8.3.1 二项式定理（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

8．3　二项式定理 8．3.1　二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史上一个个重要的发现．作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识点]　二项式定理及相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－k·bk＋…＋Ca0bn(n∈N＋)，上式可简写成　(a＋b)n＝an－kbk　 二项展开式 　右边的多项式　 二项式系数 各项的系数　C(k∈{0,1,2，…，n})　 二项展开式的通项 Tk＋1＝　Can－kbk　 通项中的注意点 (1)展开式共有n＋1项． (2)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项． (3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置． (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题． (5)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题． 　二项式系数与项的系数、项与项数有什么区别？ 提示：(1)二项展开式中的二项式系数是指C， C，…，C这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． (3)项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置． 1.n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．8 解析：B　[n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.] 2．(1＋2x)9的展开式中第2项的二项式系数为(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：B　[(1＋2x)9的展开式的第2项的二项式系数为C.] 3.10的二项展开式的第6项为(　　) A．252x B．252 C. D．252 解析：D　[T6＝C()55＝C＝252.] 　求二项展开式 　求3的展开式． [思路点拨]　直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开． [解]　法一　3＝Cx30＋Cx21＋Cx2＋Cx03＝x3＋3x＋＋. 法二　3＝＝(x6＋3x4＋3x2＋1)＝x3＋3x＋＋. 运用二项式定理的解题策略 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． [变式训练] 1．(1)写出(a＋b)7的展开式； (2)写出(1＋x)n的展开式． 解：(1)因为C＝C＝1，C＝C＝7，C＝C＝21，C＝C＝35，所以(a＋b)7＝Ca7＋Ca6b＋Ca5b2＋Ca4b3＋Ca3b4＋Ca2b5＋Cab6＋Cb7＝a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7. (2)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，可得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 　求展开式中的特定项 　(1)求(2x－1)7的展开式的第4项； (2)求12的展开式中的常数项． [思路点拨]　利用二项式的通项可以求常数项、有理项、指定项等，只要涉及这些内容，就应想到二项式的通项．另外，一定要注意化简的准确性． [解]　(1)(2x－1)7的展开式的第4项是T4＝T3＋1＝C×(2x)7－3×(－1)3＝C×24×(－1)3·x4＝35×(－16)·x4＝－560x4. (2)设此展开式中第m＋1项是常数项，则Tk＋1＝C(2x)12－kk＝(－1)kC212－k·x，依题意可得＝0，所以k＝8，即常数项T9＝7 920. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k＋1项，Tk＋1＝Can－kbk； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．求5的展开式中含x3的项． 解：Tk＋1＝Cx5－kk＝C·x5－2k.依题意，得5－2k＝3.解得k＝1.即二项展开式中含x3的项为第2项，此项为T2＝Cx3＝5x3. 　求二项展开式特定项的有关系数 　求(1－2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数． [思路点拨]　先求通项，再根据通项求第四项的二项式系数和系数． [解]　在(1－2x)7的展开式的通项为Tk＋1＝C·1·(－2x)k，所以第四项为T3＋1＝C(－2x)3 ＝－280x3，第四项的二项式系数是C＝35；第四项的系数是C(－2)3＝－280. 某项(a＋b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指C，C，C，C，…，C这些组合数，不包括字母a，b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与C有关，也与a，b的值有关． [变式训练] 3．已知n的二项展开式的第3项系数等于6，求n的值． 解：T3＝Cxn－22＝xn－2，依题意可得＝6，即＝66，解得n＝12或n＝－11，故n＝12. 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－1)kx－k＝(－1)kCx10－3k，令10－3k＝4，∴k＝2，∴x4的系数为C＝10.] 4．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝C(－x)6＝210x6. 答案：210x6 [基础过关] 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　) A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．8 解析：C　[因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项， 而(x＋2)n的展开式共有12项，所以n＝11.] 2．二项式(1－2x)9的展开式中x6的系数为(　　) A．C B．－C C．C26 D．－C·26 解析：C　[二项式(1－2x)9＝C＋C(－2x)＋…＋ C(－2x)4＋…＋C(－2x)9，其展开式中x6的系数为C(－2)6＝C26.] 3．(x－2)6的二项展开式中，含x2项的二项式系数是(　　) A．6 B．15 C．20 D．240 解析：B　[设(x－2)6的展开式中第k＋1项含x2，即Tk＋1＝Cx6－k(－2)k，令6－k＝2则k＝4，所以(x－2)6的展开式中含x2项的二项式系数是C＝15.] 4．(2x＋1)6的二项展开式中，含x3项的系数是(　　) A．20 B．120 C．160 D．960 解析：C　[二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k＝C26－kx6－k，令6－k＝3，得k＝3.故含x3项的系数为C23＝160.] 5.4的二项展开式中，常数项是(　　) A．5 B．8 C．6 D．12 解析：C　[设第k＋1项是常数项，由公式Tk＋1＝Can－kbk，得Tk＋1＝C()4－kk＝C(－1)kxx－＝C(－1)kx－＝C(－1)kx2－k，故当2－k＝0即k＝2时，二项式4的第3项为常数项．即T2＋1＝C(－1)2x2－2＝＝6.] 6．已知二项式(x＋a)5展开式中，x2项的系数为80，求a＝　________　. 解析：Cx2a3＝80x2⇒a＝2. 答案：2 7．(a－2b)8展开式中第5项的二项式系数是　________　. 解析：T5＝T4＋1＝C＝＝70. 答案：70 8.4的展开式中常数项为　________　. 解析：4展开式的通项为Tk＋1 ＝C(x3)4－kk＝(－1)kCx12－4k 令12－4k＝0，∴k＝3，所以常数项为 T4＝(－1)3C＝－4. 答案：－4 9．写出下列各式的二项展开式． (1)4；(2)6. 解：(1)4＝C(3)4＋C·(3)3·＋C·(3)2·2＋C·(3)·3＋C4＝81x2＋108x＋＋＋54. (2)6＝x－6＋6x－4＋15x－2＋20＋15x2＋6x4＋x6. [能力提升] 10．(x－2y)7的展开式中的第4项为(　　) A．－280x4y3 B．280x4y3 C．－35x4y3 D．35x4y3 解析：A　[(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Cx4·(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.] 11.5的展开式中x2y3的系数是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 解析：A　[Tk＋1＝C(x)5－k(－2y)k ＝C2k－5(－2)kx5－kyk， 当k＝3时，系数为C23－5(－2)3＝－20.] 12．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝.] 13．在9的展开式中，含x3项的系数是　________　. 解析：通项Tk＋1＝Cx9－kk ＝C(－1)kx9－2k，令9－2k＝3， 则k＝3，含x3项的系数为－C＝－84. 答案：－84 14．在6的展开式中，x6的系数是　________　. 解析：6的展开式通项为 Tk＋1＝C(2x3)6－kk＝26－kCx18－4k， 令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23C＝160. 答案：160 15．已知二项式10. (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数． 解：10的展开式的通项是 Tk＋1＝C(3)10－k·k ＝310－kkCx(k＝0,1，…，10)． (1)展开式的第四项的二项式系数为C＝120. (2)展开式的第四项的系数为C·373＝－77 760. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下面问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 解析：A　[选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D中需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．] 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．P B．P C．P D．P 解析：C　[P＝100×99×98×…×(100－12＋1) ＝100×99×98×…×89.] 3．已知3P＝4P，则n＝(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 解析：B　[由×3＝×4， 得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍)．] 4．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．240 D．720 解析：D　[不同的排法有P＝6×5×4×3×2×1＝720 (种)．] 5．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的方法有(　　) A．50 B．60 C．120 D．90 解析：C　[5本书进行全排列，P＝120.] 6．计算：＝　________　. 解析： ＝＝. 答案： 7．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有　________　种． 解析：P＝4×3＝12. 答案：12 8．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为　________　. 解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有P＝20(种)． 答案：20 9．写出从4个元素a，b，c，d中取出3个元素的所有排列． 解析：abc，acb，bac，bca，cab，cba，abd，adb，bad，bda，dab，dba，acd，adc，cda，cad，dac，dca，bcd，bdc，cbd，cdb，dbc，dcb，即A＝4×3×2＝24，共24个排列． [能力提升] 10．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 解析：B　[同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有P＝24(种)．] 11．从4人中选出2人，安排周六、周日值班，每天一人，则不同的安排方法种数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：D　[安排周六、周日值班是有序问题，故有P＝12(种)安排方法．] 12．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．P C．35 D．53 解析：B　[把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是P.] 13．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示　________　种不同的信号． 解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示P种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示P种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示P种不同的信号； 根据分类计数原理，可以表示的信号共有 P＋P＋P＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)． 答案：15 14．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有　________　种．(填数字) 解析：司机、售票员各有P种安排方法，由分步计数原理知，共有PP＝36(种)不同的安排方法． 答案：36 15．分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6名排成一排，甲、乙不相邻． 解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为P＝720(种)． (2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有P种选法，然后其他5人排，有P种排法，故排法种数为PP＝480(种)． (3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有PP＝480(种)排法． 学科网（北京）股份有限公司 $$8.3 二项式定理 8.3.1 二项式定理 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第8章 排列组合 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史上一个个重要的发现．作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识点]　二项式定理及相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)anb0＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq \o\al(n,n)a0bn(n∈N＋)，上式可简写成　(a＋b)n＝eq \a\vs4\al(\i\su(k＝0,n, ))an－kbk　 二项展开式 　右边的多项式　 二项式系数 各项的系数　Ceq \o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})　 二项展开式的通项 Tk＋1＝　Ceq \o\al(k,n)an－kbk　 通项中的注意点 (1)展开式共有n＋1项． (2)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项． (3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置． (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题． (5)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题． 　二项式系数与项的系数、项与项数有什么区别？ 提示：(1)二项展开式中的二项式系数是指Ceq \o\al(0,n)， Ceq \o\al(1,n)，…，Ceq \o\al(n,n)这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． (3)项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置． 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．8 解析：B　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.] 2．(1＋2x)9的展开式中第2项的二项式系数为(　　) A．Ceq \o\al(2,9) B．Ceq \o\al(1,9) C．Ceq \o\al(3,9) D．Ceq \o\al(0,9) 解析：B　[(1＋2x)9的展开式的第2项的二项式系数为Ceq \o\al(1,9).] 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))10的二项展开式的第6项为(　　) A．252x B．252eq \r(x) C.eq \f(252,\r(x)) D．252 解析：D　[T6＝Ceq \o\al(5,10)(eq \r(x))5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))5＝Ceq \o\al(5,10)＝252.] 求二项展开式 　求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3的展开式． [思路点拨]　直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开． [解]　法一　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3＝Ceq \o\al(0,3)x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))0＋Ceq \o\al(1,3)x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))1＋Ceq \o\al(2,3)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋Ceq \o\al(3,3)x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＝x3＋3x＋eq \f(3,x)＋eq \f(1,x3). 法二　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3＝eq \f(x2＋13,x3)＝eq \f(1,x3)(x6＋3x4＋3x2＋1)＝x3＋3x＋eq \f(3,x)＋eq \f(1,x3). 运用二项式定理的解题策略 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． [变式训练] 1．(1)写出(a＋b)7的展开式； (2)写出(1＋x)n的展开式． 解：(1)因为Ceq \o\al(0,7)＝Ceq \o\al(7,7)＝1，Ceq \o\al(1,7)＝Ceq \o\al(6,7)＝7，Ceq \o\al(2,7)＝Ceq \o\al(5,7)＝21，Ceq \o\al(3,7)＝Ceq \o\al(4,7)＝35，所以(a＋b)7＝Ceq \o\al(0,7)a7＋Ceq \o\al(1,7)a6b＋Ceq \o\al(2,7)a5b2＋Ceq \o\al(3,7)a4b3＋Ceq \o\al(4,7)a3b4＋Ceq \o\al(5,7)a2b5＋Ceq \o\al(6,7)ab6＋Ceq \o\al(7,7)b7＝a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7. (2)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，可得(1＋x)n＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)x＋Ceq \o\al(2,n)x2＋…＋Ceq \o\al(k,n)xk＋…＋Ceq \o\al(n,n)xn. 求展开式中的特定项 　(1)求(2x－1)7的展开式的第4项； (2)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))12的展开式中的常数项． [思路点拨]　利用二项式的通项可以求常数项、有理项、指定项等，只要涉及这些内容，就应想到二项式的通项．另外，一定要注意化简的准确性． [解]　(1)(2x－1)7的展开式的第4项是T4＝T3＋1＝Ceq \o\al(3,7)×(2x)7－3×(－1)3＝Ceq \o\al(3,7)×24×(－1)3·x4＝35×(－16)·x4＝－560x4. (2)设此展开式中第m＋1项是常数项，则Tk＋1＝Ceq \o\al(k,12)(2x)12－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝(－1)kCeq \o\al(k,12)212－k·xeq \f(24－3k,2)，依题意可得eq \f(24－3k,2)＝0，所以k＝8，即常数项T9＝7 920. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k＋1项，Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的展开式中含x3的项． 解：Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)x5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq \o\al(k,5)·x5－2k.依题意，得5－2k＝3.解得k＝1.即二项展开式中含x3的项为第2项，此项为T2＝Ceq \o\al(1,5)x3＝5x3. 求二项展开式特定项的有关系数 　求(1－2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数． [思路点拨]　先求通项，再根据通项求第四项的二项式系数和系数． [解]　在(1－2x)7的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,7)·1·(－2x)k，所以第四项为T3＋1＝Ceq \o\al(3,7)(－2x)3 ＝－280x3，第四项的二项式系数是Ceq \o\al(3,7)＝35；第四项的系数是Ceq \o\al(3,7)(－2)3＝－280. 某项(a＋b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，Ceq \o\al(2,n)，Ceq \o\al(3,n)，…，Ceq \o\al(n,n)这些组合数，不包括字母a，b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与Ceq \o\al(m,n)有关，也与a，b的值有关． [变式训练] 3．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(11))))n的二项展开式的第3项系数等于6，求n的值． 解：T3＝Ceq \o\al(2,n)xn－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(11))))2＝eq \f(C\o\al(2,n),11)xn－2，依题意可得eq \f(C\o\al(2,n),11)＝6，即eq \f(nn－1,2)＝66，解得n＝12或n＝－11，故n＝12. 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．Ceq \o\al(6,8) B．Ceq \o\al(5,8)(－2)5 C．Ceq \o\al(5,8) D．Ceq \o\al(6,8)(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为Ceq \o\al(5,8).] 3．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))5的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)x2(5－k)(－1)kx－k＝(－1)kCeq \o\al(k,5)x10－3k，令10－3k＝4，∴k＝2，∴x4的系数为Ceq \o\al(2,5)＝10.] 4．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝Ceq \o\al(6,10)(－x)6＝210x6. 答案：210x6 $$