9.1.1 离散型随机变量&9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

9.1 离散型随机变量及其分布 9.1.1 离散型随机变量 9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第9章 随机变量及其分布 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第9章 随机变量及其分布 课程标准 素养解读 1.掌握离散型随机变量的表示方法和性质． 2．会求简单的离散型随机变量的分布列． 3．会利用离散型随机变量的均值和方差解决一些相关的实际问题. 1.通过学习离散型随机变量分布列的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养． 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养. 在第45届世界技能大赛上，我国选手共获得16枚金牌，位列金牌榜、奖牌榜、团体总分第一名．为备战世界技能大赛数控车项目比赛，某选手需要按尺寸要求进行钢件加工训练．从前期的训练结果可知，钢件的加工误差(单位：mm)有－0.02，－0.01，0,0.01,0.02，产生这些误差的概率分别为0.06，0.1，0.6,0.2,0.04.通过分析这些数据，该选手可以改进编程参数和操作技巧，提高成绩．试问，误差与对应的概率之间是否具有某种关系？这些误差具有怎样的特点？ [知识点一]　随机变量 随机试验可能出现的结果可以用一个　变量　来表示，这个变量的取值就是　随机　的，我们把这个变量称为随机变量．随机变量通常用字母X，Y，ξ，η等来表示． [知识点二]　离散型随机变量 在随机实验中，所有的可能取值都能　一一列举　出来的随机变量，称为　离散型随机变量　. [知识点三]　离散型随机变量的分布列 一般地，设随机变量ξ， (1)所有可能取的值为x1，x2，…，xn； (2)取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn.可列出下表： ξ x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表称为离散型随机变量ξ的　概率分布　，通常称为　分布列　.(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn.) 　离散型随机变量的分布列有以下两条性质： ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1. [知识点四]　离散型随机变量的均值和方差 1．一般地，若离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1，x2，…，xn，且各个取值所对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则称　E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为离散型随机变量ξ的均值(或期望值)． 称　D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2p1＋[x2－E(ξ)]2p2＋…＋[xn－E(ξ)]2pn　＝eq \i\su(i＝1,n,[)xi－E(ξ)]2pi为离散型随机变量ξ的方差． 2．若随机变量概率分布的某种整体特征(平均取值、取值的集中程度等)可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的　数字特征　. 1.判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么？ 提示：判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出． 2．随机变量与函数有什么异同点？ 提示：随机变量与函数的异同点 随机变量 函数 相同点 都是一种对应，试验结果ω的范围即样本空间Ω，相当于函数的定义域，随机变量的取值X(ω)的范围相当于函数的值域 不同点 样本空间Ω不一定是数集 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数 1．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2024年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 解析：D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．] 2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) A. ξ 1 0 1 P eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \f(1,4) B. ξ 0 1 2 P －eq \f(1,4) eq \f(3,4) eq \f(1,2) C. ξ 0 1 2 P eq \f(1,5) eq \f(2,5) eq \f(3,5) D. ξ －1 0 1 P eq \f(1,4) eq \f(1,4) eq \f(1,2) 解析：D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2…，n，eq \i\su(i＝1,n,P)(ξi)＝1. A中，ξ的取值出现了重复性；B中，P(ξ＝0)＝－eq \f(1,4)<0；C中，eq \i\su(i＝1,3,P)(ξi)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(6,5)>1.] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的均值E(X)＝(　　) A.eq \f(3,2)　　　B．2　　　C.eq \f(5,2)　　　D．3 解析：A　[E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).] 对离散型随机变量的理解 　写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y. [思路点拨]　先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量取每一个值时所表示的事件． [解]　(1)X的取值范围为{0,1,2}． {X＝0}表示所取的3个球都是黑球； {X＝1}表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； {X＝2}表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球． (2)Y的取值范围为{0,1,2,3,4,5}． 用(a，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数． {Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． {Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)． {Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)． {Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)． {Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)． {Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有(1,6)，(6,1)． 理解离散型随机变量的切入点 1．判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下． (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量． 2．明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． [变式训练] 1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度． 解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． 分布列及其性质的应用 　设随机变量X的分布列为 P(X＝i)＝eq \f(i,a)(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2))). [思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，eq \f(1,2)<X<eq \f(7,2)的含义，利用分布列求概率． [解]　(1)∵eq \i\su(i＝1,4,p)i＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＝eq \f(3,10). (2)由a＝10，可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2))) ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＋eq \f(3,10)＝eq \f(3,5). 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： 1．X的各个取值表示的事件是互斥的． 2．p1＋p2＋…＝1，且pi>0，i＝1,2，…. [变式训练] 2．已知随机变量X的分布列： X＝i 1 2 3 4 5 P(X＝i) eq \f(1,10) eq \f(3,10) a eq \f(1,10) eq \f(1,10) (1)求a； (2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)． 解：(1)由eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)＋a＋eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＝1，得a＝eq \f(2,5). (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＝eq \f(1,5)， P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝eq \f(3,10)＋eq \f(2,5)＋eq \f(1,10)＝eq \f(4,5). 求离散型随机变量的分布列 　某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地．已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观． (1)用ξ表示选取的3人中女生的人数，求ξ的分布列； (2)求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率． [思路点拨]　求随机变量所有取值的概率，列出分布列． [解]　(1)根据题意，ξ可能的取值为0,1,2,3， P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq \f(10,56)＝eq \f(5,28)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq \f(30,56)＝eq \f(15,28)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq \f(15,56)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq \f(1,56)， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(5,28) eq \f(15,28) eq \f(15,56) eq \f(1,56) (2)选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(15,56)＋eq \f(1,56)＝eq \f(2,7). 求离散型随机变量的分布列的步骤 [变式训练] 3．某袋中有2只红球和3只白球，从中任取2只球，求取得的白球数ξ的分布列． 解： ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,10).所以取得的白球数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P eq \f(1,10) eq \f(3,5) eq \f(3,10) 求离散随机变量的均值和方差 　某小组有6名男生和4名女生，从中任选3人参加比赛，求所选3人中男生数目η的均值和方差． [思路点拨]　先求出η的取值及每个取值的概率，然后求其分布列、均值和方差． [解]　η的可能取值为0,1,2,3. P(η＝0)＝eq \f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,30)，P(η＝1)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(3,10)， P(η＝2)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,2)，P(η＝3)＝eq \f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,6)， 所以所选男生数目η的分布列见下表 η 0 1 2 3 P eq \f(1,30) eq \f(3,10) eq \f(1,2) eq \f(1,6) E(η)＝0×eq \f(1,30)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝1.8. D(η)＝(0－1.8)2×eq \f(1,30)＋(1－1.8)2×eq \f(3,10)＋ (2－1.8)2×eq \f(1,2)＋(3－1.8)2×eq \f(1,6)＝eq \f(14,25). 求离散型随机变量X的均值的一般步骤 [变式训练] 4．将2封信随机投入A，B，C 3 个空邮箱，求A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)和方差D(ξ)． 解：由题意知ξ的取值有0,1,2，当ξ＝0，即A邮箱的信件数为0时，由分步计数原理知，2封信随机投入A，B，C 3个空邮箱，共有3×3种结果，而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2. 由古典概型公式可知ξ＝0，ξ＝1，ξ＝2时的概率分别为P(ξ＝0)＝eq \f(2×2,9)＝eq \f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),9)＝eq \f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq \f(1,9). 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P eq \f(4,9) eq \f(4,9) eq \f(1,9) 所以E(ξ)＝0×eq \f(4,9)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(1,9)＝eq \f(2,3). D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq \f(4,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq \f(4,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq \f(1,9)＝eq \f(36,81)＝eq \f(4,9). 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为(　　) A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 解析：B　[出现正面向上的次数为0或1，是随机变量．] 2．下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) ①抛2颗骰子得到的点数和；②某水文站一天中观察到的水位高度(单位：cm)；③某人的手机在一天内被拨打的次数；④某地一年内下雨的天数；⑤某首歌曲被点播的次数． A．① B．② C．②③ D．①③④⑤ 解析：D　[①③④⑤中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．] 3．下面列出的表格是某个随机变量分布列的是(　　) A. ξ －1 0 1 P －0.2 0.4 0.6 B. ξ 0 1 3 7 P 0.3 0.1 0.2 0.3 C. ξ 0.5 0.2 0.1 P 0.3 0.2 0.5 D. ξ 1 2 3 4 5 P 0.3 0.2 0.4 0.1 0.2 解析：C　[根据pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1.] 4．已知某离散型随机变量的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P C 2C 3C 4C 5C 则常数C＝　________　. 解析：由C＋2C＋3C＋4C＋5C＝1，得C＝eq \f(1,15). 答案：eq \f(1,15) $$ 9．1　离散型随机变量及其分布 9．1.1　离散型随机变量 9．1.2　离散型随机变量的分布列及其数字特征 课程标准 素养解读 1.掌握离散型随机变量的表示方法和性质． 2．会求简单的离散型随机变量的分布列． 3．会利用离散型随机变量的均值和方差解决一些相关的实际问题. 1.通过学习离散型随机变量分布列的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养． 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养. 在第45届世界技能大赛上，我国选手共获得16枚金牌，位列金牌榜、奖牌榜、团体总分第一名．为备战世界技能大赛数控车项目比赛，某选手需要按尺寸要求进行钢件加工训练．从前期的训练结果可知，钢件的加工误差(单位：mm)有－0.02，－0.01，0,0.01,0.02，产生这些误差的概率分别为0.06，0.1，0.6,0.2,0.04.通过分析这些数据，该选手可以改进编程参数和操作技巧，提高成绩．试问，误差与对应的概率之间是否具有某种关系？这些误差具有怎样的特点？ [知识点一]　随机变量 随机试验可能出现的结果可以用一个　变量　来表示，这个变量的取值就是　随机　的，我们把这个变量称为随机变量．随机变量通常用字母X，Y，ξ，η等来表示． [知识点二]　离散型随机变量 在随机实验中，所有的可能取值都能　一一列举　出来的随机变量，称为　离散型随机变量　. [知识点三]　离散型随机变量的分布列 一般地，设随机变量ξ， (1)所有可能取的值为x1，x2，…，xn； (2)取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn.可列出下表： ξ x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表称为离散型随机变量ξ的　概率分布　，通常称为　分布列　.(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn.) 　离散型随机变量的分布列有以下两条性质： ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝i＝1. [知识点四]　离散型随机变量的均值和方差 1．一般地，若离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1，x2，…，xn，且各个取值所对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则称　E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝ipi为离散型随机变量ξ的均值(或期望值)． 称　D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2p1＋[x2－E(ξ)]2p2＋…＋[xn－E(ξ)]2pn　＝xi－E(ξ)]2pi为离散型随机变量ξ的方差． 2．若随机变量概率分布的某种整体特征(平均取值、取值的集中程度等)可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的　数字特征　. 1.判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么？ 提示：判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出． 2．随机变量与函数有什么异同点？ 提示：随机变量与函数的异同点 随机变量 函数 相同点 都是一种对应，试验结果ω的范围即样本空间Ω，相当于函数的定义域，随机变量的取值X(ω)的范围相当于函数的值域 不同点 样本空间Ω不一定是数集 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数 1．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2024年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 解析：D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．] 2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) A. ξ 1 0 1 P B. ξ 0 1 2 P － C. ξ 0 1 2 P D. ξ －1 0 1 P 解析：D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2…，n，(ξi)＝1. A中，ξ的取值出现了重复性；B中，P(ξ＝0)＝－<0；C中，(ξi)＝＋＋＝>1.] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)＝(　　) A.　　　B．2　　　C.　　　D．3 解析：A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 　对离散型随机变量的理解 　写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y. [思路点拨]　先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量取每一个值时所表示的事件． [解]　(1)X的取值范围为{0,1,2}． {X＝0}表示所取的3个球都是黑球； {X＝1}表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； {X＝2}表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球． (2)Y的取值范围为{0,1,2,3,4,5}． 用(a，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数． {Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． {Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)． {Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)． {Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)． {Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)． {Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有(1,6)，(6,1)． 理解离散型随机变量的切入点 1．判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下． (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量． 2．明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． [变式训练] 1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度． 解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． 　分布列及其性质的应用 　设随机变量X的分布列为 P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. [思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率． [解]　(1)∵i＝＋＋＋＝1，∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)由a＝10，可得P ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＋＝. 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： 1．X的各个取值表示的事件是互斥的． 2．p1＋p2＋…＝1，且pi>0，i＝1,2，…. [变式训练] 2．已知随机变量X的分布列： X＝i 1 2 3 4 5 P(X＝i) a (1)求a； (2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)． 解：(1)由＋＋a＋＋＝1，得a＝. (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＝， P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝＋＋＝. 　求离散型随机变量的分布列 　某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地．已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观． (1)用ξ表示选取的3人中女生的人数，求ξ的分布列； (2)求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率． [思路点拨]　求随机变量所有取值的概率，列出分布列． [解]　(1)根据题意，ξ可能的取值为0,1,2,3， P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝. 求离散型随机变量的分布列的步骤 [变式训练] 3．某袋中有2只红球和3只白球，从中任取2只球，求取得的白球数ξ的分布列． 解： ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以取得的白球数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 　求离散随机变量的均值和方差 　某小组有6名男生和4名女生，从中任选3人参加比赛，求所选3人中男生数目η的均值和方差． [思路点拨]　先求出η的取值及每个取值的概率，然后求其分布列、均值和方差． [解]　η的可能取值为0,1,2,3. P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝， 所以所选男生数目η的分布列见下表 η 0 1 2 3 P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8. D(η)＝(0－1.8)2×＋(1－1.8)2×＋ (2－1.8)2×＋(3－1.8)2×＝. 求离散型随机变量X的均值的一般步骤 [变式训练] 4．将2封信随机投入A，B，C 3 个空邮箱，求A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)和方差D(ξ)． 解：由题意知ξ的取值有0,1,2，当ξ＝0，即A邮箱的信件数为0时，由分步计数原理知，2封信随机投入A，B，C 3个空邮箱，共有3×3种结果，而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2. 由古典概型公式可知ξ＝0，ξ＝1，ξ＝2时的概率分别为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＝. 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，随机变量为(　　) A．掷硬币的次数 B．正面向上的次数 C．正面向上或反面向上的次数 D．正面向上与反面向上的次数之和 解析：B　[出现正面向上的次数为0或1，是随机变量．] 2．下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) ①抛2颗骰子得到的点数和；②某水文站一天中观察到的水位高度(单位：cm)；③某人的手机在一天内被拨打的次数；④某地一年内下雨的天数；⑤某首歌曲被点播的次数． A．① B．② C．②③ D．①③④⑤ 解析：D　[①③④⑤中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．] 3．下面列出的表格是某个随机变量分布列的是(　　) A. ξ －1 0 1 P －0.2 0.4 0.6 B. ξ 0 1 3 7 P 0.3 0.1 0.2 0.3 C. ξ 0.5 0.2 0.1 P 0.3 0.2 0.5 D. ξ 1 2 3 4 5 P 0.3 0.2 0.4 0.1 0.2 解析：C　[根据pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1.] 4．已知某离散型随机变量的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P C 2C 3C 4C 5C 则常数C＝　________　. 解析：由C＋2C＋3C＋4C＋5C＝1，得C＝. 答案： [基础过关] 1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(　　) A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间 C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数 解析：D　[A中，小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为它可能是任意一个非负实数，不能一一列举；B中，倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为所需时间可能是任意一个正实数；C中，三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，更不是离散型随机变量；D中，颜色的种数是一个离散型随机变量．] 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝5表示的随机试验的结果是(　　) A．一颗是1点，一颗是4点 B．一颗是2点，一颗是3点 C．两颗都是5点 D．一颗是1点，一颗是4点或一颗是2点，一颗是3点 解析：D　[由随机变量的定义可知．] 3．袋中装有10个红球和5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A．X＝4　　 B．X＝5　　 C．X＝6　　 D．X≤4 解析：C　[第1次取到黑球，则放回1个红球，第2次取到黑球，则放回2个红球，依此类推，共放了5回，第6次取到了红球，试验终止，故X＝6.] 4．袋子中有大小相同且分别标有1,2,3,4,5五个号码的5个球，在有放回抽取的条件下依次取出2个球，设2个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能的取值有(　　) A．5个 B．25个 C．10个 D．9个 解析：D　[ξ的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．] 5．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0 B．－1 C．－ D．－ 解析：C　[E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.] 6．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下： X 0 1 2 P 0.5 0.4 0.1 则P(X<2)＝　________　. 解析：P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋0.4＝0.9. 答案：0.9 7．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中团员的人数，则P(X＝3)　________　. 解析：P＝＝. 答案： 8．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n＝　________　. 解析：已知该随机变量ξ是等可能取值，即取任意一个值的概率都是.由ξ<4可知，ξ＝1,2,3，所以P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10. 答案：10 9．袋子中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，取后不放回，直到取出白球为止． (1)求取球次数X的分布列； (2)求X的均值与方差． 解：(1)由题意得X的可能取值为1,2,3,4,5. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝×××＝，P(X＝5)＝.所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P (2)E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3； D(X)＝×[(3－1)2＋(3－2)2＋(3－3)2＋ (3－4)2＋(3－5)2]＝2. [能力提升] 10．设离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P a 则a的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a＝1－－－＝.] 11．设抛掷一颗骰子出现的点数为ξ，则E(ξ)＝(　　) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 解析：ξ的分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋ 6×＝3.5. 12．离散型随机变量ξ的概率分布见下表： ξ 1 2 3 P 0.3 m 0.5 则均值E(ξ)等于(　　) A．1 B．0.6 C．2.2 D．2.3 解析：C　[由p1＋p2＋p3＝1，得m＝0.2，所以E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.5＝2.2.] 13．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知E(X)＝8.9，则y＝　________　. 解析：由题意知 解得y＝0.4，x＝0.2. 答案：0.4 14．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差D(X)＝　________　. 解析：由题意知：X＝1,2,3， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＋××＝，所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以 D(X)＝2×＋2×＋×＝. 答案： 15．为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观浏览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享．已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点． (1)求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率； (2)设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和均值． 解：(1)设某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A，由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3个．则P(A)＝1－＝，所以某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为. (2)由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．第四届消博会暨中国国际消费品博览会海口国际游艇展于2024年4月在海口举办，某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有(　　) A．6　 　　B．9 　　　C．12 　　　D．24 解析：A　[因为纪念品是相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：第一种情况，一位游客得1个纪念品，其余两位游客每人2个纪念品，共有C＝3(种)．第二种情况，一位游客得3个纪念品，其余两位游客各1个纪念品，共有C＝3(种)，共有6种赠送方案．] 2．在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[三件玩具分给三个小朋友，完成这件事的基本事件个数共有P＝6(个)，其中都没有拿到自己玩具的这件事的基本事件个数共两个，所以概率为P＝.] 3．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 解析：B　[先从5人中选1人连续两天参加服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有C·C＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．] 4．异面直线a，b上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为(　　) A．20 B．9 C．84 D．63 解析：B　[为了使确定的平面不重复，按如下方法分类：第1类，在直线a上任取一点与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点与直线a可确定C个平面．故可以确定不同平面的个数为C＋C＝9.] 5．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么不同的分配方案共有(　　) A．252种 B．112种 C．20种 D．56种 解析：B　[按分配到甲宿舍的人数进行分类，则易得不同的分配方案共有CC＋CC＋CC＋CC＝112(种)．] 6．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C种 B．CC＋CC种 C．C－C种 D．C－CC种 解析：B　[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有(CC＋CC)种．] 7．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有　________　种． 解析：在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有C－C－C＝45(种)． 答案：45 8．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选出3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是　________　. 解析：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n＝C＝20，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数m＝CC＝4，所以甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是P＝＝＝. 答案： 9．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. [能力提升] 10．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有(　　) A．CP种 B．CP种 C．CP种 D．CP种 解析：C　[分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放入1号瓶，则有C种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种作全排列，则有P种．故共有CP种不同的放法．] 11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 解析：C　[平均分组问题．先分组有 ＝10(种)，再排序10P＝240(种)．] 12．在学校的一次数学讲题比赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有(　　) A．12种 B．36种 C．72种 D．144种 解析：D　[先把同年级的同学“捆绑”，并“内部”全排列，然后 看成三个元素的全排列问题，共有不同的排法PPPP＝144(种)．] 13．若P＝6C，则n的值为　________　. 解析：由题意知n(n－1)(n－2) ＝6·，化简得＝1， 所以n＝7. 答案：7 14．一种团队竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负的情况有　________　种． 解析：4＝2＋2＝2＋1＋1＝1＋1＋1＋1，即甲的4场比赛，胜2场负2场，或者胜1场平2场负1场，或者平4场．由此可得C＋CC＋1＝19. 答案：19 15．在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C＝＝161 700(种)． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C·C＝9 506(种)． (3)法一　抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C·C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C·C＋C·C＝9 604(种)． 法二　抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C－C＝161 700－152 096＝9 604(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$