 730 2 200 1 500 (1)该公司职工的月工资的平均数为　________　元，中位数为　________　元，众数为　________　元； (2)假设副董事长的工资从5 000元涨到15 000元，董事长的工资从5 500元涨到28 500元，那么新的平均工资为　________　元，中位数为　________　元，众数为　________　元；(精确到1元) (3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？ [思路点拨]　根据平均数、众数、中位数的意义与求法，结合实际意义，易求得平均数、众数、中位数的数值． [解]　(1)平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝1 500＋ eq \f(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 730＋1 230×5＋700×3＋0×20,33)≈1 500＋651＝2 151(元)；中位数是1 500元；众数是1 500元． (2)平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝1 500＋ eq \f(27 000＋13 500＋2 000×2＋1 730＋1 230×5＋700×3＋0×20,33)≈1 500＋1 651＝3 151(元)；中位数是1 500元；众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别极大，这样导致平均工资与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中． (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． [变式训练] 2．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下(单位：年)： 甲：3,4,5,6,8,8,8,10 乙：4,6,6,6,8,9,12,13 丙：3,3,4,7,9,10,11,12 三个厂家在广告中都称该产品使用寿命为8年，根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一个集中趋势的特征数． 解：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数：对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求数据的平均数可得，平均数为(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)÷8＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7与9，故其中位数是8，即运用了中位数． 1．数据1,2,4,2,5的平均数为(　　) A．2　　　　B．2.5　　　　C．2.8　　　　D．3 解析：C　[平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋4＋2＋5,5)＝eq \f(14,5)＝2.8.] 2．2,3,14,16,7,8,10,11,13的中位数是(　　) A．3 B．7 C．10 D．13 解析：C　[把这组数据按从小到大排列为2,3,7,8,10,11,13,14,16共9个数，故中位数为第5个数10.] 3．下列数据85,88,73,88,79,86的众数是(　　) A．73 B．79 C．85 D．88 解析：D　[在这组数据中，只有88出现了两次，故众数为88.] 4．下表是某校随机抽查的20名八年级男生的身高统计表： 身高/cm 150 155 160 163 165 168 人数/人 1 3 4 4 5 3 这组数据的众数是　________　cm，中位数是　________　cm，平均数是　________　cm. 解析：在这20个数据中，只有165出现了5次，故众数是165 cm，中位数是第10个数据和第11个数的算术平均数，即163 cm，平均数为eq \f(150×1＋155×3＋160×4＋163×4＋165×5＋168×3,1＋3＋4＋4＋5＋3)＝eq \f(3 236,20)＝161.8(cm)． 答案：165　163　161.8 $$