8.3.2 二项式系数的性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

8．3.2　二项式系数的性质 课程标准 素养解读 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养. 某代表队参加校内的拔河比赛，需要与其他7个代表队各赛一场．不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢1场，…，赢7场，而赢0场有1(记作C)种情况，赢1场有C种情况(即在7场中赢1场)，赢2场有C种情况，…赢7场有C种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？ [知识点]　二项式系数的性质 二项式系数具有如下性质： 1．每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“　肩上　”两个数的和．即C＝　C＋C　. 2．每一行中与首末两端“　等距离　”的两个二项式系数相等．即C＝C. 3．当m<时，二项式系数是逐渐增大的；当m>时，二项式系数是逐渐减小的． 如果二项式(a＋b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正　中间一项　的二项式系数最大；如果二项式(a＋b)n的幂指数n是奇数，那么它的展开式　中间两项　的二项式系数最大并且相等． 4．各个二项式系数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝　2n　，奇数项的二项式系数　和和偶数　项的二项式系数和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 1.二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 提示：不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大． 2．C，C，C之间有什么关系？ 提示：C＝C＋C. 1．二项式6展开式的二项式系数之和等于(　　) A．36 B．(－1)6 C．64 D．0 解析：C　[6展开式的二项式系数之和为26＝64.] 2．(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 解析：D　[(1－x)2n－1展开式中，中间两项的二项式系数最大，即第n项和第n＋1项的二项式系数最大．] 3．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0， ∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8 的系数为C737＝3 432. 　二项展开式中系数的最值问题 　已知二项式(x＋2y)9. (1)求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]　(1)根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项． (2)构造关于系数的不等式组，求解． [解]　(1)由已知展开式共有10项，依二项式系数的性质，中间两项的二项式系数最大，所以要求的项为T5＝Cx5(2y)4＝2 016x5y4，T6＝Cx4(2y)5＝4 032x4y5，对应的系数分别为2 016,4 032. (2)(x＋2y)9的展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(2y)k＝2kCx9－kyk，设第k＋1项的系数最大，则有解得≤k≤.因为k∈N＋， ∴k＝6，所以系数最大的项为T6＋1＝T7 ＝Cx2(2y)7＝27Cx2y7＝4 608x2y7. 1．二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项． 3．理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果．通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的核心素养． [变式训练] 1．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有 C25＝C26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4. 设第k＋1项系数最大，则有 ⇒5≤k≤6.∴k＝5或k＝6. ∵k∈， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 　求二项展开式中有关系数的和 　在二项式(2x－3y)9展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． [思路点拨]　设出展开式的形式，再适当赋值． [解]　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59. 将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和． 1．解决二项式系数和问题思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [变式训练] 2．已知二项式(2x＋1)4，求： (1)二项展开式中所有二项式系数之和； (2)各项系数之和． 解：(1)二项展开式中所有二项式系数之和： C＋C＋C＋C＋C＝24＝16. (2)设(2x＋1)4＝a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5①， 故各项系数之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 令①式中的x＝1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34 ＝81，故各项系数之和等于81. 1．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项　　　　　　　　 B．第7项 C．第9项 D．第10项 解析：C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 2.11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 解析：D　[由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．] 3．若(x－2)n(n∈N＋)展开式中的二项式系数的和为128，则n等于(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 解析：D　[(x－2)n(n∈N＋)展开式中的二项式系数的和为2n＝128，故n＝7.] 4.5的展开式中，二项式系数之和为　________　. 解析：二项式系数之和为25＝32. 答案：32 [基础过关] 1．下列关于(a－b)10的说法不正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数是非正数 解析：C　[根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5次，所以是非正数．] 2．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n＝(　　) A．5　　　　 B．6　　　　 C．7　　　　 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.] 3．在(1－3x)6的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．135x2 B．1 215x4 C．20x3 D．－540x3 解析：D　[展开式中二项式系数最大的项是第4项，故T4＝C(－3x)3＝－540x3.] 4．已知(3x＋y)n的展开式的各项系数的和是1 024，那么n的值是(　　) A．5 B．4 C．6 D．10 解析：A　[令x＝1，y＝1，则各项系数的和是(3＋1)n＝1 024，解得n＝5.] 5．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 解析：B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 6．(1＋)10的展开式的二项式系数的和是　________　(用数字作答)． 解析：由于n＝10，所以二项式系数的和为2n＝210＝1 024. 答案：1 024 7．(2x－1)6展开式中各项系数的和为　________　；各项的二项式系数之和为　________　. 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 8．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为　________　. 解析：由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37. 解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为. 答案： 9．求(x－2y)10的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． 解：由于(x－2y)10的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，这一项为T6＝Cx5(－2y)5 ＝252×(－32)·x5y5＝－8 064x5y5.此项的系数为－8 064. [能力提升] 10．(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　) A．7 B．8 C．10 D．11 解析：C　[(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，各项系数即二项式系数，分别为C，C，…，C.又二项展开式中只有一项的二项式系数最大，故n为偶数，二项式系数Cn最大．由x5的系数C最大，得＝5，即n＝10.] 11．已知n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：C　[令x＝1得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则＝64，解得n＝6.] 12．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 解析：D　[因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10中奇数项的二项式系数和为×210＝29.] 13．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为　________　. 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210. 答案：210 14．若C＝C(n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝　________　. 解析：由C＝C可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81. 15．求(1＋x)7的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和． 解：(1＋x)7展开式的二项式系数为C，C，C，C，C，C，C，C，则二项式系数之和为C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝27＝128. 奇数项的二项式系数之和是C＋C＋C＋C＝ 1＋21＋35＋7＝64.偶数项的二项式系数之和是C＋C＋C＋C＝7＋35＋21＋1＝64. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．从a，b，c，d，e 5个元素中，取出2个元素，共有多少种组合(　　) A．10　　　 B．20　　　 C．15　　　 D．5 解析：A　[共有组合数C＝＝10.] 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：B　[C＝＝28，即n＝8.] 3．从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有　________　种选法．(　　) A．336 B．316 C．56 D．42 解析：C　[从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有选法C＝＝56(种)．] 4．计算：C＋C＋C＝(　　) A．120 B．240 C．60 D．480 解析：A　[C＋C＋C＝＋＋＝120.] 5．C＋C＝(　　) A．207 B．360 C．190 D．191 解析：D　[根据组合数的性质，可知C＋C ＝C＋1＝191.] 6．若集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有4个元素的子集共有　________　个． 解析：共有C＝5(个)． 答案：5 7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　________　.(用数字作答) 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210(种)分法． 答案：210 8．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有　________　种． 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种)． 答案：120 9．有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29十个质数． (1)从中任取两个数求它们的积，可以得到多少个不同的数？ (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到多少个不同的数？ 解：(1)从中任取两个数求它们的积，可以得到不同的数的个数为C＝＝45(个)． (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到不同的数的个数为P＝10×9＝90(个)． [能力提升] 10．C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．7 351 B．7 355 C．7 513 D．7 315 解析：D　[原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝7 315.] 11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 解析：B　[由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝112.] 12．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有(　　) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 解析：C　[分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝45(种)选法．] 13．已知某圆上的10个不同的点．过每2个点画一条弦，一共可以画　________　条弦． 解析：因为两点可以确定一条直线，所以从10个点任选2个点有C＝45(种)取法，故一共可以画45条弦． 答案：45 14．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有　________　种． 解析：车票的票价有C＝3(种)． 答案：3 15．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. 学科网（北京）股份有限公司 $$8.3 二项式定理 8.3.2 二项式系数的性质 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第8章 排列组合 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课程标准 素养解读 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养. 某代表队参加校内的拔河比赛，需要与其他7个代表队各赛一场．不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢1场，…，赢7场，而赢0场有1(记作Ceq \o\al(0,7))种情况，赢1场有Ceq \o\al(1,7)种情况(即在7场中赢1场)，赢2场有Ceq \o\al(2,7)种情况，…赢7场有Ceq \o\al(7,7)种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？ [知识点]　二项式系数的性质 二项式系数具有如下性质： 1．每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“　肩上　”两个数的和．即Ceq \o\al(r,n＋1)＝　Ceq \o\al(r－1,n)＋Ceq \o\al(r,n)　. 2．每一行中与首末两端“　等距离　”的两个二项式系数相等．即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n). 3．当m<eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当m>eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的． 如果二项式(a＋b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正　中间一项　的二项式系数最大；如果二项式(a＋b)n的幂指数n是奇数，那么它的展开式　中间两项　的二项式系数最大并且相等． 4．各个二项式系数的和为2n，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝　2n　，奇数项的二项式系数　和和偶数　项的二项式系数和相等，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝　2n－1　. 1.二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 提示：不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大． 2．Ceq \o\al(k－1,n)，Ceq \o\al(k,n)，Ceq \o\al(k,n＋1)之间有什么关系？ 提示：Ceq \o\al(k,n＋1)＝Ceq \o\al(k－1,n)＋Ceq \o\al(k,n). 1．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6展开式的二项式系数之和等于(　　) A．36 B．(－1)6 C．64 D．0 解析：C　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6展开式的二项式系数之和为26＝64.] 2．(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 解析：D　[(1－x)2n－1展开式中，中间两项的二项式系数最大，即第n项和第n＋1项的二项式系数最大．] 3．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 解：∵Ceq \o\al(4,n)＋Ceq \o\al(6,n)＝2Ceq \o\al(5,n)，整理得n2－21n＋98＝0， ∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为Ceq \o\al(3,7) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))423＝eq \f(35,2)，T5的系数为Ceq \o\al(4,7) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8 的系数为Ceq \o\al(7,14) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))737＝3 432. 二项展开式中系数的最值问题 　已知二项式(x＋2y)9. (1)求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]　(1)根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项． (2)构造关于系数的不等式组，求解． [解]　(1)由已知展开式共有10项，依二项式系数的性质，中间两项的二项式系数最大，所以要求的项为T5＝Ceq \o\al(4,9)x5(2y)4＝2 016x5y4，T6＝Ceq \o\al(5,9)x4(2y)5＝4 032x4y5，对应的系数分别为2 016,4 032. (2)(x＋2y)9的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,9)x9－k(2y)k＝2kCeq \o\al(k,9)x9－kyk，设第k＋1项的系数最大，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kC\o\al(k,9)≥2k－1C\o\al(k－1,9)2kC\o\al(k,9)≥2k＋1C\o\al(k＋1,9)))解得eq \f(17,3)≤k≤eq \f(20,3).因为k∈N＋， ∴k＝6，所以系数最大的项为T6＋1＝T7 ＝Ceq \o\al(7,9)x2(2y)7＝27Ceq \o\al(7,9)x2y7＝4 608x2y7. 1．二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，))解出k，即得出系数的最大项． 3．理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果．通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的核心素养． [变式训练] 1．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝Ceq \o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq \o\al(6,n)(2x)6，依题意有 Ceq \o\al(5,n)25＝Ceq \o\al(6,n)26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq \o\al(4,8)·(2x)4＝1 120x4. 设第k＋1项系数最大，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,8)·2k≥C\o\al(k－1,8)·2k－1C\o\al(k,8)·2k≥C\o\al(k＋1,8)·2k＋1))⇒5≤k≤6.∴k＝5或k＝6. ∵k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，…，8))， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 求二项展开式中有关系数的和 　在二项式(2x－3y)9展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． [思路点拨]　设出展开式的形式，再适当赋值． [解]　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为Ceq \o\al(0,9)＋Ceq \o\al(1,9)＋Ceq \o\al(2,9)＋…＋Ceq \o\al(9,9)＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59. 将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq \f(59－1,2)，即为所有奇数项系数之和． 1．解决二项式系数和问题思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2). [变式训练] 2．已知二项式(2x＋1)4，求： (1)二项展开式中所有二项式系数之和； (2)各项系数之和． 解：(1)二项展开式中所有二项式系数之和： Ceq \o\al(0,4)＋Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(3,4)＋Ceq \o\al(4,4)＝24＝16. (2)设(2x＋1)4＝a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5①， 故各项系数之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 令①式中的x＝1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34 ＝81，故各项系数之和等于81. 1．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项　　　　　　　　 B．第7项 C．第9项 D．第10项 解析：C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 解析：D　[由n＝11为奇数，则展开式中第eq \f(11＋1,2)项和第eq \f(11＋1,2)＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．] 3．若(x－2)n(n∈N＋)展开式中的二项式系数的和为128，则n等于(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 解析：D　[(x－2)n(n∈N＋)展开式中的二项式系数的和为2n＝128，故n＝7.] 4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))5的展开式中，二项式系数之和为　________　. 解析：二项式系数之和为25＝32. 答案：32 $$