9.2 正态分布（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

9.2 正态分布 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第9章 随机变量及其分布 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课程标准 素养解读 1.了解正态分布的概念与正态曲线． 2．了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 3．初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方法. 1.通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养． 2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布提升数学运算素养. 某钢铁加工厂生产内径为25.40 mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下： 25．39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25．42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25．45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25．39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25．40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25．49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25．45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25．43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25．38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25．46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25．41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25．41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25．35 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25．35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本；可得到这组样本数据的频率分布直方图 当样本容量n越来越大时，分组越来越细，那么，频率直方图将如何变化？ [知识点一]　正态曲线 在频率分布直方图中，为了了解更多，图中的曲线会分得更细，如果将区间无限细分，频率分布直方图中的折线就会逐渐接近于一条钟形曲线，称为　正态曲线　.相应于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为　连续型随机变量　. [知识点二]　正态分布 1．正态分布的概念 对于如图甲所示的正态曲线，可以用图乙中阴影部分的面积F(x1＜ξ＜x2)表示连续型随机变量ξ取值于区间(x1，x2)的概率，用图丙中阴影部分的面积F(x)表示连续型随机变量ξ取值于区间(－∞，x)的概率．容易看出，对于随机变量ξ的每一个值x都有唯一的F(x)与之相对应，称F(x)为连续型随机变量ξ的　正态分布　. 2．正态曲线方程 正态曲线的方程为f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2σ2)， 其中，σ和μ是两个参数．习惯上，与正态曲线f(x)对应的正态分布记为N(μ，σ2)．有时，也说随机变量ξ服从参数为σ和μ的正态分布，记作ξ～N(μ，σ2)． 3．正态曲线具有的特点 设正态变量的平均值为μ，标准差为σ，则将其记作　N(μ，σ)　.具有以下特点： (1)曲线在x轴上方，并且关于直线　x＝μ　对称； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，呈现“　中间高，两边低　”的钟形形状； (3)当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值，σ　越大　，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越　分散　；σ　越小　，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越　集中　. [知识点三]　标准正态分布　 1．标准正态分布的概念 参数为μ＝　0　，σ＝　1　的正态分布称为标准正态分布，记作　X～(0,1)　.当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于a的概率记作Φ(a)，即Φ(a)＝P(ξ<a)，且Φ(－a)＝　1－Φ(a)　. 2．标准正态分布的计算公式 当随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)时，有以下计算公式： (1)P(ξ≥a)＝1－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－μ,σ)))； (2)P(ξ<b)＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－μ,σ)))； (3)P(a≤ξ<b)＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－μ,σ)))－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－μ,σ))). [知识点四]　3σ原则　 正态分布N(μ，σ2)的随机变量ξ在(μ－3σ，μ＋3σ)区间以外的取值概率非常小，通常称这类事件为小概率事件，认为其在一次试验中几乎是不可能发生的，简称为3σ原则． 随机变量ξ在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为： (1)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%； (2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%； (3)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%. 1．关于正态曲线ξ～N(μ，σ2)，下列说法中错误的是(　　) A．曲线在x轴的上方 B．曲线关于直线x＝μ对称 C．当x＝μ时，曲线达到最高点 D．当x<μ时，曲线下降 解析：D　[由正态分布的性质可知．] 2．正态分布有两个参数μ和σ，正态曲线的形状越扁平，则相应的(　　) A．σ越大 B．σ越小 C．μ越大 D．μ越小 解析：A　[由正态分布的性质可知．] 3．标准正态分布的均值和标准差分别为(　　) A．0,1 B．1,0 C．0,0 D．1,1 解析：A　[由标准正态分布的定义可知．] 正态曲线及其特点的认识 　如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1<σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 [思路点拨]　由正态曲线的特征①②③解题． [解析]　D　[当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝ eq \f(1,\r(2π))e－eq \f(x2,2)，在x＝0时，取得最大值eq \f(1,\r(2π))，故σ2＝1. 由正态曲线的特征，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.] 利用图像求正态分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是σ越大，曲线越矮胖，σ越小，曲线越高瘦．这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了． [变式训练] 1．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq \o\al(2,1))，N(μ2，σeq \o\al(2,2))，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量为0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：D　[由图像可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；∵乙曲线的峰值为1.99，但σ2≠1.99，故D错误．] 正态分布的概率计算 　设ξ服从N(0,1)，查表计算： (1)P(ξ≥2.35)；(2)P(ξ<－1.24)； (3)P(|ξ|<1.54)． [思路点拨]　因为ξ服从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出x0≥0，P(ξ<x0)＝Φ(x0)的情形，故需要转化成小于非负值x0的概率，利用公式Φ(－x)＝1－Φ(x)，P(a<ξ<b)＝Φ(b)－Φ(a)和P(ξ≥x0)＝1－P(ξ<x0)可转化． [解]　(1)P(ξ≥2.35)＝1－P(ξ<2.35) ＝1－Φ(2.35)＝1－0.990 6＝0.009 4. (2)P(ξ<－1.24)＝Φ(－1.24)＝1－Φ(1.24) ＝1－0.892 5＝0.107 5. (3)P(|ξ|<1.54)＝P(－1.54<ξ<1.54)＝Φ(1.54)－Φ(－1.54)＝Φ(1.54)－[1－Φ(1.54)]＝2Φ(1.54)－1＝0.876 4. 一般正态分布ξ～N(μ，σ2)，总体小于a的概率值F(x)与P(ξ<a)和Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－μ,σ)))是一样的表述， 即P(ξ<a)＝F(a)＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－μ,σ))). [变式训练] 2．若ξ～N(0,1)，查表计算： (1)P(ξ<2.8)；(2)P(ξ≥2)；(3)P(ξ<－1)． 解：(1)查表可知，P(ξ<2.8)＝Φ(2.8)＝0.997 4； (2)P(ξ≥2)＝1－P(ξ<2)＝1－Φ(2)＝1－0.997 2＝0.002 8； (3)P(ξ<－1)＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841 3＝0.158 7. 正态分布的实际应用 　在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)，试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？ [思路点拨]　当随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)时，可以利用3σ原则计算． [解]　根据题意，X～N(90,100)，可知μ＝90，σ＝10，得到P(70<X<110)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4. 求解正态分布的概率问题的思路 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．常用结论如下： 1．对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知： ①对任意的实数a，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； ②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； ③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．特别地，当μ＝0时，我们有P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)． 2．当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间，利用三个特殊区间的概率求解，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [变式训练] 3．某校计划为5 000名新生定制校服，学生身高ξ(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，试问：应为身高在区间(165,175)内的学生定制多少套服装？ 解：据题意，ξ服从正态分布N(165,52)，μ＝165，σ＝5.因为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ<ξ<μ＋2σ)＝eq \f(1,2)×0.954 4＝0.477 2，所以，定制身高在区间(165,175)内的学生的服装约为5 000×0.477 2＝2 386套． 1．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 解析：D　[考查对正态分布概念和性质的理解，属于简单题．因为μ＝10，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，故D不正确．] 2．已知X～N(3，σ2)(σ>0)，则P(X≤3)的值为(　　) A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：A　[因为X～N(3，σ2)(σ>0)，所以曲线关于x＝3对称，所以P(X≤3)＝0.5.] 3．已知随机变量x～N(2，σ2)，如图所示，若P(x<a)＝0.32，则P(a≤x<4－a)＝　________　. 解析：由正态分布图像的对称性可得，P(a≤x<4－a)＝1－2P(x<a)＝0.36. 答案：0.36 4．已知正态曲线总体落在区间(2，＋∞)的概率是0.5，那么相应的正态曲线在x＝　________　达到最高点． 解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，由题意得μ＝2. 答案：2 $$ [基础过关] 1．下列关于(a－b)10的说法不正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数是非正数 解析：C　[根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5次，所以是非正数．] 2．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n＝(　　) A．5　　　　 B．6　　　　 C．7　　　　 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.] 3．在(1－3x)6的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．135x2 B．1 215x4 C．20x3 D．－540x3 解析：D　[展开式中二项式系数最大的项是第4项，故T4＝C(－3x)3＝－540x3.] 4．已知(3x＋y)n的展开式的各项系数的和是1 024，那么n的值是(　　) A．5 B．4 C．6 D．10 解析：A　[令x＝1，y＝1，则各项系数的和是(3＋1)n＝1 024，解得n＝5.] 5．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 解析：B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 6．(1＋)10的展开式的二项式系数的和是　________　(用数字作答)． 解析：由于n＝10，所以二项式系数的和为2n＝210＝1 024. 答案：1 024 7．(2x－1)6展开式中各项系数的和为　________　；各项的二项式系数之和为　________　. 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 8．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为　________　. 解析：由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37. 解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为. 答案： 9．求(x－2y)10的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． 解：由于(x－2y)10的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，这一项为T6＝Cx5(－2y)5 ＝252×(－32)·x5y5＝－8 064x5y5.此项的系数为－8 064. [能力提升] 10．(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　) A．7 B．8 C．10 D．11 解析：C　[(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，各项系数即二项式系数，分别为C，C，…，C.又二项展开式中只有一项的二项式系数最大，故n为偶数，二项式系数Cn最大．由x5的系数C最大，得＝5，即n＝10.] 11．已知n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：C　[令x＝1得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则＝64，解得n＝6.] 12．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 解析：D　[因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10中奇数项的二项式系数和为×210＝29.] 13．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为　________　. 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210. 答案：210 14．若C＝C(n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝　________　. 解析：由C＝C可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81. 15．求(1＋x)7的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和． 解：(1＋x)7展开式的二项式系数为C，C，C，C，C，C，C，C，则二项式系数之和为C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝27＝128. 奇数项的二项式系数之和是C＋C＋C＋C＝ 1＋21＋35＋7＝64.偶数项的二项式系数之和是C＋C＋C＋C＝7＋35＋21＋1＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9．2　正态分布 课程标准 素养解读 1.了解正态分布的概念与正态曲线． 2．了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 3．初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方法. 1.通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养． 2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布提升数学运算素养. 某钢铁加工厂生产内径为25.40 mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下： 25．39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25．42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25．45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25．39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25．40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25．49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25．45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25．43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25．38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25．46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25．41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25．41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25．35 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25．35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本；可得到这组样本数据的频率分布直方图 当样本容量n越来越大时，分组越来越细，那么，频率直方图将如何变化？ [知识点一]　正态曲线 在频率分布直方图中，为了了解更多，图中的曲线会分得更细，如果将区间无限细分，频率分布直方图中的折线就会逐渐接近于一条钟形曲线，称为　正态曲线　.相应于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为　连续型随机变量　. [知识点二]　正态分布 1．正态分布的概念 对于如图甲所示的正态曲线，可以用图乙中阴影部分的面积F(x1＜ξ＜x2)表示连续型随机变量ξ取值于区间(x1，x2)的概率，用图丙中阴影部分的面积F(x)表示连续型随机变量ξ取值于区间(－∞，x)的概率．容易看出，对于随机变量ξ的每一个值x都有唯一的F(x)与之相对应，称F(x)为连续型随机变量ξ的　正态分布　. 2．正态曲线方程 正态曲线的方程为f(x)＝e－， 其中，σ和μ是两个参数．习惯上，与正态曲线f(x)对应的正态分布记为N(μ，σ2)．有时，也说随机变量ξ服从参数为σ和μ的正态分布，记作ξ～N(μ，σ2)． 3．正态曲线具有的特点 设正态变量的平均值为μ，标准差为σ，则将其记作　N(μ，σ)　.具有以下特点： (1)曲线在x轴上方，并且关于直线　x＝μ　对称； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，呈现“　中间高，两边低　”的钟形形状； (3)当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值，σ　越大　，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越　分散　；σ　越小　，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越　集中　. [知识点三]　标准正态分布　 1．标准正态分布的概念 参数为μ＝　0　，σ＝　1　的正态分布称为标准正态分布，记作　X～(0,1)　.当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于a的概率记作Φ(a)，即Φ(a)＝P(ξ<a)，且Φ(－a)＝　1－Φ(a)　. 2．标准正态分布的计算公式 当随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)时，有以下计算公式： (1)P(ξ≥a)＝1－Φ； (2)P(ξ<b)＝Φ； (3)P(a≤ξ<b)＝Φ－Φ. [知识点四]　3σ原则　 正态分布N(μ，σ2)的随机变量ξ在(μ－3σ，μ＋3σ)区间以外的取值概率非常小，通常称这类事件为小概率事件，认为其在一次试验中几乎是不可能发生的，简称为3σ原则． 随机变量ξ在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为： (1)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%； (2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%； (3)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%. 1．关于正态曲线ξ～N(μ，σ2)，下列说法中错误的是(　　) A．曲线在x轴的上方 B．曲线关于直线x＝μ对称 C．当x＝μ时，曲线达到最高点 D．当x<μ时，曲线下降 解析：D　[由正态分布的性质可知．] 2．正态分布有两个参数μ和σ，正态曲线的形状越扁平，则相应的(　　) A．σ越大 B．σ越小 C．μ越大 D．μ越小 解析：A　[由正态分布的性质可知．] 3．标准正态分布的均值和标准差分别为(　　) A．0,1 B．1,0 C．0,0 D．1,1 解析：A　[由标准正态分布的定义可知．] 　正态曲线及其特点的认识 　如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1<σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 [思路点拨]　由正态曲线的特征①②③解题． [解析]　D　[当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝ e－，在x＝0时，取得最大值，故σ2＝1. 由正态曲线的特征，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.] 利用图像求正态分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是σ越大，曲线越矮胖，σ越小，曲线越高瘦．这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了． [变式训练] 1．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量为0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：D　[由图像可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；∵乙曲线的峰值为1.99，但σ2≠1.99，故D错误．] 　正态分布的概率计算 　设ξ服从N(0,1)，查表计算： (1)P(ξ≥2.35)；(2)P(ξ<－1.24)； (3)P(|ξ|<1.54)． [思路点拨]　因为ξ服从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出x0≥0，P(ξ<x0)＝Φ(x0)的情形，故需要转化成小于非负值x0的概率，利用公式Φ(－x)＝1－Φ(x)，P(a<ξ<b)＝Φ(b)－Φ(a)和P(ξ≥x0)＝1－P(ξ<x0)可转化． [解]　(1)P(ξ≥2.35)＝1－P(ξ<2.35) ＝1－Φ(2.35)＝1－0.990 6＝0.009 4. (2)P(ξ<－1.24)＝Φ(－1.24)＝1－Φ(1.24) ＝1－0.892 5＝0.107 5. (3)P(|ξ|<1.54)＝P(－1.54<ξ<1.54)＝Φ(1.54)－Φ(－1.54)＝Φ(1.54)－[1－Φ(1.54)]＝2Φ(1.54)－1＝0.876 4. 一般正态分布ξ～N(μ，σ2)，总体小于a的概率值F(x)与P(ξ<a)和Φ是一样的表述， 即P(ξ<a)＝F(a)＝Φ. [变式训练] 2．若ξ～N(0,1)，查表计算： (1)P(ξ<2.8)；(2)P(ξ≥2)；(3)P(ξ<－1)． 解：(1)查表可知，P(ξ<2.8)＝Φ(2.8)＝0.997 4； (2)P(ξ≥2)＝1－P(ξ<2)＝1－Φ(2)＝1－0.997 2＝0.002 8； (3)P(ξ<－1)＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841 3＝0.158 7. 　正态分布的实际应用 　在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)，试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？ [思路点拨]　当随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)时，可以利用3σ原则计算． [解]　根据题意，X～N(90,100)，可知μ＝90，σ＝10，得到P(70<X<110)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4. 求解正态分布的概率问题的思路 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．常用结论如下： 1．对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知： ①对任意的实数a，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； ②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； ③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．特别地，当μ＝0时，我们有P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)． 2．当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间，利用三个特殊区间的概率求解，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [变式训练] 3．某校计划为5 000名新生定制校服，学生身高ξ(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，试问：应为身高在区间(165,175)内的学生定制多少套服装？ 解：据题意，ξ服从正态分布N(165,52)，μ＝165，σ＝5.因为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ<ξ<μ＋2σ)＝×0.954 4＝0.477 2，所以，定制身高在区间(165,175)内的学生的服装约为5 000×0.477 2＝2 386套． 1．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 解析：D　[考查对正态分布概念和性质的理解，属于简单题．因为μ＝10，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，故D不正确．] 2．已知X～N(3，σ2)(σ>0)，则P(X≤3)的值为(　　) A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：A　[因为X～N(3，σ2)(σ>0)，所以曲线关于x＝3对称，所以P(X≤3)＝0.5.] 3．已知随机变量x～N(2，σ2)，如图所示，若P(x<a)＝0.32，则P(a≤x<4－a)＝　________　. 解析：由正态分布图像的对称性可得，P(a≤x<4－a)＝1－2P(x<a)＝0.36. 答案：0.36 4．已知正态曲线总体落在区间(2，＋∞)的概率是0.5，那么相应的正态曲线在x＝　________　达到最高点． 解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，由题意得μ＝2. 答案：2 [基础过关] 1．设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)＝(　　) A．a B．1－a C．2a D．1－2a 解析：B　[对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c) ＝1－P(ξ>c)＝1－a.] 2．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X≤3)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[X服从正态分布N(3，σ2)，则正态曲线关于直线x＝3对称，所以P(X≤3)＝.] 3．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X>4)＝P(X<0)，则μ＝(　　) A．9 B．3 C．2 D．1 解析：C　[随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X>4)＝P(X<0)，所以由正态曲线的对称性可得曲线关于x＝2对称，故μ＝2.] 4．商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布N(20,0.22)，任选一袋大米，质量在19.6～20.4 kg的概率是(　　) A．0.682 6 B．0.954 4 C．0.977 4 D．以上都不是 解析：B　[由题意知μ＝20，标准差σ＝0.2， 所以P(19.6<ξ<20.4)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ) ＝0.954 4.] 5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)上的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝　________　时，达到最高点． 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 答案：0.2 6．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且它的均值为5，标准差为1，则μ＝　________　，σ＝　________　. 解析：根据正态密度函数的定义知μ＝5，σ＝1. 答案：5　1 7．若随机变量X～N(0,1)，则P(x<0)＝　________　. 解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x<0)＝. 答案： 8．在正态分布N中，数据落在(－2,2)内的概率为　________　. 解析：由题意得μ＝0，σ＝，P(－2<X<2) ＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%. 答案：99.7% 9．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，求P(－1<ξ<0)． 解：ξ服从标准正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p， 因为μ＝0，所以P(ξ<－1)＝p. 又因为P(ξ<0)＝， 所以P(－1<ξ<0)＝－p. [能力提升] 10．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 解析：B　[∵零件外直径服从正态分布N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在[10－3×0.2,10＋3×0.2]即[9.4,10.6]之外时为异常．∵9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．] 11．设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>8－m)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关 解析：C　[∵随机变量X服从正态分布 N(4，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝4. ∵P(X>m)＝0.3，由正态曲线的对称性得， P(X<8－m)＝P(X>m)＝0.3， 故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.] 12．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：C　[∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.] 13．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)＝　________　. 解析：随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以正态曲线的对称轴为μ＝1，于是P(ξ>1)＝P(ξ<1)＝0.5，又P(ξ<2)＝0.8，所以P(1<ξ<2)＝0.3，根据对称性得P(0<ξ<1)＝0.3. 答案：0.3 14．某种零件的尺寸X(单位：cm) 服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的　________　. 解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%. 答案：4.6% 15．在某次语文考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90,100)． (1)求考生成绩ξ位于区间(80,100)内的概率； (2)若此次考试共有1 000名考生，试估计成绩在区间(70,110)内的考生人数． 解：根据题意，ξ～N(90,100)，μ＝90，σ＝10. (1)P(80<ξ<100)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，所以考生成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6. (2)P(70<ξ<110)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，即考生成绩在区间(100,140)内的概率为0.954 4.于是，成绩在区间(70,110)内的考生大约有1 000×0.954 4≈954人． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$