8.2.2 组合（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．某企业2023年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2023年度的产值月平均的增长率为(　　) A. B.－1 C.－1 D. 解析：C　[设2023年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝－1.] 2．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰11)]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰12)]元 解析：A　[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元．] 3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增的等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设A，B，C，D，E 5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，解得a3＝.] 4．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元(　　) A. B. C. D. 解析：B　[设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，＝M(1＋p)10，则x＝.] 5．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为(　　) A.×n＋1(n∈N＋) B.×n(n∈N＋) C.×n(n∈N＋) D.×n(n∈N＋) 解析：D　[根据题意，每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项，公比的等比数列，故第n个图中阴影部分的面积为×n－1＝×n(n∈N＋)．] 6．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了　________　字． 解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910. 答案：9 910 7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为　________　元． 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 答案：78ar 8．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是　________　. 解析：设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a， ∴1＋x＝，x＝－1. 答案： －1 9．两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用．甲公司承诺第一年年薪是50 000元，以后每年比上一年加薪5 000元．乙公司承诺第一年的年薪是50 000元，以后每年的年薪比上一年增加10%.假设聘期为五年，试问 (1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ (2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ 解：(1)由题意可知，甲公司承诺的年薪构成等差数列{an}，其中a1＝50 000，d＝5 000，n＝5.于是a5＝a1＋4d＝50 000＋4×5 000＝70 000(元)， S5＝5×50 000＋×5 000＝300 000(元) 因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是70 000元，五年的总收入是300 000元． (2)由题意可知，乙公司承诺的年薪构成等比数列{an}，其中a1＝50 000，q＝1＋10%＝1.1，n＝5. 于是a5＝a1q4＝50 000×1.14＝73 205(元)， S5＝＝ ＝305 255(元)． 因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是73 205元，五年的总收入是305 255元． [能力提升] 10．《张丘建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织布五尺，末日织一尺，计织三十日，问第11日至第20日这十日共织布(　　) A．30尺 B．40尺 C．6尺 D．60尺 解析：A　[由题意，女子织布构成等差数列{an}，有a1＝5，a30＝1，故a11＋a12＋a13＋…＋a20＝＝＝5×6＝30. 所以第11日至第20日这十日共织布30尺．] 11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若该金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为(　　) A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤 解析：B　[依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，则d＝＝＝－，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋2d＝3，∴中间三尺的重量为9斤．] 12．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法不正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 解析：C　[设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列，由等比数列前n项和公式得：S6＝＝378，解得a1＝192.A.a2＝192×＝96，故此人第二天走了九十六里路，正确；B.后五天所走的路程为378－192＝186里，则第一天比后五天多走192－186＝6里，正确；C.a3＝192×＝48，而>，错误；D.a4＋a5＋a6＝192×＝42，正确．] 13．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝　________　. 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24. 答案：24 14．购买一件某家用电器需要10 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复利计算，那么每期应付款为　________　元．(1.00812≈1.1) 解析：设每期应还款x元，则第1期还款后，还欠款10 000(1＋0.8%)－x，第2期还款后，还欠款(10 000×1.008－x)×1.008－x＝10 000×1.0082－1.008x－x，…第12期还款后，还欠款10 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x，第12期还款后，还欠款为0，所以10 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x＝0，即10 000×1.00812＝(1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1)x＝·x＝·x，所以x＝＝10 000×1.1×＝880(元)． 答案：880 15．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f(n)＝前n年的总收入—前n年的总支出—投资额) 解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N＋，所以从第三年开始获利． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8．2.2　组合 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念． 2．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题． 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明. 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学运算的素养． 3．通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ [知识点一]　组合的定义 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素　组成一组　，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [知识点二]　组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的　所有组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数. 符号表示 　C　 组合数公式 乘积式 C＝　　＝　　 阶乘式 C＝　　 性质 定理1：C＝　C__　， 定理2：C＝　C＋C__　 备注 ①n，m∈N＋且m≤n；②规定C＝1 1.排列与组合的异同点各是什么？ 提示：排列与组合的异同点 排列 组合 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关 2.如何区分一个问题是“排列”问题还是“组合问题”？ 提示：排列问题和组合问题的区分方法 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．] 2．C＝(　　) A．30 B．15 C．20 D．6 解析：B　[C＝＝15.] 3．从10名学生中推选3名代表参加座谈会，共有不同的推选方法(　　) A．360种 B．240种 C．120种 D．720种 解析：C　[组合的应用，C＝＝120.] 　对组合概念的理解 　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [思路点拨]　区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关．” [解]　(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题． (3)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [变式训练] 1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为P＝720. 　组合数公式及性质 　计算：(1)C；(2)C；(3)C；(4)C； (5)C＋C. [思路点拨]　根据题目特点，选择适当的组合数公式进行求解． [解]　(1)C＝＝210. (2)C＝＝35. (3)C＝C＝C＝＝816. (4)C＝C＝C＝＝190. (5)C＋C＝C＝C＝C＝＝161 700. 1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝ ＝进行计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝　计算． 3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C和C＝C＋C简化运算． [变式训练] 2．计算：(1)C；(2)C；(3)C＋C；(4)C＋C. 解：(1)C＝＝56. (2)C＝C＝C＝＝45. (3)C＋C＝＋＝560. (4)C＋C＝C＝C＝C＝ ＝1 140. 　简单的组合问题 　中国传统餐饮文化源远流长，菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”，即鲁菜、川菜、粤菜、闽菜、苏菜、浙菜、湘菜、徽菜．某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、弘扬工匠精神，计划举办“八大菜系”厨艺大赛． (1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，有多少种选法？ (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，有多少种选法？ [思路点拨]　从8个菜系中选3个菜系的选法个数，等于从8个不同的元素中取3个元素的组合数．如果川菜系必选，等于从除了川菜系以外的7个菜系中再取2个菜系的组合数． [解]　(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，不同的选法有C＝＝56(种)． (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，不同的选法有C＝＝21(种)． 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 3．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么(各题列出算式即可，不必计算最后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ 解：(1)这批产品一共有100＋80＋30＝210(个)，从其中任取10个进行检验，共有C种抽取结果． (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有C种抽取结果． (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验．而二等品和三等品共有80＋30＝110个，所以抽不到一等品的抽取结果共有C种． 1．给出下列问题，是组合问题的是(　　) A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生去不同的学校工作，有多少种不同的选法 B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 解析：C　[A.2名学生去的是不同的学校，有顺序，不是组合问题．B.2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．C.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．D.冠亚军是有顺序的，是排列问题．] 2．C＝(　　) A．4 B．12 C．24 D．6 解析：A　[C＝C＝C＝4.] 3．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有(　　) A．P种 B．C种 C．CP种 D．30种 解析：B　[三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.] 4．C＝　________　，C＝　________　. 解析：C＝＝153， C＝＝18. 答案：153　18 [基础过关] 1．从a，b，c，d，e 5个元素中，取出2个元素，共有多少种组合(　　) A．10　　　 B．20　　　 C．15　　　 D．5 解析：A　[共有组合数C＝＝10.] 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：B　[C＝＝28，即n＝8.] 3．从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有　________　种选法．(　　) A．336 B．316 C．56 D．42 解析：C　[从8名运动员中，选出3名参加比赛，共有选法C＝＝56(种)．] 4．计算：C＋C＋C＝(　　) A．120 B．240 C．60 D．480 解析：A　[C＋C＋C＝＋＋＝120.] 5．C＋C＝(　　) A．207 B．360 C．190 D．191 解析：D　[根据组合数的性质，可知C＋C ＝C＋1＝191.] 6．若集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有4个元素的子集共有　________　个． 解析：共有C＝5(个)． 答案：5 7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　________　.(用数字作答) 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210(种)分法． 答案：210 8．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有　________　种． 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种)． 答案：120 9．有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29十个质数． (1)从中任取两个数求它们的积，可以得到多少个不同的数？ (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到多少个不同的数？ 解：(1)从中任取两个数求它们的积，可以得到不同的数的个数为C＝＝45(个)． (2)从中任取两个数求它们的商，可以得到不同的数的个数为P＝10×9＝90(个)． [能力提升] 10．C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．7 351 B．7 355 C．7 513 D．7 315 解析：D　[原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝7 315.] 11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 解析：B　[由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝112.] 12．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有(　　) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 解析：C　[分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝45(种)选法．] 13．已知某圆上的10个不同的点．过每2个点画一条弦，一共可以画　________　条弦． 解析：因为两点可以确定一条直线，所以从10个点任选2个点有C＝45(种)取法，故一共可以画45条弦． 答案：45 14．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有　________　种． 解析：车票的票价有C＝3(种)． 答案：3 15．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$8.2 排列与组合 8.2.2 组合 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第8章 排列组合 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念． 2．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题． 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明. 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学运算的素养． 3．通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ [知识点一]　组合的定义 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素　组成一组　，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [知识点二]　组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的　所有组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数. 符号表示 　Ceq \o\al(m,n)　 组合数公式 乘积式 Ceq \o\al(m,n)＝　eq \f(P\o\al(m,n),P\o\al(m,m))　＝　eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)　 阶乘式 Ceq \o\al(m,n)＝　eq \f(n！,m！n－m！)　 性质 定理1：Ceq \o\al(m,n)＝　Ceq \o\al(n－m,n) 　， 定理2：Ceq \o\al(m,n＋1)＝　Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n) 　 备注 ①n，m∈N＋且m≤n；②规定Ceq \o\al(0,n)＝1 1.排列与组合的异同点各是什么？ 提示：排列与组合的异同点 排列 组合 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关 2.如何区分一个问题是“排列”问题还是“组合问题”？ 提示：排列问题和组合问题的区分方法 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．] 2．Ceq \o\al(2,6)＝(　　) A．30 B．15 C．20 D．6 解析：B　[Ceq \o\al(2,6)＝eq \f(6×5,2×1)＝15.] 3．从10名学生中推选3名代表参加座谈会，共有不同的推选方法(　　) A．360种 B．240种 C．120种 D．720种 解析：C　[组合的应用，Ceq \o\al(3,10)＝eq \f(10×9×8,3×2×1)＝120.] 对组合概念的理解 　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [思路点拨]　区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关．” [解]　(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题． (3)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [变式训练] 1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(3,10)＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为Peq \o\al(3,10)＝720. 组合数公式及性质 　计算：(1)Ceq \o\al(4,10)；(2)Ceq \o\al(3,7)；(3)Ceq \o\al(15,18)；(4)Ceq \o\al(18,20)； (5)Ceq \o\al(96,99)＋Ceq \o\al(97,99). [思路点拨]　根据题目特点，选择适当的组合数公式进行求解． [解]　(1)Ceq \o\al(4,10)＝eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1)＝210. (2)Ceq \o\al(3,7)＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＝35. (3)Ceq \o\al(15,18)＝Ceq \o\al(18－15,18)＝Ceq \o\al(3,18)＝eq \f(18×17×16,3×2×1)＝816. (4)Ceq \o\al(18,20)＝Ceq \o\al(20－18,20)＝Ceq \o\al(2,20)＝eq \f(20×19,2×1)＝190. (5)Ceq \o\al(96,99)＋Ceq \o\al(97,99)＝Ceq \o\al(97,100)＝Ceq \o\al(100－97,100)＝Ceq \o\al(3,100)＝eq \f(100×99×98,3×2×1)＝161 700. 1．涉及具体数字的可以直接用公式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(P\o\al(m,n),P\o\al(m,m)) ＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)进行计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)　计算． 3．计算时应注意利用组合数的性质Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)和Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)简化运算． [变式训练] 2．计算：(1)Ceq \o\al(3,8)；(2)Ceq \o\al(8,10)；(3)Ceq \o\al(3,15)＋Ceq \o\al(2,15)；(4)Ceq \o\al(16,19)＋Ceq \o\al(17,19). 解：(1)Ceq \o\al(3,8)＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56. (2)Ceq \o\al(8,10)＝Ceq \o\al(10－8,10)＝Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(10×9,2×1)＝45. (3)Ceq \o\al(3,15)＋Ceq \o\al(2,15)＝eq \f(15×14×13,3×2×1)＋eq \f(15×14,2×1)＝560. (4)Ceq \o\al(16,19)＋Ceq \o\al(17,19)＝Ceq \o\al(17,20)＝Ceq \o\al(20－17,20)＝Ceq \o\al(3,20)＝eq \f(20×19×18,3×2×1)＝1 140. 简单的组合问题 　中国传统餐饮文化源远流长，菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”，即鲁菜、川菜、粤菜、闽菜、苏菜、浙菜、湘菜、徽菜．某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、弘扬工匠精神，计划举办“八大菜系”厨艺大赛． (1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，有多少种选法？ (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，有多少种选法？ [思路点拨]　从8个菜系中选3个菜系的选法个数，等于从8个不同的元素中取3个元素的组合数．如果川菜系必选，等于从除了川菜系以外的7个菜系中再取2个菜系的组合数． [解]　(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，不同的选法有Ceq \o\al(3,8)＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56(种)． (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，不同的选法有Ceq \o\al(2,7)＝eq \f(7×6,2×1)＝21(种)． 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 3．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么(各题列出算式即可，不必计算最后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ 解：(1)这批产品一共有100＋80＋30＝210(个)，从其中任取10个进行检验，共有Ceq \o\al(10,210)种抽取结果． (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有Ceq \o\al(10,100)种抽取结果． (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验．而二等品和三等品共有80＋30＝110个，所以抽不到一等品的抽取结果共有Ceq \o\al(10,110)种． 1．给出下列问题，是组合问题的是(　　) A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生去不同的学校工作，有多少种不同的选法 B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 解析：C　[A.2名学生去的是不同的学校，有顺序，不是组合问题．B.2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．C.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．D.冠亚军是有顺序的，是排列问题．] 2．Ceq \o\al(3,4)＝(　　) A．4 B．12 C．24 D．6 解析：A　[Ceq \o\al(3,4)＝Ceq \o\al(4－3,4)＝Ceq \o\al(1,4)＝4.] 3．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有(　　) A．Peq \o\al(3,10)种 B．Ceq \o\al(3,10)种 C．Ceq \o\al(3,10)Peq \o\al(3,10)种 D．30种 解析：B　[三张票没区别，从10人中选3人即可，即Ceq \o\al(3,10).] 4．Ceq \o\al(2,18)＝　________　，Ceq \o\al(17,18)＝　________　. 解析：Ceq \o\al(2,18)＝eq \f(18×17,2)＝153， Ceq \o\al(17,18)＝eq \f(18！,17！18－17！)＝18. 答案：153　18 $$