9.1.3 二项分布（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

9．1.3　二项分布 课程标准 素养解读 1.了解独立重复试验． 2．了解二项分布的概念及服从二项分布的随机变量的概率分布. 1.通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养． 2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养. 1984年，在第23届奥运会上，我国射击运动员许海峰获得了第一枚金牌，打破了我国在奥运会金牌榜上“零”的纪录．在2021年第32届奥运会上，中国射击队获得4金1银6铜共11枚奖牌，取得如此优秀的成绩是与每名射击运动员在赛前的刻苦训练分不开的．已知赛前训练中，某射击运动员，命中靶心的概率是0.9.若该运动员射击10次，则恰有8次命中靶心的概率是多少？ [知识点一]　n次独立重复试验 在相同条件下重复地做n次试验，每一次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的n次试验为　n次独立重复试验　或　n重伯努利试验　. [知识点二]　二项分布 在n次独立重复试验中，若在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为　Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k　(k＝0,1,2，…，n)．若将事件A发生的次数设为ξ，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是　P(ξ＝k)＝Cpkqn－k　，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到ξ的分布列 ξ 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作ξ～B(n，p)． [知识点三]　二项分布的均值和方差　 若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝　np　，D(ξ)＝　npg　，其中q＝1－p. 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键是什么？ 提示：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． ①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断． 1．已知随机变量ξ～B(5,0.3)，则P(ξ＝3)＝(　　) A．C(0.3)2(0.7)3 B．C(0.3)3(0.7)2 C．C(0.3)3(0.7)2 D．C(0.3)4(0.7)2 解析：B　[n＝5，p＝0.3，P(ξ＝3)＝C(0.3)3(0.7)2.] 2．某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，则5次中有3次中靶的概率是(　　) A．0.345 6 B．0.036 C．0.24 D．0.16 解析：A　[n＝5，p＝0.6，P(ξ＝3)＝C×(0.6)3×(0.4)2＝0.345 6.] 3．若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝2)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由题意可知，P(ξ＝2)＝C×2×4＝.] 　独立重复试验的概率 　在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率． [思路点拨]　读者借一本书只有两种结果，一个读者借一本书可看作是一次独立重复试验，因此可用独立重复试验的概率公式求解． [解]　记一个读者借一本数学书为事件A，借技术书为事件，因此一个读者借一本书可看作是独立重复试验，其中P(A)＝0.8，P()＝0.2，故所求概率为P＝C×0.80×0.25＋C×0.81×0.24＋C×0.82×0.23≈0.057 9.即至多有2人借数学书的概率约为0.057 9. 1．独立重复试验的判断 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为： (1)每次试验是在相同的条件下进行的． (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的． (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变． (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2．独立重复试验概率求法的三个步骤 [变式训练] 1．某射击运动员射击的命中率为80%，计算(结果保留两个有效数字)： (1)5次射击中恰有4次击中的概率； (2)5次射击中至少有4次击中的概率． 解：(1)射击5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次射击中恰有4次击中概率P(4)＝ C×0.84×(1－0.8)5－4＝0.84≈0.41. (2)5次射击中至少有4次击中的概率，就是5次射击中恰有4次击中的概率与5次射击都击中的概率的和，即P＝P(4)＋P(5)＝C×0.84×(1－0.8)5－4＋C×0.85×(1－0.8)5－5＝0.84＋0.85≈0.410＋0.328≈0.74. 　求二项分布的分布列 　某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列．[思路点拨]　本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的概率分布列属二项分布，可直接由二项分布得出． [解]　在独立重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)． 由已知，n＝4，p＝0.8， P(X＝k)＝C·0.8k·(0.2)4－k，k＝0,1,2,3,4. ∴P(X＝0)＝C·0.80·(0.2)4＝0.001 6， P(X＝1)＝C·0.81·(0.2)3＝0.025 6， P(X＝2)＝C·0.82·(0.2)2＝0.153 6， P(X＝3)＝C·0.83·(0.2)1＝0.409 6， P(X＝4)＝C·0.84·(0.2)0＝0.409 6. 所以X的概率分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6 1．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 2．求二项分布的分布列的一般步骤 (1)判断所述问题是否是相互独立试验． (2)建立二项分布模型． (3)求出相应概率． (4)写出分布列． [变式训练] 2．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列． 解：由ξ～B，则P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P 　二项分布的均值和方差 　抛掷5枚硬币，求得到正面向上的次数ξ的均值和方差． [思路点拨]　先确定ξ～B，再利用二项分布的均值和方差求解． [解]　设正面朝上为事件A，则正面朝下为事件，有P(A)＝，P()＝1－＝，且随机变量 ξ～B，因此E(ξ)＝5×＝，D(ξ)＝5××＝. 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． [变式训练] 3．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.求n和p的值，并写出ξ的分布列． 解：由题意知，ξ～B(n，p)， P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. 由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝. 得1－p＝，从而n＝6，p＝. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P 1．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的是(　　) A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数 解析：A　[满足独立重复试验的条件，是二项分布，A正确；ξ的取值是1,2,3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1,2,3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布，B错误；虽然是有放回地摸球，但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义，C错误；n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，D错误．] 2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) A．C2×　　　　 B．C2× C.2× D.2× 解析：C　[P(X＝3)＝2×.] 3．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：A　[因为X～B，所以P(X＝3)＝C3·3＝.] 4．如果随机变量ξ～B，则E(ξ)＝　________　，D(ξ)＝　________　. 解析：E(ξ)＝20×＝10，D(ξ)＝20××＝5. 答案：10　5 [基础过关] 1．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：D　[①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．] 2．若随机变量X～B，则P(X＝2)＝(　　) A.2×3 B.2×3 C．C2×3 D．C2×3 解析：D　[∵随机变量X～B，∴P(X＝2)＝C2×3.] 3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4,1] B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1] 解析：A　[由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.] 4．甲、乙两队进行排球比赛，采用“3局2胜”制，即先赢2局的队伍获胜．根据经验，每局比赛中甲队获胜的概率为0.6，则本次比赛甲队获胜的概率是(　　) A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 解析：D　[甲获胜有两种情况：一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时P2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.] 5．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则D(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由题意得，从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为.因为是有放回地取球，所以X～B，所以D(X)＝5××＝.] 6．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为　________　. 解析：P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6. 答案：0.048 6 7．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为80%，则他在5次罚球中罚失2球的概率是　________　. 解析：用X表示这名运动员在5次罚球中罚失的次数，则X～B(5,0.2)．他在5次罚球中罚失2次的概率为P(X＝2)＝C×(0.2)2×(0.8)3＝0.204 8. 答案：0.204 8 8．在种子发芽的试验中，每颗种子发芽的概率都是0.8，则5颗种子恰有4颗发芽的概率是　________　. 解析：该随机变量服从二项分布X～B(5,0.8)，则P(ξ＝4)＝C×(0.8)4×(0.2)1＝0.409 6. 答案：0.409 6 9．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列． 解：由题意知，用X表示成功的人数，则X服从n＝3，p＝的二项分布， 于是有P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 即P(X＝0)＝C×0×3＝； P(X＝1)＝C××2＝； P(X＝2)＝C×2×＝； P(X＝3)＝C×3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [能力提升] 10．某批量较大的产品的次品率为10%，从中任意连续取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是(　　) A．0.000 1 B．0.003 6 C．0.048 6 D．0.291 6 解析：B　[n＝4，p＝0.1，P(ξ＝3)＝C×(0.1)3×0.9＝0.003 6.] 11．在珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“ ”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为数字1、2、6这一种情况的全排列，用6根小木棍为数字1、2、3,1、2、7,1、6、3,1、6、7这四种情况的全排列，用7根小木棍为数字1、2、4,1、2、8,1、6、4,1、6、8,1、3、7,2、6、7,2、6、3这七种情况的全排列，故至少要用8根小木棍的概率为1－＝.] 12．某次抽奖活动中，参与者每次抽到中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为P＝C×2＝.] 13．袋子里装有5张卡片，用1,2,3,4,5编号，从中抽取3次，每次抽出一张且抽后放回，则3次中恰有2次抽得奇数编号的卡片的概率为　________　. 解析：奇数卡片被抽取的概率为， ∴所示概率P＝C0.62(1－0.6)＝0.432. 答案：0.432 14．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的均值是　________　. 解析：在1轮投篮中，甲通过的概率为p＝2××＋×＝，未通过的概率为，甲3个轮次通过的次数X服从二项分布X～B，由二项分布的均值公式，得E(X)＝3×＝. 答案： 15．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道 题便可通过．已知6道备选题中，应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数Y的分布列及其均值． 解：(1)设甲正确完成面试的题数为X，则X的取值范围是{1,2,3}，P(X＝2)＝＝. (2)设乙正确完成面试的题数为Y，则Y的取值范围是{0,1,2,3}． P(Y＝0)＝C×3＝； P(Y＝1)＝C×1×2＝＝； P(Y＝2)＝C×2×1＝＝； P(Y＝3)＝C×3＝. 应聘者乙正确完成题数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P Y～B，E(Y)＝3×＝2. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$9.1 离散型随机变量及其分布 9.1.3 二项分布 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第9章 随机变量及其分布 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课程标准 素养解读 1.了解独立重复试验． 2．了解二项分布的概念及服从二项分布的随机变量的概率分布. 1.通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养． 2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养. 1984年，在第23届奥运会上，我国射击运动员许海峰获得了第一枚金牌，打破了我国在奥运会金牌榜上“零”的纪录．在2021年第32届奥运会上，中国射击队获得4金1银6铜共11枚奖牌，取得如此优秀的成绩是与每名射击运动员在赛前的刻苦训练分不开的．已知赛前训练中，某射击运动员，命中靶心的概率是0.9.若该运动员射击10次，则恰有8次命中靶心的概率是多少？ [知识点一]　n次独立重复试验 在相同条件下重复地做n次试验，每一次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的n次试验为　n次独立重复试验　或　n重伯努利试验　. [知识点二]　二项分布 在n次独立重复试验中，若在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为　Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k　(k＝0,1,2，…，n)．若将事件A发生的次数设为ξ，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是　P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pkqn－k　，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到ξ的分布列 ξ 0 1 … k … n P Ceq \o\al(0,n)p0qn Ceq \o\al(1,n)p1qn－1 … Ceq \o\al(k,n)pkqn－k … Ceq \o\al(n,n)pnq0 称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作ξ～B(n，p)． [知识点三]　二项分布的均值和方差　 若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝　np　，D(ξ)＝　npg　，其中q＝1－p. 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键是什么？ 提示：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． ①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断． 1．已知随机变量ξ～B(5,0.3)，则P(ξ＝3)＝(　　) A．Ceq \o\al(2,5)(0.3)2(0.7)3 B．Ceq \o\al(3,5)(0.3)3(0.7)2 C．Ceq \o\al(2,5)(0.3)3(0.7)2 D．Ceq \o\al(4,6)(0.3)4(0.7)2 解析：B　[n＝5，p＝0.3，P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,5)(0.3)3(0.7)2.] 2．某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，则5次中有3次中靶的概率是(　　) A．0.345 6 B．0.036 C．0.24 D．0.16 解析：A　[n＝5，p＝0.6，P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,5)×(0.6)3×(0.4)2＝0.345 6.] 3．若随机变量ξ服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(ξ＝2)＝(　　) A.eq \f(13,16) B.eq \f(4,243) C.eq \f(13,243) D.eq \f(80,243) 解析：D　[由题意可知，P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq \f(80,243).] 独立重复试验的概率 　在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率． [思路点拨]　读者借一本书只有两种结果，一个读者借一本书可看作是一次独立重复试验，因此可用独立重复试验的概率公式求解． [解]　记一个读者借一本数学书为事件A，借技术书为事件eq \x\to(A)，因此一个读者借一本书可看作是独立重复试验，其中P(A)＝0.8，P(eq \x\to(A))＝0.2，故所求概率为P＝Ceq \o\al(0,5)×0.80×0.25＋Ceq \o\al(1,5)×0.81×0.24＋Ceq \o\al(2,5)×0.82×0.23≈0.057 9.即至多有2人借数学书的概率约为0.057 9. 1．独立重复试验的判断 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为： (1)每次试验是在相同的条件下进行的． (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的． (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变． (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2．独立重复试验概率求法的三个步骤 [变式训练] 1．某射击运动员射击的命中率为80%，计算(结果保留两个有效数字)： (1)5次射击中恰有4次击中的概率； (2)5次射击中至少有4次击中的概率． 解：(1)射击5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次射击中恰有4次击中概率P(4)＝ Ceq \o\al(4,5)×0.84×(1－0.8)5－4＝0.84≈0.41. (2)5次射击中至少有4次击中的概率，就是5次射击中恰有4次击中的概率与5次射击都击中的概率的和，即P＝P(4)＋P(5)＝Ceq \o\al(4,5)×0.84×(1－0.8)5－4＋Ceq \o\al(5,5)×0.85×(1－0.8)5－5＝0.84＋0.85≈0.410＋0.328≈0.74. 求二项分布的分布列 　某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列． [思路点拨]　本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的概率分布列属二项分布，可直接由二项分布得出． [解]　在独立重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)． 由已知，n＝4，p＝0.8， P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,4)·0.8k·(0.2)4－k，k＝0,1,2,3,4. ∴P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,4)·0.80·(0.2)4＝0.001 6， P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,4)·0.81·(0.2)3＝0.025 6， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)·0.82·(0.2)2＝0.153 6， P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,4)·0.83·(0.2)1＝0.409 6， P(X＝4)＝Ceq \o\al(4,4)·0.84·(0.2)0＝0.409 6. 所以X的概率分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6 1．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 2．求二项分布的分布列的一般步骤 (1)判断所述问题是否是相互独立试验． (2)建立二项分布模型． (3)求出相应概率． (4)写出分布列． [变式训练] 2．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列． 解：由ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P eq \f(32,243) eq \f(80,243) eq \f(80,243) eq \f(40,243) eq \f(10,243) eq \f(1,243) 二项分布的均值和方差 　抛掷5枚硬币，求得到正面向上的次数ξ的均值和方差． [思路点拨]　先确定ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，再利用二项分布的均值和方差求解． [解]　设正面朝上为事件A，则正面朝下为事件eq \o(A,\s\up6(－))，有P(A)＝eq \f(1,2)，P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，且随机变量 ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，因此E(ξ)＝5×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，D(ξ)＝5×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4). 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． [变式训练] 3．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差eq \r(Dξ)为eq \f(\r(6),2).求n和p的值，并写出ξ的分布列． 解：由题意知，ξ～B(n，p)， P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. 由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝eq \f(3,2). 得1－p＝eq \f(1,2)，从而n＝6，p＝eq \f(1,2). ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P eq \f(1,64) eq \f(3,32) eq \f(15,64) eq \f(5,16) eq \f(15,64) eq \f(3,32) eq \f(1,64) 1．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的是(　　) A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数 解析：A　[满足独立重复试验的条件，是二项分布，A正确；ξ的取值是1,2,3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1,2,3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布，B错误；虽然是有放回地摸球，但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义，C错误；n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，D错误．] 2．某电子管正品率为eq \f(3,4)，次品率为eq \f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) A．Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4)　　　　 B．Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq \f(1,4) 解析：C　[P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq \f(3,4).] 3．设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝(　　) A.eq \f(5,16)　　 B.eq \f(3,16)　　　 C.eq \f(5,8)　　 D.eq \f(3,8) 解析：A　[因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，所以P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq \f(5,16).] 4．如果随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,2)))，则E(ξ)＝　________　，D(ξ)＝　________　. 解析：E(ξ)＝20×eq \f(1,2)＝10，D(ξ)＝20×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝5. 答案：10　5 $$多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层调练 课后·素养提升 高数提能 [基础过关] 1.(c+2y的展开式共有12项，则n等于() A.9 B.10 C.11 D.8 解析：C[因为(a十b)的晨开式共有n十1项， 而(x十2y的展开式共有12项，所以n=11] 2.二项式(1一2x)9的展开式中6的系数为( A.C69 B.-C69 C.C6929 D.-C6926 解析：C【二项式(1-2x)=C09十C19(-2x)+…+ C49(一2x)1+…+C99(-2x)9,其展开式中x6的系数为C69(-2)6=C6926] 3.x一2)的二项展开式中，含x2项的二项式系数是() A.6 B.15 C.20 D.240 解析：B[设-2)6的展开式中第k+1项含x2,即T+1=Ck66-(-2y,令6-k=2 则k=4,所以(x-2)6的展开式中含x2项的二项式系数是C46=15] 4.(2x+1)的二项展开式中，含x3项的系数是() A.20 B.120 C.160 D.960 解析：C[二项展开式的通项为T+1=Ck62x6-=Ck626-6-,令6-k=3,得k= 3.故含x3项的系数为C3623=160] 5.avs4 alcol(0r(x)-fIrx)4的二项展开式中，常数项是() A.5 B.8 C.6 D.12 解析：C[设第k十1项是常数项，由公式T+1=Ckn-b,得T+1=Ck4x)- aws4lalicol(-\f(1r(x))=Ck4(-1)x4-k2x-k2=Ck4(-1)x4-k2-k2=Ck4(-1x2-, 故当2一k=0即k=2时，二项式aws4 alcol0r(x)-f(1r(x)A的第3项为常数项.即T2+1 =C24(-1)3x2-2=4×32×1=6.] 6.已知二项式(x十a)泸展开式中，x2项的系数为80，求a 解析：C35xr2a3=80x2-a=2 答案：2 7.(a一2b)8展开式中第5项的二项式系数是 解析：T5=T4+1=C48=8×7×6×54×3×2×1=70 ◆独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：70 8avs4 allcol(x3-f1x)A的展开式中常数项为 解析：alvs4 alcol(x3-f(lx)展开式的通项为T+1 =Ck4(x3)4-Aaws4allcol(-\f(1x)=(-1Ck4x12-4 令12-4k=0,.k=3,所以常数项为 T4=(-1)3C34=-4. 答案：一4 9.写出下列各式的二项展开式 (1)aws4alcol(3r(x)+f(1r(x)));(2)alvs4alcol(x+f(1x)) 解：(I)alvs4 alcol(3rx)+f1rx)》=C043x4+C14(3x3.1rx)+C24 (3x)2\aws4alcol(f(1\r(x)))2+C34-(3x)\aws4alcol(f(1r(x))+C44aws4allcol(f(1'r(x)))4 =81x2+108x+12x+1x2+54 (2)aws4 alcol(x+f1x)=x-6+6x-4+15x-2+20+15x2+6x4+x6 [能力提升] 10.(x一2y)7的展开式中的第4项为() A.-280x4y3 B.280x4y3 C.-35x4y3 D.35x4y3 解析：A[x-2y)7的展开式中的第4项为T4=C374(-2y)3=(-2)3C373= 280y3] 11,a1vs4 alcol0f12)x-2y)5的展开式中x2y3的系数是() A.-20 B.-5 C.5 D.20 解析：A[T+1=Ck512)5-(-2yy =Ck52-5(-2x5-y*, 当k=3时，系数为C3523-5(-2)3=-20] 12.若二项式(x+2的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x的值为 () A12 B14 C.2)8 D.18 解析：B[由二项式c+2的展开式的第4项为2C3-3,第3项的二项式系数是C2n, 可知C2n=15,23C3n"-3=52,可得n=6,x=14.] 13.在avs4 alcol(x一f(1x)9的展开式中，含x3项的系数是 解析：通项Tk+1=Ck9x9-alvs4 alcol(-flx)》 =Ck9(-1)x9-2,令9-2k=3, ·独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 则k=3,含x3项的系数为一C39=一84 答案：一84 14.在alvs4alco1(2x3+f1x)6的展开式中，x6的系数是 解析：alvs4 alcol(2x3+f1x)6的展开式通项为 T+1=Ck6(2x5)6-haws4allcol(f(1x)=26-Ck6x18-4 令18一4=6，解得k=3,所以x6的系数是23C36=160 答案：160 15.己知二项式avs4 alcol(3r(x)-f23x)lo ()求展开式第四项的二项式系数： (②)求展开式第四项的系数. 解：avs4 alcol(3r(x)-f23x)10的展开式的通项是 T+1=Ck10(3x)10-*aws4\alcol(-\f(23x)) =310-avs4 aNcol(-f23)/Ck10x10-3k2k=0,1,,10). (1)展开式的第四项的二项式系数为C310=120 (2)展开式的第四项的系数为C3103avs4 alcol(-f23)乃=-77760. ·独家授权侵权必究·